Zahlen geschickt addieren Universität Kassel Wintersemester 2008/09 Prof. Bley Arithmetik als Prozess Referentin: Madeleine Fischer Datum: 17.11.2008

Durch geschicktes Addieren sollen Beziehungen zwischen Zahlen und Summen betrachtet werden.

Gliederung Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender Zahlen 2.1. Summengleiche Teilmengen einer Menge gerader aufeinander folgender Zahlen 2.2. Summengleiche Teilmengen einer Menge ungerader aufeinander folgender Zahlen Summen aufeinander folgender natürlicher Zahlen 100 als Summe aufeinander folgender Zahlen „Wer trifft die 50?“

1. Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender Zahlen Summengleich: Die Summe der Zahlen in der einen Teilmenge ist gleich der Summe der Zahlen in der anderen Teilmenge. Bsp.: n=8 Sn={1,2,3,4,5,6,7,8} Gesamtsumme ist 36 Summengleiche Teilmengen: {1,2,3,4,8} =18 {5,6,7} = 18

Allgemein Gesamtsumme ist ungerade  keine Zerlegung in summengleiche Teilmengen möglich Gesamtsumme ist gerade  Zerlegung eventuell möglich

Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden Bsp.: n=8 1+2+3+4+5+6+7+8 Pärchenanzahl = n/2, also hier 4 Pärchensumme = n+1, also hier 9 Gesamtsumme= Pärchenanzahl x Pärchensumme Sn= n/2 x (n+1) Hier: 8/2 x (8+1) = 36  summengleiche Teilmengen: {1,8,2,7} und {3,6,4,5}

Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden Bsp.: n=10 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 Sn= n/2(n+1)  Sn= 10/2 (10+1) = 55 Gerade Anzahl von Summanden aber ungerade Gesamtsumme  keine summengleichen Teilmengen möglich D.h. n/2 muss gerade sein

Fall 2: Ungerade Anzahl von Summanden Bsp.: n=7 Sn={1,2,3,4,5,6,7} 1+2+3+4+5+6+7 Mittelzahl= (n+1)/2, hier also 4 Summandenanzahl= n, hier also 7 Gesamtsumme= Summandenanzahl x Mittelzahl Sn= n x (n+1)/2 Hier: 7x (7+1)/2= 28 Summengleiche Teilmengen: {1,2,4,7} und {3,5,6}

Summe aufeinanderfolgender Zahlen: Addition von abwechselnd geraden und ungeraden Summanden Gesamtsumme ist ungerade: ungerade Anzahl von ungeraden Summanden  n= 1,2,5,6,9,10… Gesamtsumme ist gerade: gerade Anzahl von ungeraden Summanden n= 3,4,7,8,11,12… Für Vielfache von 4 und Zahlen die um 1 kleiner sind als die Vielfachen von 4 (also n=4k und n=4k-1)

n= 4k Sn= n/2(n+1) da gerade Anzahl von Summanden Sn= 4k/2 x (4k+1) Gerade Gesamtsumme Bsp.: n= 12 Sn= 78 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 Summengleiche Teilmengen: {1,2,3,10,11,12} und {4,5,6,7,8,9}

n= 4k-1 Sn= n x (n+1)/2 da ungerade Anzahl von Summanden Sn= (4k-1) x 4k/2 = (4k-1) x 2k  Gerade Gesamtsumme Bsp.: n=15 Sn=120 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 Summengleiche Teilmengen: {1,2,4,5,6,13,14,15} und {3,7,8,9,10,11,12}

Was ist mit n=2,6,10,14…? n= 4k+2 Sn= n/2(n+1) da gerade Anzahl von Summanden Sn = (4k+2)/2 x (4k+3) = (2k+1)x(4k+3) Ungerade Gesamtsumme Bsp.: n= 10 Sn= 55

Was ist mit n= 1,5,9,13…? n= 4k+1 Sn= n x (n+1)/2 da ungerade Anzahl von Summanden Sn= (4k+1) x (4k+2)/2 = (4k+1) x (2k+1)  Ungerade Gesamtsumme Bsp.: n= 9 Sn= 45

2. 1. Summengleiche Teilmengen einer Menge gerader aufeinander 2.1. Summengleiche Teilmengen einer Menge gerader aufeinander folgender Zahlen Menge der ersten n geraden Zahlen: {2,4,…,2n-2,2n} Bsp.: n=4 Sn={2,4,6,8} Summengleiche Teilmengen: {2,8} und {4,6} Zurückzuführen auf aufeinander folgende Zahlen Also möglich bei n= 4k und n= 4k-1

2. 2. SummengleicheTeilmengen einer Menge ungerader aufeinander 2.2. SummengleicheTeilmengen einer Menge ungerader aufeinander folgender Zahlen Menge der ersten n ungeraden Zahlen: {1,3,…,2n-3,2n-1} Bsp.: n=4 Sn={1,3,5,7} Entscheidend: Anzahl der ungeraden Summanden Also möglich bei n= 4k und n= 4k+2  n=4,6,8,10,12… gerade Anzahl von ungeraden Summanden

3. Summen aufeinander folgender natürlicher Zahlen Bsp.: Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen Sn = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4) = 5n + 10  Alle Vielfachen von 5, die ≥ 15 sind

3. Summen aufeinander folgender natürlicher Zahlen Bsp.: Summe von 2 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen Sn = n+(n+1) = 2n+1  Alle ungeraden Zahlen die ≥ 3 sind Bsp.: Summe von 4 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen Sn = n+(n+1)+(n+2)+(n+3) = (n-1)+n+(n+1)+(n+2) = 4n+2  Alle Zahlen die durch 2 aber nicht durch 4 teilbar sind und ≥ 6 sind

3. Summen aufeinander folgender natürlicher Zahlen Allgemeine Formel für k aufeinander folgende natürliche Zahlen: Sn = n+(n+1)+(n+2)+…+(n+k-1) = kn + (1+2+…+(k-1)) = kn + (k-1) x k/2 Unterscheidung für k ist gerade und k ist ungerade

1.Fall: k ist gerade Sn = kn + (k-1) x k/2 = kn + k x k/2 – k/2 = k (n + k/2) – k/2 Bsp.: k=6 Sn = 6n + 18 – 3 = 6n + 15  Alle Zahlen die durch 3 aber nicht durch 6 teilbar sind und ≥ 21

2.Fall: k ist ungerade Sn = kn + (k-1)/2 x k = k (n + (k-1)/2) Bsp.: k=7 Sn = 7 (n+3) = 7n + 21  Alle Zahlen die durch 7 teilbar sind und ≥ 28

4. Die Zahl 100 als Summe aufeinander folgender Zahlen 100 lässt sich als Summe von 5 und 8 aufeinanderfolgenden natürlichen darstellen Bsp.: k=5 Sn = k (n + k-1/2) 100 = 5 (n+2) 18 = n 18+19+20+21+22 = 100 Bsp.: k=8 Sn = k (n + k/2) – k/2 100 = 8(n + 4)-4 9 = n  9+10+11+12+13+14+15+16 = 100

5. Wer trifft die 50?

Wie findet man alle Lösungen? n n+k n+2k n+3k n+4k Sn= n+(n+k)+(n+2k)+(n+3k)+(n+4k) Sn= 5n+10k Bsp.: n=2 50= 5x2+10k 4= k

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit