HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Algorithmen des Internets Sommersemester Vorlesung Christian Schindelhauer

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 2 Heute Überblick Das Internet: Einführung und Überblick Mathematische Grundlagen IP: Routing im Internet TCP: Das Transport-Protokoll des Internets –Fenster und Congestion-Fenster –TCP Tahoe, TCPReno –AIMD: Lösung des Lastbalancierungsspiel –Das Lastbalancierungsspiel –TCP Vegas Die Struktur des World Wide Web und des Internets Suche im Web Web-Caching im Internet Peer-to-peer-Netzwerke Angriffe auf das Internet

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 3 Durchsatzoptimierung in der Transportschicht Hauptproblem von TCP: Durchsatzoptimierung durch Stauvermeidung –Jacobson: min. 99% aller verlorenen Pakete durch IP wegen Datenüberlaufs (congestion) an Routern –Feedback in der Transportschicht nur durch Ackn.-Pakete: Wird ein Paket nicht bestätigt, war der gewählte Datendurchsatz zu hoch TCP verringert Datendurchsatz Werden alle Pakete bestätigt, war der Datendurchsatz genau richtig oder zu niedrig TCP erhöht Datendurchsatz

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Modell Rundenmodell –In Runde t steht Bandweite ut zur Verfügung –Algorithmus fordert in Runde Bandweite x t an –Feedback zu Beginn von Runde t+1: Ist x t > u t ? (d.h. sind Pakete verloren gegangen) –Algorithmus erfährt nie die wirklich verfügbaren Bandweiten Runde Internet Host B t Bandweite läßt maximal u t Pakete durch Host A sendet x t+1 Pakete schickt Bestätigung (Ack.) erhält Ack. und berechnet x t+1 t+1 sendet x t Pakete erhält min(x t+1,u t+1 ) Pakete Bandweite läßt maximal u t+1 Pakete durch erhält min(x t,u t ) Pakete

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 5 Der statische Fall –die verfügbare Bandweite bleibt konstant Der dynamische Fall –die verfügbare Bandweite ändert sich Durchsatzoptimierung in der Transportschicht

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 6 Kosten Modell nach Karp, Koutsoupias, Papadimitriou, Shenker 2000 Prinzip: –x t > u t : Datenrate ist größer als verfügbare Bandweite Zeitverlust und Overhead durch wiederholtes Senden von verlorenen Paketen –x t u t : Nur ein kleiner Teil der verfügbaren Bandweite wird genutzt Opportunitätskosten

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 7 Milde Kosten Modell nach Karp, Koutsoupias, Papadimitriou, Shenker 2000 Prinzip: –x t > u t : Datenrate ist größer als verfügbare Bandweite Zeitverlust und Overhead durch wiederholtes Senden von verlorenen Paketen –x t u t : Nur ein kleiner Teil der verfügbaren Bandweite wird genutzt Opportunitätskosten

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 8 Strenge Kosten Modell nach Karp, Koutsoupias, Papadimitriou, Shenker 2000 Prinzip: –x t > u t : Datenrate ist größer als verfügbare Bandweite Zeitverlust und Overhead durch wiederholtes Senden von verlorenen Paketen –x t u t : Nur ein kleiner Teil der verfügbaren Bandweite wird genutzt Opportunitätskosten

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 9 Bandweite ist fest: –u 1 = u 2 = … = u Start mit Intervall –[1..n] = {1,2,3,…n} Sinnvoller (rekursiver) Suchalgorithmus A(i,j) auf Intervall [i..j]: –Falls i=j dann ist u=x. –Ansonsten x = A(i,j) mit x [i+1..j] Falls x u: Suche in [x,j] Falls x>u: Suche in [i,x-1] Der statische Fall

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 10 Komplexitätsmaß C c,A (i,j,u): Kosten, die Algorithmus A bei Suche nach u mit Kostenfunktion c(x,u) entstehen worst-case: average-case: wobei:

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 11 Wahl von x: Milde Kosten bei Binärer Suche

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 12 Wahl von x: Strenge Kosten bei Binärer Suche

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 13 Wahl von x: Strenge worst-case Kosten: Strenge average-case Kosten: Milde worst-case Kosten: Milde average-case Kosten: Binäre Suche

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 14 Wird als Grundbaustein von TCP eingesetzt Wahl von x: AIMD (Additively Increasing – Mulitiplicatively Decreasing)

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 15 Wird als Grundbaustein von TCP eingesetzt Wahl von x: Strenge worst-case Kosten: Strenge average-case Kosten: Milde worst-case Kosten: Milde average-case Kosten: AIMD (Additively Increasing – Mulitiplicatively Decreasing)

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 16 SHRINK (I) Verringert strenge Kosten im worst-case auf 2 n log log n für spezielle n Idee: –log log n Durchläufe mit jeweils O(n) Kosten Maximal s t Ja-Antworten für xu mit Kosten d t Maximal eine Nein-Antwort mit Kosten n –Invariante: s t d t = n Dann ist s t = 2 2 t –Und damit entstehen 2n Kosten in jeder der log log n Runden

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 17 Die Idee von Shrink

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 18 Für allgemeines n muß gerundet werden Wegen Rundungsprobleme ein Zwischenvergleich pro Runde notwendig: –pro Runde strenge Kosten 3 log log n SHRINK (II)

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 19 Optimale Average-Case-Strategie mittels dynamischer Programmierung Durch Verwendung der Definition der Komplexitätsmaße! average-case: –Optimale Strategie F:

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 20 Optimale Average-Case Strategie mittels dynamischer Programmierung Laufzeit: O(n 3 )

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 21 Untere Schranken nach Karp, Koutsopias, Papadimitriou, Shenker (FOCS'00) Untere Schranken

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 22 Überblick Probing-Strategien im statischen Fall

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 23 Ist die dynamische Bandbreite u 1, u 2, u 3, … [1..B] beliebig bösartig Deterministische Algorithmus: Kosten B/2 pro Runde Probabilistische Algorithmus: Kosten B/4 pro Runde (existiert trivialer Alg. mit Kosten 0,31... B pro Runde) –Keine Aussagekraft dieser Kosten Deswegen kompetitive Analyse der Online-Algorithmen –Vergleich der Kosten des Online-Algorithmus mit Kosten des optimalen Offline-Algorithmus Online-Algorithmus = Probing-Strategie Offline-Strategie = beste Strategie (mit vollständiger Information) B) Der dynamische Fall

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 24 Klassisches Problem der Analyse von Online-Algorithmen: –Soll man als Skianfänger: Skier kaufen Kosten 100 Jeden Tag leihen für 10 /Tag –Schlecht: Sofortkauf Kosten 100 beste (offline) Strategie: einen Tag mieten mit 10 Kompetitiver relativer Verlust: 100 /10 = 10 Immer Mieten Relativer kompetitiver Verlust (vgl. Sofortkauf) –Bessere Strategie: 10 Tage Skier mieten. Am 11. Tag kaufen Optimal weil: relativer kompetitiver Verlust an jedem Tag 2 Das Leihski-Problem

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 25 Vergleich Online-Algorithmus mit Offline-Algorithmus –Problem: Kosten der besten Offline-Strategie = 0 (wähle x t = u t ) –Deswegen Vergleich der Anzahl übertragener Pakete (bei Datenrate x und Bandweite u): –Entspricht strengen Kosten S(x,u) = u-gain(x,u) –Optimale Rate: –Kompetitives Verhältnis r: Kompetitive Analyse von Probing-Strategien

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 26 Annahme: x,u [a..b] Algorithmus wählt x mit folgender Wahrscheinlichkeit und für x [a+1..b]: wobei und damit r = 1+H b -H a, wobei Theorem: –Dieser Algorithmus hat ein kompetitives Verhältnis r = opt T /E[gain T ] für jede (bösartige) Wahl der Bandweiten. –Dieses Verhältnis ist bestmöglich. Optimaler kompetitiver Algorithmus

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 27 Beweis von 1. Damit ergibt sich für das Intervall [1..n] ein kompetitives Verhältnis von r = ln n + O(1)

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 28 Kompetitive Analyse von Probing-Strategien Vergleich Online-Algorithmus mit Offline-Algorithmus –Problem: Kosten der besten Offline-Strategie = 0 (wähle x t = u t ) –Deswegen Vergleich der Anzahl übertragener Pakete (bei Datenrate x und Bandweite u): –Entspricht strengen Kosten S(x,u) = u-gain(x,u) –Optimale Rate: –Kompetitives Verhältnis r:

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 29 Andere kompetitive Modelle Optimaler kompetitiver Algorithmus nicht praxistauglich –Benutzt kein Feedback! –Problem: Anforderung an Probing-Strategie zu hoch Bandweite in Runde t+1 höchstens um Faktor α höher: u t +1 α u t –Probing-Strategie erreicht komp. Verhältnis Verlust bezüglich der besten konstanten Datenrate –Keine Einschränkung in der Wahl der Bandweite ut [1..n] –Beste konstante Datenrate –Erwarteter relativer Verlust bezogen auf dieser Datenrate: –[Piccolboni,S: 2000]: Es gibt Probing-Strategie A mit sublinearen relativen Verlust:

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 30 TCP Vegas Von L.S. Brakmo, L.L. Peterson, –TCP Vegas: End to End Congesion Avoidance on a Global Internet, IEEE, Journal on Selected Areas in Communication, 13(8): Motivation: –TCP Reno und Tahoe beruhen auf fehlenden Acknowledgments –TCP Vegas berücksichtigt die Umlaufzeiten (RTT-round trip time) Idee: Wenn Router verstopft sind, werden sie langsamer, –damit hat man ein feineres Maß, um den Kanal zu messen Prinzip: –Gestartet wird mit einer Grundumlaufzeit (Base-RTT) –Ist die gerade gemessene Umlaufzeit nur minimal höher, wird die Paketrate additiv erhöht –Ist die gerade gemessene Umlaufzeit wesentlich höher als Base-RTT, wird die Paketrate additiv verringert

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 31 TCP Vegas Expected CWND/BaseRTT CWND = momentanes Congestionfenster BaseRTT = minimale Umlaufzeit Datenrate im besten Fall Actual CWND/RTT CWND = momentanes Congestionfenster Datenrate im Moment Diff (Expected-Actual) BaseRTT Berechne neue Fenstergröße: Falls Diff<α: CWND CWND+1 Falls Diff>β: CWND CWND-1 Sonst: CWND CWND

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 32 TCP Vegas aus: TCP Reno vs. Vegas, Jeonghoon Mo Richard La Venkat Anantharam Jean Walrand, INFOCOM 1999

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 33 Die Lage der Schranken bei voller Ausnutzung aus: TCP Reno vs. Vegas, Jeonghoon Mo Richard La Venkat Anantharam Jean Walrand, INFOCOM 1999

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 34 Konvergenz und Fairness aus: TCP Reno vs. Vegas, Jeonghoon Mo Richard La Venkat Anantharam Jean Walrand, INFOCOM 1999

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 35 Die Rolle unterschiedlicher Umlaufzeiten aus: TCP Reno vs. Vegas, Jeonghoon Mo Richard La Venkat Anantharam Jean Walrand, INFOCOM 1999

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 36 Fairness bei unterschiedlichen Umlaufzeiten aus: TCP Reno vs. Vegas, Jeonghoon Mo Richard La Venkat Anantharam Jean Walrand, INFOCOM 1999

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 37 Vegas gegen Reno - 0:1 Vegas verliert gegen Reno –wenn TCP Vegas und TCP Reno unter sich Bandweiten aufteilen Warum ist das überraschend? –AIMD (Reno) verliert normalerweise gegen AIAD (Vegas) Warum passiert es trotzdem? –Reno halbiert die Bandbreite erst wenn Pakete verloren gehen –Vegas reduziert schon bei Zeitverzögerungen Bevor Pakete verloren gehen, verlangsamen sich die Umlaufzeiten –Daher gibt Vegas zuerst mehr und mehr Bandweit auf, –die Reno dann entgegennimmt

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 38 Diskussion TCP Vegas Vegas verwendet die volle Bandweite –fluktuiert schwächer als Reno Reno verliert gegen Vegas Vegas hat Probleme, wenn in der Umlaufzeit Ausreißer nach unten vorhanden sind –z.B. durch Re-Routing –Dann wird die Bandweite gegen 0 streben –Darum muss ein anderer Mechanismus für die Wahl von BaseRTT gefunden werden Vegas ist nicht absolut fair und wird von verschiedenen RTT (Umlaufzeiten) beeinflusst

Algorithmen des Internets HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 39 Zwischenprüfung Nächsten Montag, , 16 Uhr, F0.530 –Vorlesung findet im Anschluss statt –Keine Übung am nächsten Montag Vier Aufgaben –Orientieren sich an Übungsaufgaben –Wissensfragen, die man an Hand der Folien lösen kann Für Studenten mit testierter Vorrechenaufgabe werden die besten drei Aufgaben bewertet Für alle anderen werden alle vier berechnet Falls ein Skript aus dem zweiten Semester angerechnet werden soll, kann die Note noch vor der Endprüfung angepasst werden Dauer: Eine Stunde Hilfsmittel: keine (außer Stift) Viel Erfolg

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 40 Vielen Dank! Ende der 6. Vorlesung Zwischenprüfung: Mo (ab 16 Uhr in F0.530) Nächste Vorlesung im Anschluss Heinz Nixdorf Institut & Institut für Informatik Universität Paderborn Fürstenallee Paderborn Tel.: / Fax: /