Übersicht I Künstliche Intelligenz II Problemlösen III Wissen und Schlussfolgern IV Logisch Handeln V Unsicheres Wissen und Schließen VI Lernen 18. Lernen aus Beobachtungen 19. Wissen beim Lernen 20. Statistische Lernmethoden 21. Verstärkungslernen VII Kommunizieren, Wahrnehmen und Handeln Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Lernen in Bayes'schen Netzen Lernen der Netzstruktur bzw. der Wahrscheinlichkeitstabellen: Bekannte Netzstruktur, beobachtbare Variablen: Update der Wahrscheinlichkeitstabellen Bekannte Netzstruktur, teilweise versteckte Variablen: EM-Algorithmus Unbekannte Netzstruktur, beobachtbare Variablen: Suchproblem durch mögliche Netzstrukturen Unbekannte Netzstruktur, teilweise versteckte Variablen: Offenes Forschungsproblem (z.B. strukturierter EM-Algo) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Lernen von Wahrscheinlichkeitstabellen Gegeben ist die Netztopologie und N Fälle: Apriori-Wahrscheinlichkeiten P(D): |D| / N bedingte Wahrscheinlichkeiten P(S|D): |S  D| / |D| Problem: Unbeobachtete Variablen (Null-Wahrscheinlichkeiten) Vereinfachung Bayesscher Netze zu naiven Bayes Modellen Unabhängigkeitsannahme in naiven Bayes Modellen Formel (Wdh): P (C | x1, … xn) =  P(C) i P(xi|C) Verbesserung durch Boosting: Neue Hypothesen werden dadurch erzeugt, das falsch bewertete Fälle stärker gewichtet werden (äquivalent zur Vervielfachung dieser Fälle) Sehr effizientes Lernverfahren (keine Suche erforderlich) Eines der effektivsten allgemeinen Lernverfahren Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Beispiel: Restaurant-Daten Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Vorteile versteckter Variablen Wenn jede Variable 3 mögliche Werte hat, geben die Zahlen bei den Knoten die Größe der Wahrscheinlichkeitstabellen an. Man beobachtet eine starke Zunahme von (a) mit versteckter Variable nach (b) ohne versteckte Variable Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Expectation-Maximization (EM) Algorithmus Der EM-Algorithmus ist eine Familie von Algorithmen zur iterativen Approximation in Systemen mit versteckten Größen. Anwendbar u.a. für: für Gaussche Dichteverteilungen für Bayessche Netze für Hidden Markov Modelle EM berechnet Erwartungswerte für die versteckten Größen basierend auf den beobachteten Größen und der gemeinsamen Verteilung. EM konvergiert gegen ein lokales Maximum, die Qualität der Lösung ist nicht zwingend gut (abhängig vom Startwert). Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Beispiel für Dichteverteilungen: Clustering Gegeben: Menge von Punkten Gesucht: k Cluster für Punkte Lösungsidee EM-Algorithmus: Initialisierung: Gib eine Gaussverteilung mit den Parametern Gewicht, Mittelwert und Covarianz (oder bei K-Means-Clustering vereinfacht einen Mittelpunkt) für jedes Cluster vor. E-Schritt (Expectation): Berechne die Wahrscheinlichkeit für jeden Punkt, dass er zu einem Cluster gehört M-Schritt (Maximation): Aktualisiere aus der berechneten Zugehörigkeit der Punkte für alle Cluster seine Parameter Terminierung: Wiederhole, bis nur noch geringe Änderungen Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Beispiel für Bayessches Netz Aufgabe: Es gibt 2 Beutel (bags) mit Bonbons. Die Bonbons haben 3 Attribute: Geschmack: Kirsche, limone (flavor: cherry, lime); Verpackung: rot, grün (wrap-per: red, green) & Löcher: mit, ohne (holes: yes, no). Die beiden Beutel haben jeweils verschiedene Wahrscheinlichkeiten für Bonbontypen. Aus beiden Beu-teln sind unbekannt viele Bonbons entnommen (s. Tabelle mit 1000 Bonbons). Kann man daraus auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beutel schließen? Geschätzt werden soll: : P(Bag=1)  F1: P(F=cherry | Bag1)  F2: P(F=cherry | Bag2)  W1: P(W=red | Bag1) … Wenn wir wüssten, welche Bonbontypen aus welchen Beuteln kommen, bräuch-ten wir nur Häufigkeiten verrechnen (s.o.). Wir wissen es aber nicht! Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

EM Lösung für Bayes-Beispiel (1. Schritt) Ziel: Werte für die Apriori-Wahrscheinlichkeit der Beutel, d.h.  = P(Bag1) und der bedingten Wahrscheinlichkeiten: F1 = P(Flavor = Cherry | Bag1)  W1 = P(Wrapper = Red | Bag1)  H1 = P(Hole = Yes | Bag1)  F2 = P(Flavor = Cherry | Bag2)  W2 = P(Wrapper = Red | Bag2)  H2 = P(Hole = Yes | Bag2) Vorgehen (1. Iteration): Rate alle Parameter, z.B.  = 0,5; F1=W1=H1=0,8; F2=W2=H2=0,3 Berechne für verborgene Variablen (z.B. Bag1) die erwartete Häufigkeit = = erwartete Häufigkeit von rotverpackten Kirsch-Bonbons mit Loch aus Beutel1 = 273 * = 228, analog für Rest: erwartete Häufigkeit von Bonbons aus Beutel1: = 612. Berechne daraus  = P(Bag1) = / N = 612 / 1000 = 0,612 Das gleiche für übrige Häufigkeiten bzw. bedingte Wahrscheinlichkeiten Ergebnis: =0,61; F1=0,67 W1=0,65 H1=0,66; F2=0,39 W2=0,38 H2=0,38 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

EM Lösung für Bayes-Beispiel (Iteration) Die neuen Parameter , F1, W1, H1, F2, W2, H2 nach der ersten Iteration erhöhen die Passgenauigkeit von Modell und Daten (Logorithmus der Likelihood) beträchtlich (Faktor e23) Iteriere solange, bis sich die "Loglikelihood" nicht mehr stark erhöht (loka-les Maximum) durchgezogene Kurve zeigt Verbesserung nach Anzahl von Iterationen ab 10 Iterationen besser als Originaldaten, (gestri-chelte Linie) danach kaum nach Anstieg Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Beispiel für Hidden Markov-Modell HMM entsprechen Bayes-Netzen mit nur einer diskreten Zustandsvariablen Gegeben: endliche Beobachtungssequenzen (z.B. Schirme), Initialmodell Gesucht: Modell mit Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten, Zustands-Beobachtungswahrscheinlichkeiten und Zustandsanfangswahrscheinlichk. Aktualisierungsfunktion für Zustandsübergangswahrscheinlichkeit (zeitunab-hängig): wie oft wurde von einem bestimmten Zustand i Zustand j erreicht? Dabei werden Erwartungs-werte mit HMM-Inferenz-Algorithmus berechnet. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Allgemeine Form des EM Algorithmus Gegeben: Beobachtbare Variablen x, Anfangsmodell  Expectation-Schritt: Berechnung der versteckten Variablen Z = z Maximization-Schritt: Berechnung der neuen Modellparameter  Bei Gaussverteilungen: Mittelwert, Varianz, (Gewichte), usw. Bei Bayesschen Netzen: Wahrscheinlichkeitstabellen Bei HMM: Wahrscheinlichkeiten von einem Zustand zum nächsten und zu Beobachtungen (Zeitinvariant!), Anfangswahrscheinlichkeit für Zustand. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Andere Darstellung für EM (Sem-Vortrag) http://page. mi. fu-berlin Sequenz von Observablen X= x1...xn Gesucht ist Modell Θ um X zu beschreiben Problem: versteckte Parameter Y = y1...ym führen zu unvollständigen Daten - systematische Unvollständigkeit Y ist grundsätzlich nicht beobachtbar - zufällige Unvollständigkeit Y wird von dem verwendeten Sensor nicht erfasst Definition: Z = (X,Y) ist der vollständige Datensatz Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

EM (andere Darstellung 2) Wahrscheinlichkeitsverteilung der vollständigen Daten: p(Z | Θ) = p(X,Y| Θ) = p(Y|X, Θ) * p(X| Θ) Likelihood-Funktion der vollständigen Daten: L(Θ|Z) = L(Θ|X,Y) = P(X,Y| Θ) EM-Prinzip: 1. Berechne Erwartungswert für die versteckten Variablen basierend auf Θ und X ( E-Schritt) 2. Maxmiere Erwartungswert bezüglich neuen Parametern Θ‘ (M-Schritt) ( Wiederhole 1. und 2. ) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

EM (andere Darstellung 3) Spezifikation der Zielfunktion Q(Θ, Θi-1) = E [ log p(X,Y| Θ) | X, Θi-1] Y ist Zufallsvariable mit Verteilung f( y |X, Θi-1), dann gilt E [ log P(X,Y|Θ) | X, Θi-1] = log p( X,Y | Θ) f( y |X, Θi-1) => Q(Θ, Θi-1) ist nun eine analytisch berechenbare Funktion EM-Prinzip II: E-Schritt: Berechne Q(Θ, Θi-1) M-Schritt: Berechne Θ = argmax Q(Θ, Θi-1) ( Iteration bis zur Konvergenz ) Θ Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

EM-Übersicht (andere Darstellung 4) Wahl des Anfangs-parametersatzes hat hat Einfluß auf die Güte der Lösung. Auswertung von Q(Θi+1, Θi) Auswertung von: Θ‘ = argmax Q(Θ‘, Θ) Θ Abbruch der Iteration durch geeignetes Konvergenzkriterium || Θi+1 - Θi || < ε Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Lernen unbekannter Bayesscher Netzstrukturen Untypische Situation, da die Struktur von Netzen, d.h. von Kausalitäten im allgemeinen gut Experten geschätzt werden kann. Strukturelle Lernalgorithmen noch nicht ausgereift Basisidee: Suche von Netzstrukturen Starte mit leerem Netz und füge schrittweise Variablen hinzu Starte mit fertigem Netz und modifiziere es Kernproblem: Qualitätsfunktion zur Bewertung von Netzen Test auf Unabhängigkeiten (Problem: Schwellwerte) Test auf Erklärungsfähigkeit der Daten (Problem: Overfitting) Bestrafung von Komplexität erforderlich Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Instanzen-basiertes Lernen Bisher: parametrisches Lernen: Aus den Beispielen werden die Parameter eines vorgegebenen Modells gelernt Komplexität der Hypothese vorgegeben Nicht-parametrisches Lernen: Komplexität der Hypothese kann mit Daten wachsen; Instanzen-basierte Lernmethoden: Nearest-Neighbor Modelle Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Nearest-Neighbor Modelle (Fallbasiertes Schließen) Annahme: Ähnliche Fälle haben ähnliche Lösungen Problem: Wie definiert man Ähnlichkeit bzw. Distanz? kontinuierliche Werte: Euklidische Distanz: (Wurzel aus Summe der Quadrate der Einzeldifferenzen pro Attribut) Wenn Normalisierung erforderlich: Abstand zweier Werte in Vielfachen der Standardabweichung Differenz der Werte / Max-Differenz diskrete Werte Hamming-Distanz: Anzahl unterschiedlicher Attribute / alle Attribute gewichtete Hamming-Distanz mit partiellen Ähnlichkeiten Datenabstraktion nützlich Eigenschaften: keine Lernzeit aber bei großer Fallzahl langsam schnelles Fallretrieval notwendig (erfordert passende Datenstrukturen, die gelernt werden müssen) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Aufbau natürlicher & künstlicher Neurone Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Verschiedene Aktivierungsfunktionen (a) Stufenfunktion (nicht differentierbar) (b) Sigmoidfunktion (differentierbar) exakte bzw. ungefähre Schwelle (Defaultmäßig bei ini = 0) kann durch "Bias-Weight" W0 verschoben werden Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Simulation logischer Gatter Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Beispiel für einfaches neuronales Netz vorwärtsgerichtetes, mehrschichtiges Netz Input: (x1, x2) = (a1, a2) Output a5 ist Funktion des Inputs (g = Akti-vierungs-funktion): a5 = g(W3,5 * a3 + W4,5 * a4) = g(W3,5 * g(W1,3 * a1 + W2,3 * a2) + W4,5 * g(W1,4 * a1 + W2,4 * a2)) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Generische Lernprozedur in Neuronalen Netzen Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Typen von Neuronalen Netzstrukturen vorwärtsgerichtete (feedforward) Netze - Perzeptrons: ohne versteckte Knoten - Mehrebenen-Netze: mit versteckten Knoten zirkuläre (recurrent) Netze (output  input): schwierig zu verstehen, z.B.: Hopfield-Netze: mit bidirektionalen Kanten und symmetrischen Gewichten, alle Knoten sind sowohl Ein- als auch Ausgabeknoten Boltzmann Maschinen: mit bidirektionalen Kanten und symmetrischen Gewichten, mit inneren Knoten, stochastische Aktivierungsfunktion Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Perceptrons: Struktur Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Basis-Perzeptron-Lernalgorithmus (nach Rojas) Beispiele (Punkte): x1 - xn , die positiv (P) oder negativ (N) bewertet sind. Zusammengefasst als Vektor x. Gewichte w0 – wn werden zum Anfang zufällig generiert und dann in jeder Iteration t für jedes Beispiel modifiziert. Zusammengefasst als Vektor w mit Index t: wt Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Perceptron-Lernformel (einfache Form) Aktivierung eines Output-Neurons O (g = Stufenfunktion) : O = g (i wi xi) Der Fehler eines Output-Neurons pro Beispiel ist der korrekte Output T minus dem tatsächlichen Output O: Fehler = T – O = T - g (i wi xi) Er muss auf alle Inputs entsprechend ihrem Beitrag zu O verteilt wer-den. Der Beitrag des Inputsneurons j ist wj xj. Falls xj positiv, führt eine Erhöhung von wj zu einer Erhöhung des Gesamtoutputs, sonst zu einer Erniedrigung. Daraus folgt Aktualisierungsregel für jedes wj: wj  wj +  * xj * Fehler Konstante  heißt Lernrate. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Verbesserung der Perceptron-Lernformel Die einfache Aktualisierung der Gewichte konvergiert immer mit den korrekten Werten, wenn die zu lernende Funktion linear separierbar ist (s. nächste Folie). Allerdings kann es exponentiell lange dauern! Effizienzverbesserungen: Normierung aller Eingabedaten Delta-Regel: Die Gewichte werden nicht um das Produkt (Eingabewert * Fehler) sondern um den minimalen Betrag geändert, der erforderlich ist, um das Beispiel richtig zu klassifizieren Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Lineare Trennbarkeit in Perceptrons Während die "und" und die oder-funktion linear trennbar sind (a und b), ist die XOR-Funktion (c) nicht linear trennbar und kann daher von einem Perceptron nicht gelernt werden! Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Lernkurven bei Percpetrons (a): Mehrheitsfunktion mit 11 Inputs (b) Restaurant-Beispiel Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Mehrebenen - Netz Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Backpropagation-Lernen Unterschiede zu Perceptrons: Es gibt mehrere Outputs, daher ist der Output ein Vektor hw(x), der mit dem Beispiel-Output-Vektor y verglichen wird: Fehler = y – hw Auch für hidden layers muss ein Fehler berechnet werden, deswegen muss Aktivierungsfunktion differenzierbar sein (Sigmoid- statt Stufen-Funktion) Gewichtsänderung der Output-Neuronen Wj,i  Wj,i +  * aj * i mit i = Fehleri * g'(ini) Gewichtsänderung der versteckten Neuronen Wir brauchen Äquivalent für Fehler der Output-Neuronen Idee: der versteckte Knoten j ist für einen Teil des Fehlers bei i verant-wortlich. Die i Werte werden entsprechen der Stärke ihrer Verbindun-gen zwischen versteckten Knoten und Output-Knoten aufgeteilt und rückwärts propagiert, um die j-Werte der versteckten Ebene zu liefern j = g'(inj) (i Wj,i i ) Gewichtsänderungsregel: Wk,j  Wk,j +  * ak * j Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Restaurant-Beispiel: Lernkurve (a) langsame Reduktion der Fehler über verschiedene Epochen beim Backpropagation Lernen (b) Vergleich der Lernkurven beim Backpropagation und Entscheidungsbaumlernen Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Optimale Netzwerkstrukturen Bei Netzwerkstrukturen mit zu vielen Knoten kommt es zur Überanpassung bis zum Auswendiglernen, bei zu wenig Knoten kann das Netz unfähig sein, die gewünschte Funk- tion zu repräsentieren. Bisher gibt es keine guten Heuristiken, um die optimale Netzwerkgröße für ein gegebenen Problem abzuschätzen. Eine Idee besteht darin, daß man mit einem kleinen Netz startet und nach Bedarf Knoten hinzufügt. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Diskussion des Backpropagation-Lernen Ausdrucksstärke: Abhängig von Netztopologie Berechnungseffizienz: Langsame Lernrate, Lokale Minima Generalisierungsfähigkeit: Gut, wenn Output sich kontinuierlich mit dem Input verändert Sensitivität für Rauschen: Sehr tolerant Transparenz: Black Box Integrierbarkeit von Vorwissen: Schwierig Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Kernel Machines (Support Vector Machines) Kernel machines kombinieren Vorteile von Perceptrons (einfacher und effizienter Lernalgorithmus) und Mehrebenen-netze (Ausdrucksstärke) Zentrale Idee: Benutze lineare Separatoren, aber in einem veränderten (höherdimensionierten) Zustandsraum Neues Problem: Gefahr der Überanpassung, da in einem d-dimensionalen Raum d Parameter für linearen Separator erforderlich sind, wenn N (Anzahl der Datenpunkte)  d. Lösung: Suche nach optimalen linearen Separatoren (mit größtem Abstand zwischen positiven auf der einen und negativen Beispielen auf der anderen Seite): Finde Parameter i, die folgenden Ausdruck maximieren (Beispiele xi mit Klassifikation yi): i i – ½ i,j i j yiyj (xi * xj) mit i > 0 und i i yi = 0 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Beispiel für lineare Trennbarkeit nach Transformation (a) 2-dimensionale Daten (positive Beispiele im Kreis) (b) gleichen Daten nach Abbildung in 3-dimensionalen Raum (x12,x22, 2x1x2) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Beispiel für optimalen Separator Der optimale Separator aus der letzten Folie (nur 2 der 3 Dimensionen gezeigt) ist die dicke Linie, die den abstand zu den nächsten Punkten, den Stützvektoren (support vectors, markiert mit Kreisen) maximiert. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Transformation in höherdimensionierten Raum i i – ½ i,j i j yiyj (xi * xj) mit i > 0 und i i yi = 0 Eigenschaften: Der Ausdruck hat ein einziges globales Maximum, das effizient gefunden werden kann! Die Daten gehen nur als Punkt-Produkte benachbarter Punkte in die Gleichung ein! Die i sind nur für die Stützvektoren ≠ 0, daher ist die effektive Anzahl von Parametern relativ klein (<< N)! Transformation Suche Separator in hochdimensionalen Merkmalsraum F(x) Ersetze dazu xi * xj durch F(xi)* F(xj), wobei das Punktprodukt oft ausgerechnet werden kann, ohne F für jeden Punkt zu berechnen, z.B. F(xi)* F(xj) = (xi * xj )2 (xi * xj )2 hießt Kernfunktion (kernel function): K (xi ,xj ) allgemein: (xi * xj ) wird durch eine Kernfunktion K (xi ,xj ) ersetzt viele Kernfunktionen (auch sehr hochdimensionale) möglich Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Umgang mit verrauschen Daten Kernel machines eignen sich auch für Daten, die sich nicht fehlerfrei trennen lassen. Dazu muss ein Parameter vorgegeben werden, der die erwartete Fehlerspanne charakterisiert. Der Basisalgorithmus ändert sich nicht. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Diskussion Kernel / Support Vector Machines Sehr mächtiges Lernverfahren Ähnlich wie, aber mit Vorteilen gegenüber Neuronalen Netzen Erfreut sich in letzter Zeit zunehmender Beliebtheit Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Beispiel: Erkennen handgeschriebener Ziffern Standard-Benchmark-Problem mit Datenbank von 60 000 markierten Ziffern in 20*20=400 Pixeln mit 8 Graustufen (oben leicht, unten schwer identifizierbare Beispiele) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Getestete Lernverfahren Nearest Neighbor (ohne Anpassungen und Parametereinstellungen) Neuronales Netz mit einer versteckten Ebene: 400 Input Knoten (pro Pixel) 10 Output Knoten (pro Ziffer) 300 versteckte Knoten (mit Kreuzvalidierung optimiert) 123 000 Gewichte Spezialisierte Neuronale Netze (LeNet): optimiert bezüglich der Struktur des Problems Neuronales Netz (LeNet) mit Boosting von 3 Hypothesen Support Vector Machine ohne Anpassungen und Parametereinstellungen Virtuelle Support Vector Machine Startet mit Ergebnis der Support Vector Machine Nachträgliche Optimierung mit Ausnutzen der Struktur des Problems Gestaltvergleich (shape matching): Technik vom Computersehen mit Abgleich korrepondierender Punkte zwischen 2 Bildern Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

Testergebnisse Die Fehlerraten bewegen sich zwischen 2,4% (Nearest Neighbor) und 0,56% (Virtual Support Vector Machine). Neuronale Netze liegen dazwischen. Menschen haben angeblich eine Fehler eine Fehlerquote von 0,2% für dieses Problem (nach anderen Quellen aber 2,5%). Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden