Irreduzibilität Andreas Flesch
Motivation i. A. beliebig viele Darstellungen derselben Gruppe Erhöhung der Dimension des Darstellungsraums => immer größere Darstellungsmatrizen zurückführbar auf endliche Zahl von „Grunddarstellungen“? Irreduzibilität
endliche Gruppe: alle Darstellungen können aus endlicher Zahl „unterschiedlicher irreduzibler“ Darstellungen gewonnen werden Irreduzibilität
Definition L invarianter Vektorraum bezüglich Darstellung von G: T reduzibel: es existiert Teilraum L1 (L10, L1L) und orthogonales Komplement L2 von L, so dass beide invariant unter T sind Irreduzibilität
wichtig: L2 auch invariant andere Lehrbücher: Reduzibilität Vollreduzibilität T irreduzibel: es existiert kein solcher Unterraum Irreduzibilität
unitäre Darstellungen alle T(Ga) unitär: Invarianz von L1 => Invarianz von L2 Beweis: ei: Basis von L1, ej: Basis von L2 Irreduzibilität
Bem.: Darstellungen in der Physik in der Regel unitär (im Folgenden vorausgesetzt) Irreduzibilität
Folgerungen Zerlegung von L in invariante und irreduzible Unterräume (nicht eindeutig): T(q)(Ga):irreduzible Darstellung von G in Lq Achtung: Summe von Operatoren aus verschiedenen Räumen Irreduzibilität
T(q)(Ga) (dim(Lq) dim(Lq))-Matrix Darstellungsmatrizen bez. „sortierter“ Basen der Unterräume Lq (Blockdiagonalform): T(q)(Ga) (dim(Lq) dim(Lq))-Matrix Irreduzibilität
Darstellung von Vektoren (Zerlegung in „irreduzible“ Komponenten): Blockstruktur wird in der Regel erst nach Basiswechsel (Unterräume Lq) erreicht Verfahren, invarianten Unterraum zu erzeugen, liefert schließlich auch irreduzible Darstellungen Darstellung von Vektoren (Zerlegung in „irreduzible“ Komponenten): Irreduzibilität
Beispiel (Gruppe D3) R1/2: Rotation in x-y-Ebene um 120° bzw. 240° Irreduzibilität
eine mögliche Darstellung (L=R3): Irreduzibilität
Darstellung ist reduzibel invariante orthogonale Unterräume V1 (x,y) und V2 (z) bilden mit den entsprechenden Teilmatrizen zwei- bzw. eindimensionale Darstellungen von D3 Darstellung in V2 offensichtlich irreduzibel V1 auch irreduzibel, da es keine , gibt, so dass Basis von V1 und (einfacheres Nachweisverfahren folgt später) Irreduzibilität
Äquivalente Darstellungen Eigenschaften von Darstellungen folgen aus den irreduziblen Darstellungen es existieren unendlich viele irreduzible Darstellungen (vgl. Basiswechsel) Irreduzibilität
T‘(Ga) Darstellung von G in L‘ T‘ und T heißen äquivalent T(Ga) Darstellung von G in L, A Abbildung von L nach L‘ (gleiche Dimension) T‘(Ga) Darstellung von G in L‘ T‘ und T heißen äquivalent Beweis: z.B. Elliot & Dawber äquivalente Darstellungen bilden eine Klasse Maschke‘s Theorem: Jede Klasse äquivalenter Darstellungen für endliche Gruppen beinhaltet unitäre Darstellungen Irreduzibilität
Beweis: z.B. Elliot & Dawber Bem.: gilt häufig auch für physikalisch relevante unendliche Gruppen daher Beschränkung auf unitäre Darstellungen ist T(Ga) Matrix der Darstellung bezüglich Basis ei und eine neue Basis ei‘ gegeben durch Irreduzibilität
dann ist T(Ga) bezüglich der neuen Basis gegeben durch: (äquivalente Matrixdarstellung) Achtung: Unterschied zu oben, da dort neuer Operator, während hier gleicher Operator bezüglich neuer Basis! Eigenschaften wie die Eigenwerte der Darstellungsmatrizen sind für alle Elemente einer Klasse gleich. Irreduzibilität
nicht äquivalente irreduzible Darstellungen T, T‘ sind nicht äquivalent, falls es keinen Operator A gibt, so dass gilt: äquivalente Darstellungen werden identifiziert (geeignete Basis => Matrizen identisch), daher Irreduzibilität
läuft über nicht äquivalente irreduzible Darstellungen m: Häufigkeit Irreduzibilität
Orthogonalitätsrelationen für irreduzible Darstellungen
Motivation bisher: Reduktion auf die Analyse nicht äquivalenter irreduzibler Darstellungen für diese gelten wichtige Orthogonalitätsrelationen entscheidend für charakteristische Eigenschaften von Symmetrien (in der Physik) Irreduzibilität
Schur‘s erstes Lemma T(Ga) irreduzible Darstellung von G in L, A Operator in L, Konstante, 1 Einheitsoperator Wenn A für alle Ga mit T(Ga) kommutiert, ist A ein Vielfaches des Einheitsoperators! Irreduzibilität
Schur‘s zweites Lemma T(1)(Ga), T(2)(Ga) seien irreduzible Darstellungen von G in L1 (Dimension s1) bzw. L2 (Dimension s2), A Operator, der Vektoren aus L2 nach L1 transformiert. Dann gilt, falls T(1) und T(2) nicht äquivalent sind: Beweise: z.B. Elliot & Dawber Irreduzibilität
Orthogonalitätsrelationen betrachte im Folgenden nur identische oder nicht äquivalente irreduzible Darstellungen dann zusammenfassende Darstellung der Lemmata möglich T()(Ga), T()(Ga) irreduzible Darstellungen von G in L bzw. L, A Operator, der die Vor. der Lemmata erfüllt: Irreduzibilität
falls T(), T() nicht äquivalent wobei falls T(), T() nicht äquivalent falls T()=T() Wähle wobei X beliebiger Operator, der Vektoren aus L nach L abbildet. Irreduzibilität
da Gc=GaGb für festes a ganz G durchläuft, wenn Gb ganz G durchläuft Dann gilt: da Gc=GaGb für festes a ganz G durchläuft, wenn Gb ganz G durchläuft Irreduzibilität
Einsetzen in die Lemmata: Wähle Bestimmung von : Falls i=j und = gilt, folgt nach Summation über i: Irreduzibilität
Falls T() unitär ist, folgt: da Irreduzibilität
rechte Seite 0 für =,i=j,q=p dann: Mittelwert über die Gruppe: Division durch die Anzahl g der Gruppenelemente Irreduzibilität
Orthogonalität: gilt nur für irreduzible Darstellungen ( => Test auf Irreduzibilität) Irreduzibilität
Folgerung: irreduzible Darstellungen von Abelschen Gruppen sind eindimensional Beweis: T()(Ga) sei irreduzible Darstellung einer Abelschen Gruppe G, dann gilt: (Schur) T()(Ga) ist diagonal für alle Ga und somit reduzierbar (Widerspruch!), es sei denn, T()(Ga) hat Dimension 1 Irreduzibilität
D3 hat drei verschiedene irreduzible Darstellungen! Beispiel (D3) (g=6): T(1): s1=1 T(2): s2=1 T(3): s3=2 D3 hat drei verschiedene irreduzible Darstellungen! Irreduzibilität
Nun gilt z.B.: Irreduzibilität
Eigenschaften von Darstellungen durch Basiswechsel können unendlich viele Darstellungen einer Gruppe erzeugt werden („Ähnlichkeitstransformation“) gesucht: von solchen Transformationen unabhängige Eigenschaften es existieren diverse solche Eigenschaften (z.B. Eigenwerte der Matrizen) Irreduzibilität
in der Regel genügt es eine zu betrachten besonders nützlich: Die Spur der Matrix T(Ga) (Summe der Eigenwerte, Summe der Diagonalelemente in beliebiger Basis) (Ga) ist invariant unter Ähnlichkeitstransformationen. Die Menge heißt Charakter der Darstellung. Irreduzibilität
Beweis: ebenso haben alle Elemente der gleichen Klasse Cp den gleichen Charakter p Irreduzibilität
Beweis: Seien Ga, Gb in der gleichen Klasse. Dann gilt Ga=GmGbGm-1 Beweis: Seien Ga, Gb in der gleichen Klasse. Dann gilt Ga=GmGbGm-1. Dann folgt für beliebige Darstellung T von G: Irreduzibilität
Orthogonalität: Weiterhin: Irreduzibilität
Kriterium für Irreduzibilität:
Quellen J.P. Elliot, P.G. Dawber, Symmetry in physics, Volume 1, Principles and simple applications, MacMillan, London, 1979 E. Stiefel, A. Fässler, Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung, Teubner, Stuttgart, 1979 Irreduzibilität