Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden Skalierung, (Multi-)Fraktale Komplexität und Information von Zeitreihen Wavelets

Zeitreihenmodellierung Mögliche Ziele und Arten: exogene vs. endogene Modellierung (selbsterklärende Zeitreihenmodellierung) linear vs. nichtlinear  stationär vs. nichtstationär; schwache Stationarität  deterministisch vs. stochastisch  chaotisch vs. regulär  Reaktion auf Störungen  stabil vs. instabil  Gleichgewichtszustand? Intermittenz?

Exogene vs. endogene Modellierung Exogen: die abhängigen Variablen werden „von aussen“ gesteuert Endogen: die Zeitreihe wird aus ihrer eigenen Geschichte modelliert

Woldsches Theorem Zerlegungstheorem (stationäre Variante): Jede stationäre Zeitreihe kann als Summe einer deterministischen und einer unkorrelierten stochastischen Komponente geschrieben werden: Zerlegungstheorem (instationäre Variante): Jede linear instationäre Zeitreihe kann als Summe von vier Termen geschrieben werden: L – linearer Trend P – periodischer Trend (Wold 1938)

Lineare Relationen und Filter Endogene Modellierung: Vergleich von beobachteten Werten mit Modellierungsversuchen und/oder früheren Beobachtungen. Dazu filtert man die Werte. Definition: Rückwärtsschiebeoperator Def.: Allgemeiner linearer Filter: mit Operatorpolynom

Beispiele für Filter Name Bedingung Beispiel/Aussehen Endlicher F. Kausaler F. Vorhersage F. Das erste Beispiel ist einfach der gleitende Mittelwert

Autoregressive Modelle Idee: Der aktuelle Wert einer Zeitreihe ist durch die Werte in der Vergangenheit deterministisch bestimmt. Dazu kommt ein jeweils unvorhersehbares Rauschen (Innovation) Autoregressives Modell p-ter Ordnung AR(p)-Modell

Bedingungen an AR(p)-Modelle d.h. das Rauschen ist unabhängig identisch verteilt (i.i.d.). Häufigste Wahl: Gaußsches Rauschen Deterministischer Anteil:

Bestimmung der Koeffizienten Der deterministische Anteil soll maximal viel erklären. soll möglichst wenig erklären! Einsetzen der AR(p)-Formel, Ableiten nach Autokovarianz: Autokorrelation:

Partielle Autokorrelationsfunktion Allgemeines Regressionsproblem: Lineares Gleichungssystem für die PACF Interpretation: PACF verschwindet für größere Lags Abweichung zwischen ACF und PACF deutet auf ungenügendes Modell (z.B. k zu klein)

Yule-Walker Gleichung Einsetzen der Minimalbedingung: (Yule und Walker 1927) Matrixinversion:

Explizites Beispiel I: AR(1) In der Hydrologie auch: Thomas-Fiering-Modell erhält erstes und zweites Moment geeignet für kurzfristige („operationelle“) Vorhersage Generierung synthetischer Abflussganglinien Hier ist w(t_i) ein weisses Rauschen. ACF des AR(1)-Prozesses: Exponentieller Abfall!

Explizites Beispiel II: AR(2) Bestimmungsstücke: Daraus folgt (Übungsaufgabe!)

Vergleich ACF - PACF Optimale AR(20)-Modellierung für Lehstenbach

Defizite der AR-Modellierung Kurzzeitbereich: Glättung der Extrema, Verpassen von Spitzen Verzögerung von Wendepunkten Langzeitbereich: exponentieller Abfall der ACF keine Instationaritäten

MA(q)-Modelle Auch Rauschen kann Gedächtnis haben! Moving-Average-Modell Koeffizientenbestimmung wieder aus ACF: Lösung i.d.R. numerisch (nichtlinears Gl.-Sys.)

MA(1) und MA(2) explizit MA(1): ACF von MA(q) verschwindet exakt für k > q MA(2):

Aufgabe Führen Sie eine Fourieranalyse des Niederschlags-Temperatur- Abfluss-Datensatzes durch. Rekonstruieren Sie die Zeitreihen; führen Sie dabei eine Bandpassfilterung durch, indem Sie nur die vorherrschenden Frequenzen berücksichtigen. Erstellen Sie das Powerspektrum der Niederschlags-, Temperatur- und Abflussdaten, und bestimmen Sie die Steigung β der Regressionsgeraden im doppelt-logarithmischen Plot. Suchen Sie Modelle AR(p) mit 0<p<5 und AM(q) mit 0<q<5 für den Niederschlags-Temperatur-Abfluss-Datensatz (saisonal und nicht saisonale Varianten). Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen aus der Fourieranalyse. Versuchen sie auch die Ableitung auf Folie 13 nach zu voll ziehen Es gab außerdem die Aufgabe einer Ableitung

Anwendungsbereich der MA(q)-Modelle Test der Autokorrelation: ist nach einem endlichen (kleinen) Lag die ACF nicht mehr signifikant von Null verschieden? Fehlen Trends und Periodizitäten? Dann ist eine MA(q)-Modellierung vielversprechend In den Geowissenschaften: im Wesentlichen keine Anwendung reiner MA(q)-Modelle

ARMA(p,q)-Modelle Kombination beider Modelltypen: Auto Regressive Moving Average Modell der Ordnungen p und q Operatorschreibweise:

Koeffizienten des ARMA(p,q)-Modells In aller Regel wird das folgende Gleichungssystem numerisch gelöst: Explizit: ARMA(1,1)

Prinzipielle Anforderungen an ARMA(p,q)-Modelle Kausalität: hängt „glatt“ von Vorgängern ab, wächst nicht über alle Grenzen Invertierbarkeit: aus den modellierten Werten soll man das Rauschen zurückrechnen können Stationarität

Zusammenfassung: ARMA-Modelle AR(p)-Modell MA(q)-Modell kompakt: ARMA(p,q)-Modell

Kausalität bei ARMA(p,q)-Modellen Def.: Charakteristische Polynome des B -Operators Satz: Haben die beiden Polynome keine gemeinsamen Nullstellen und liegen alle Nullstellen von außerhalb des Einheitskreises: dann ist der ARMA(p,q)-Prozess kausal.

Motivation zur Kausalität: AR(1)-Modell mit formaler Umkehrung: (d.h. ) Divergenz für Widerspruch zu Kausalität, Stationarität (aus endlichen Ursachen entwickeln sich unbegrenzte Wirkungen)

Kausalität, ARMA und MA Satz: Liegt ein kausaler ARMA(p,q)-Prozess vor, kann man auch äquivalent schreiben Dabei erhält man die Koeffizienten durch Auswertung von und es gilt Ein kausaler ARMA(p,q)-Prozess ist äquivalent zu einem Prozess

Invertierbarkeit von ARMA(p,q)-Modellen Satz: Haben die beiden Polynome keine gemeinsamen Nullstellen und liegen alle Nullstellen von außerhalb des Einheitskreises: dann ist der ARMA(p,q)-Prozess invertierbar.

Motivation zur Invertierbarkeit: MA(1)-Modell mit formaler Umkehrung: (d.h. ) Divergenz für Widerspruch zu Invertierbarkeit, Stationarität (aus der Zeitreihe kann nicht auf das Rauschen geschlossen werden)

Invertierbarkeit, ARMA und AR Satz: Liegt ein invertierbarer ARMA(p,q)-Prozess vor, kann man auch äquivalent schreiben Dabei erhält man die Koeffizienten durch Auswertung von und es gilt Ein invertierbarer ARMA(p,q)-Prozess ist äquivalent zu einem Prozess

Stationarität von ARMA(p,q)-Modellen Satz: Ist ein ARMA(p,q)-Prozess kausal und invertierbar, dann ist er stationär. Stationaritätstests für ARMA(p,q)-Modelle aus zwei Kriterien Achtung: Wenn das ARMA-Modell einer Zeitreihe stationär ist, muss es die Zeitreihe selber nicht sein!

Zusammenfassung: ARMA-Modelle AR(p)-Modell MA(q)-Modell kompakt: ARMA(p,q)-Modell