Zahlen geschickt addieren Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Prof. Dr. Hochmuth WS 2005/06 Zahlen geschickt addieren Referentinnen: Andrea Renninghoff Ann-Kathrin Eschment Alexandra Jakobs

Gliederung Problemstellung Lösungsmöglichkeiten Gruppenarbeit Vorstellung der Lösungswege durch Seminarteilnehmer „Wer trifft die Zahl?“ – ein Aufgabenformat Einzelarbeit (mit Arbeitsblatt) Vorstellung der Lösungswege „Treppen“ als Beispiel geometrischer Zahlveranschaulichungen Reflexion

Summen von Zahlen Was ist Gegenstand? aufeinander folgende natürliche Zahlen aufeinander folgende natürliche Zahlen mit festen Abständen Was wird gemacht? Beziehung der Zahlen und Summen betrachten von bestimmten Ergebnissen mögliche Summen suchen

Aufgabe 1 Für welche Zahlen n ist es möglich die Menge Sn = {1, 2,…, n-1, n} in zwei summengleiche Teilmengen zu zerlegen? Summengleich heißt, dass die Summe der Zahlen in der einen Teilmenge gleich der Summe der Zahlen in der anderen Teilmenge ist.

Ansatzmöglichkeiten Cuisenaire-Stäbe Pärchenbildung Gesamtsumme bilden

Cuisenaire-Stäbe Abb.1

Pärchenbildung Abb.2

Gesamtsumme bilden Ungerade: keine Zerlegung möglich Abb.3 Ungerade: keine Zerlegung möglich Gerade: Zerlegung zu finden, falls diese existiert

Allgemeine Lösung (Muster) Summanden geeignet zusammenfassen 2 Fälle zu unterscheiden: Summen mit gerader Anzahl von Summanden Summen mit ungerader Anzahl von Summanden

Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden Pärchenbildung Abb.4 Abb.5

Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden Summe = Produkt von Pärchenanzahl und Pärchensumme Pärchenanzahl beträgt dabei die Hälfte der Summandenanzahl Pärchensumme bildet sich aus dem ersten und letzten Glied

Fall 2: Ungerade Anzahl von Summanden Es gibt Mittelzahl (MZ) Überschuss zu der symmetrisch zur MZ liegenden Partnerzahl hinzugefügt Summe mit lauter gleichen Summanden: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9= 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5= 9 · 5 = 45 Summe = MZ · Summandenanzahl

Verallgemeinerung Auf arithmetische Reihen übertragbar Abb.6 Abb.7

Für welche n gerade /ungerade Summe? Abwechselnd Addition gerader und ungerader Summanden ungerade Anzahl ungerader Summanden: Gesamtsumme ungerade Anzahl gerade: Gesamtsumme gerade GSS abwechselnd zwei mal gerade und zwei mal ungerade

Gerade Gesamtsumme N ist ein Vielfaches von 4, d.h. n = 4k, =>2k summengleiche Pärchen zu bilden Ist n um 1 kleiner als ein Vielfaches von 4,d.h. n=4k–1, werden die ersten drei Summanden zusammengefasst. Rest: Fall 1 Abb.8 Abb.9

Gruppenarbeit A2: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender gerader natürlicher Zahlen {2,4,…,2n-2,2n} A3: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender ungerader natürlicher Zahlen{1,3,…2n-3,2n-1} A5: Summen von zwei, drei, vier aufeinander folgender Zahlen

„Wer trifft die 50?“ – Erläuterung des Aufgabenformats Additionszahl +   Es wird eine Start- und eine Additionszahl gewählt. 2. Kästchen: Summe aus Start- und Additionszahl weitere Kästchen: Summe aus der Zahl im vorhergehenden Kästchen und der Additionszahl, bis 5 Kästchen voll sind. In das letzte Kästchen wird die Summe der ersten 5 Kästchen eingetragen.     Aufgabe: Finde Kombinationen aus Start- und Additionszahl, bei denen die Zielzahl „50“ ist.

Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen 1 4 7 13 16 19 10 Arithmetische Reihe (d=3): 10∙7=70 -9 -6 -3 +3 +6 +9 Diese Operation (Ausgleich um die Mittelzahl) kann auch durch Treppen veranschaulicht werden: 10 10 10 10 10 10 10 1 4 7 10 13 16 19 Und andersherum?

Reihenbildung durch Einsatz von Treppen Darstellbar als Produkt von: 9∙10 Z=90 Bzw. als Summe von: 10+10+10+10+10+10+10+10+10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Wie könnte man „90“ noch als Treppenmuster darstellen, wenn d konstant sein soll?

Reihenbildung durch Einsatz von Treppen 2. Möglichkeit (d=2): 3. Möglichkeit (d=3): 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -2 1 4 7 10 13 16 19 22 Bisher wurden nur Beispiele erwähnt, in denen eine ungerade Anzahl von Summanden vorlag. Ist es ein Problem, wenn kein Mittelwert direkt existiert?

Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen 5 7 9 13 15 17 11 19 Beispiel: d=2 -7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7 Naheliegend: Pärchenbildung 5 7 9 11 13 15 17 19 24 24 24 24

Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen 5 7 9 13 15 17 11 19 Aber auch hier kann ein Mittelwert ermittelt werden, nämlich: [(11+13) : 2] ∙8=96 (11+13) : 2=12 Summe Diese Operation (Ausgleich um die MZ) kann ebenso durch Treppenmuster veranschaulicht werden: 5 7 9 11 13 15 17 19 12 12 12 12 12 12 12 12

Reihenbildung durch Einsatz von Treppen Darstellbar als Produkt von: 6∙12 Z=72 Bzw. als Summe von: 12+12+12+12+12+12 12 12 12 12 12 12 7 9 11 13 15 17

Reihenbildung durch Einsatz von Treppen 3. Variante: 2. Variante: 2 6 10 14 18 22 -3 3 9 15 21 27

Geschickt addieren durch zweifache Summierung - Was heißt das? 1 4 7 10 13 16 19 19 16 13 10 7 4 1 + 20 summiert 7∙ 20=140 Summe der Reihe: 70, da 140:2=70 Wie würde diese Rechnung mit Treppen veranschaulicht werden?

Literaturangabe: Müller, Gerhard N Literaturangabe: Müller, Gerhard N., Steinbring, Heinz, Wittmann Erich Ch. (Hg.): Arithmetik als Prozess, Kallmeyersche Verlagsbuchhandlung GmbH, Seelze, 2004