Zahlen mit Zahlen ausmessen Referentinnen: Helena Franz, Viktoria Dobbermann Datum: 13.01.2006

Gliederung Zur Erinnerung Der größte gemeinsame Teiler (ggT) Der ggT und das kgV Primzahlen

1. Zur Erinnerung Die Zahl, mit der eine andere ausgemessen wird, nennt man MODUL (lat. modulus = Maß)

Satz von der eindeutigen Division mit Rest: Es seien n und m natürliche Zahlen. Dann lässt sich n eindeutig als Summe eines Vielfachen von m und eines Rests r darstellen, der kleiner als m ist:

2. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) Aufgabe: Ein Rechteck mit den Seiten a und b wird fortlaufend verkleinert, indem man jeweils die längere Seite um die kürzere verkleinert.

Aus einem 15·6-Rechteck entsteht dann eine Folge von Rechtecken mit folgenden Seitenangaben: 1. Verkleinerung: (15 – 6) · 6 = 9 · 6 2. Verkleinerung: (9 – 6) · 6 = 3 · 6 3. Verkleinerung: (6 – 3) · 3 = 3 · 3.

Arbeitsauftrag: Probieren Sie das Verfahren an anderen Rechtecken aus. Warum gelangt man dabei schließlich zu einem Quadrat? Das betreffende Quadrat habe die Seitenlänge c. Versuchen Sie zu begründen, dass c = ggT (a,b) gilt.

Satz über „Wechselwegnahme“: Für a ≥ b gilt ggT(a,b) = ggT(a – b,b). Beispiel: ggT ( 21,12) = ggT (9,12) = ggT (9, 3) = ggT (6, 3) = ggT (3, 3) = 3

Euklidischer Algorithmus zur Bestimmung des ggT: Ausgehend von Zahlen a und b mit a ≥ b wird folgende Kette von Divisionen mit Rest durchgeführt: Das Verfahren bricht ab, wenn der Rest 0 auftritt. Der letzte positive Rest bzw. der letzte darauf folgende Divisor ist dann der ggT (a,b).

Beispiele: a = 105, b = 33 a = 9794, b = 1298

Beispiele: a = 105, b = 33 105 = 3 · 33 + 6 33 = 5 · 6 + 3 33 = 5 · 6 + 3 6 = 2 · 3 + 0 ggT (105, 33) = 3 a = 9794, b = 1298 9794 = 7 · 1298 + 708 1298 = 1 · 708 + 590 708 = 1 · 590 + 118 590 = 5 · 118 + 0 ggT (9794, 1298) = 118

3. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) und kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) Beispiel:

Vielfachenbögen

Aufgabe: Vielfachenbögen mehrerer Zahlen bilden Grundmuster, die sich periodisch wiederholen. Begründen Sie (evtl. an einem Beispiel), dass für je zwei natürliche Zahlen a und b gilt: Das kgV (a, b) teilt das Produkt .

Satz vom kgV: Das kgV (a,b) teilt alle gemeinsamen Vielfachen von a und b. Insbesondere gilt: kgV (a,b) │ a · b. Beispiel:

Satz von kgV und ggT: kgV (a,b) · ggT (a,b) = a · b Aufgabe: Bestimme das kgV (1234,9794).

4. Primzahlen Definition: Eine natürliche Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und sich selbst. Jede Zahl n > 1, die keine Primzahl ist, heißt zerlegbar.

Das Sieb des Eratosthenes: Das Verfahren dient der systematischen Bestimmung von Primzahlen. Damit können alle Primzahlen unterhalb einer frei gewählten Grenzzahl N der Reihe nach bestimmt werden.

Das Sieb des Eratosthenes: Man schreibt alle Zahlen von 1 bis N geordnet auf. Die Zahl 1, die keine Primzahl ist, wird sofort gestrichen. Die kleinste Primzahl 2 wird markiert (z.B. eingekreist). Die (echten) Vielfachen von 2 sind sicherlich keine Primzahlen und werden gestrichen. Die kleinste noch nicht gestrichene Zahl, 3, wird eingekreist. (Sie ist eine Primzahl, da sie kein Vielfaches einer kleineren Primzahl ist.) Ihre Vielfachen (die sicherlich keine Primzahlen sind) werden gestrichen.

Das Sieb des Eratosthenes: In dieser Weise fährt man fort: Man markiert immer die kleinste noch nicht gestrichene Zahl p (die eine Primzahl sein muss, sonst wäre sie als vielfaches einer kleineren Primzahl schon gestrichen worden), und streicht ihre Vielfachen. Man führt den vierten Schritt durch, solange ist.

Satz: Beweis: Die Folge der Primzahlen ist unendlich. Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Betrachte: (1) sind keine Teiler von P. (2) P ist auch keine Primzahl, denn . Also besitzt P Teiler. Sei t der kleinste Teiler, dann muss t eine Primzahl sein. Wegen (1) gilt: . Also sind in noch nicht alle Primzahlen enthalten. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.

Lücken zwischen Primzahlen: In der Reihe der Primzahlen gibt es beliebig große Lücken (Siehe Sieb von ERATOSTHENES). Wenn alle Primzahlen bis p ausgesiebt sind, sind alle Zahlen von 2 bis p entweder Primzahlen oder Vielfache der Primzahlen 2,3, 5,…, p . Alle Zahlen der Form 2 · 3 · 5 · … · p + 2 , 2 · 3 · 5 · … · p + 3 , 2 · 3 · 5 · … · p + 4 , 2 · 3 · 5 · … · p + 5 ,… … 2 · 3 · 5 · … · p + p , sind dann durch mind. eine der Primzahlen 2,3,5,…, p teilbar, also keine Primzahlen. Wir haben also einen Abschnitt von p – 1 Zahlen konstruiert, indem es keine Primzahlen gibt. Da es beliebig große Primzahlen gibt, gibt es auch beliebige große Lücken.