Eigenschaften von Primzahlen 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005

Corollary Für alle Primzahlen p > 3 gilt: Der Satz von Tamás Dénes Corollary Für alle Primzahlen p > 3 gilt: p = 6k + 1, oder p = 6k – 1, wobei k  N. 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005

Beweis Die Zahlen: 6k + 0, sind zusammengesetzte Zahlen. Der Satz von Tamás Dénes Die Zahlen: 6k + 0, sind zusammengesetzte Zahlen. Die Zahlen: 6k + 1, haben den Form der Corollary. Die Zahlen: 6k + 2, sind zusammengesetzte Zahlen. Die Zahlen: 6k + 3 = 3(2k + 1), sind zusammengesetzte Zahlen. Die Zahlen: 6k + 4, sind zusammengesetzte Zahlen. Die Zahlen: 6k + 5 = 6(k + 1) – 1, haben den Form der Corollary. Die Zahlen: 6k + 6, sind zusammengesetzte Zahlen. Q.E.D. 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005

Beispiel k 6k+0 6k+1 6k+2 6k+3 6k+4 6(k+1)-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Der Satz von Tamás Dénes Beispiel k 6k+0 6k+1 6k+2 6k+3 6k+4 6(k+1)-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005  

Der Satz von Tamás Dénes Zahlen in der Form n = 6k + 1 sind dann und nur dann zusammengesetzte Zahlen, wenn: k = 6uv + u + v, oder k = 6uv – u – v , und Zahlen in der Form n = 6k – 1 sind dann und nur dann zusammengesetzte Zahlen, wenn: k = 6uv – u + v, oder k = 6uv + u – v, wobei u und v  N. 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005

Der Satz von Tamás Dénes Corollary Zusammengesetzte Zahlen mit dem Primfaktor 2 und/oder 3 haben nicht die Form: 6k ± 1, wobei k  N. Beweis Zusammengesetzte Zahlen mit dem Primfaktor 2, sind gerade Zahlen, und haben nicht die Form: 6k ± 1. Zusammengesetzte Zahlen mit dem Primfaktor 3 sind durch 3 dividierbar, und haben nicht die Form: 6k ± 1. Q.E.D. 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005

Start der vollständigen Induktion: Der Satz von Tamás Dénes Beweis Start der vollständigen Induktion: Die kleinste Primzahlen in der Form 6k ± 1: p1= 5; p2= 7 ; n1 = p1* p1 = 5*5 = 25 = 6*4 + 1 = 6k1 + 1, mit k1 = 4; n2 = p1* p2 = 5*7 = 35 = 6*6 – 1 = 6k2 – 1, mit k2 = 6; n3 = p2* p2 = 7*7 = 49 = 6*8 + 1 = 6k3 + 1, mit k3 = 8. Die Konstanten k: k1 = 4 = 6uv – u – v, mit u = 1; v = 1; k2 = 6 = 6uv + u – v, mit u = 1; v = 1; k3 = 8 = 6uv + u + v, mit u = 1; v = 1. 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005

Der Induktionsschritt: Der Satz von Tamás Dénes Der Induktionsschritt: Gegeben seien zwei Primzahlen in der Form 6u ± 1 und 6v ± 1, wobei u und v  N. Es existieren vier Möglich- keiten davon zusammengesetzte Zahlen zu konstruieren : (6u + 1)(6v + 1) = 36uv + 6u + 6v +1 = 6 (6uv + u + v) + 1 (6u + 1)(6v – 1) = 36uv – 6u + 6v +1 = 6 (6uv – u + v) – 1 (6u – 1)(6v + 1) = 36uv + 6u – 6v +1 = 6 (6uv + u – v) – 1 (6u – 1)(6v – 1) = 36uv – 6u – 6v +1 = 6 (6uv – u – v) + 1 Die zusammengesetzten Zahlen haben wieder die Form 6k ± 1. Diese werden nochmals mit einer Primzahl in der Form 6k ± 1 multipliziert, usw. Q.E.D. 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005

Der Satz von Tamás Dénes n  N, und n  2, die nicht in der Form 6k + 1 oder 6k – 1 (k  N) darstellbar sind, haben die Primfaktoren 2 oder 3 oder beide. n  N, deren sämtliche Primfaktoren p  5 sind, inklusive der Primzahlen selbst, haben die Form 6k + 1 oder 6k – 1, k  N. 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005

Complemetary Prime Sive (C.P.S) Zahlen, die Primfaktoren 2 und/oder 3 haben 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005

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