12. Zur Bildung von Zyklen Prof. Dr. Johann Graf Lambsdorff Universität Passau WS 2007/08 F Fn z 12. Zur Bildung von Zyklen

Pflichtlektüre: Chiang, A. (1984), Fundamental Methods of Mathematical Economics, S. 591-596. Spahn, H.-P. (2006), Geldpolitik. Finanzmärkte, neue Makroökonomie und zinspolitische Strategien, S. 209- 211.

Die Auswirkungen von erwarteten Preis- und Lohnreaktionen auf das Verhalten von Unternehmen und Gewerkschaften wird im folgenden im Rahmen eines formalen Modells dargestellt. Dabei wollen wir den Erwartungskanal insofern vereinfachen, als dass wir die Wirkung auf das Realzinsniveau vernachlässigen. Die Möglichkeit, Preissteigerungen auch ohne Überschussnachfrage durchzusetzen wollen wir aber beibehalten. Im Zentrum des Modells soll daher die Auswirkung der Erwartungsbildung von Wirtschaftssubjekten auf makroökonomische Entwicklungen stehen (Konjunkturzyklen; Stagflation). 2006: Ende 11. Vorlesung!

Im monetaristischen „Angebots-Nachfrage-Modell“ wird besonderes Gewicht auf die Modellierung von Preisreaktionen gelegt. Dies erschien insbesondere notwendig nach den Erfahrungen mit hohen Inflationsraten in den 70er und 80er Jahren. Graphik ist dem 59. Jahresbericht der Bank für Internationalen Zahlungsausgleich entlehnt und bezieht sich auf Großbritannien

Die Philips-Kurve für Deutschland 1965 – 1999 (alte Bundesländer) Inflationsrate Arbeitslosenquote Quelle: Jan-Egbert Sturm, Konstanz 2004

Solche Zyklen können dadurch entstehen, dass der Realzins nicht unmittelbar auf die Güternachfrage wirkt, sondern mit einer zeitlichen Verzögerung. Im Keynesianischen Konsensmodell gilt dann: Wird die Taylorregel der Periode -1 in die IS-Kurve eingesetzt, so folgt:

Gemäß Inflationsfunktion gilt: Wird dies in (2‘) eingesetzt, so folgt: In Standardnotation „schieben“ wir die Gleichung eine Perioden nach vorne:

Hierzu bestimmen wir eine partikuläre Lösung, pP , welche durch die langfristige Gleichgewichtslösung bestimmt ist: pt+2= pt+1 = pt = pP . Die partikuläre Lösung bildet zusammen mit der Lösung des homogenen Teils der Differenzengleichung die gesamte Lösung. Für den homogenen Teil gilt:

Wir vermuten, dass ein exponentieller Term der Form Act als Lösung für den homogenen Teil für pt in Frage kommt. Dies impliziert pt+1 = Act+1 und pt+2 = Act+2 Wird dies eingesetzt, so folgt: a1 a2

Dies wird die „charakteristische Gleichung“ genannt Dies wird die „charakteristische Gleichung“ genannt. Sie hat zwei charakteristische Wurzeln: Es gibt somit zwei voneinander unabhängige Lösungen. Beide sind Bestandteil der allgemeinen Lösung der Differenzengleichung, jeweils mit einer Konstanten multipliziert. Einsetzen erbringt: Falls , steht unter der Wurzel ein negativer Term. In diesem Fall muss die Lösung komplex sein.

Die beiden Lösungen lassen sich dann so schreiben: c1,c2=h±vi , mit dem Realteil: h=-a1/2 und dem imaginären Teil: Die Lösung, Yc=A1(h+vi)t +A2(h-vi)t, ist nicht leicht zu interpretieren. Sie kann aber in trigonometrische Funktionen transformiert werden: (h±vi)t=Rt(cosqt±i.sinqt). Hierbei gilt sowie und

Aus Yc=A1(h+vi)t +A2(h-vi)t wird dann: Yc=A1Rt(cosqt + i.sinqt)+A2Rt(cosqt - i.sinqt) =Rt(A3cosqt +A4.sinqt); A3=A1+A2; A4=(A1-A2)i Die Werte der Konstanten A3 und A4 lassen sich jeweils aus den Anfangswerten bestimmen. Beispiel: Yt+2+1/4.Yt = 5. Offensichtlich ergeben sich komplexe Wurzeln. Es gilt h=0; v=1/2 sowie R=1/2. Daraus folgt cos q =0 und sin q =1, was jeweils bei q =p/2 erfüllt ist. Da ferner YP=4, folgt: Yt= (1/2)t .(A5cos(p/2.t) +A6.sin(p/2.t))+4. 2006: Ende 12. Vorlesung!

Es liegt Konvergenz vor, falls: Dies impliziert, dass bei einer zu hohen Inflationspräferenz Zyklenbildung entstehen kann. Im extremen Fall kann diese sogar divergent sein. Bei einer hohen Beschäftigungspräferenz könnte ebenfalls Divergenz auftreten, allerdings ohne Zyklenbildung, sondern monoton. Das Modellverhalten kann auch mit Hilfe einer Excel-Tabelle ermittelt werden. Folgende Parameterwerte in Excel durchtesten: Zunächst epsilon_1=1, alle anderen Störterme Null setzen. l_p=0.5, l_I =0.5 -> Konvergierend l_p=0.5, l_I=0 -> Persistente Inflation wg. Erweiterter Philippskurve l_p=2, l_I=0 -> Nachfragekurve explodiert alterierened. l_p=0, l_I =0.5 -> Oszillierend, weder konvergierend noch divergierend l_p=0, l_I =1 -> divergierend l_p=0, l_I =0.2 -> konvergierend eta_1=1, alle anderen Störterme Null setzen. l_p=2, l_I=0 -> Persistente Inflation wg. Erweiterter Philippskurve Nun alle Störterme mit „=zufallszahl()-0.5“ versehen. Welche Parameter könnten die besten sein? Die folgenden Werte einsetzen und jeweils die Kosten gemäß Kostenfunktion bestimmen.

Es ergibt sich insgesamt die folgende Übersicht für alternative Werte der Beschäftigungspräferenz und Inflationspräferenz bei b1=1, d=0,4 lP Divergente, alternierende Entwicklung 2 Kovergente, alternierende Entwicklung 1 Kovergente Zyklen Kovergente, monotone Entwicklung Divergente Zyklen 0,625 1 2 3 4 lI