Kugelfunktionen Annette Eicker 27.03.2017

Wiederholung: Gravitationspotential Aufpunkt: Quellpunkt: Wir haben diese Integrale gelöst Kugel Hohlkugel Kugeloberfläche (für einfache Körper) Potential Feldstärke 27.03.2017

Kugel mit homogener Dichteverteilung z z z 27.03.2017

Hohlkugel mit homogener Dichteverteilung z z z 27.03.2017

Potential im Außenraum Gesamtmasse Potential im Außenraum Gesamtmasse Direktes Problem: Das Gravitationspotential ist durch eine gegebene Massenverteilung eindeutig bestimmt Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen. 27.03.2017

Massenverteilung und Potential Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen. Annahme: Massenveränderungen erfolgen nur auf der Erdoberfläche, Annahme einer dünnen Schicht In diesem Fall ist das inverse Problem eindeutig. Potential mit der Flächendichte Feldstärke 27.03.2017

Kugeloberfläche mit konstanter Flächendichte z z z 27.03.2017

Divergenz und Laplaceoperator Die Gravitationsfeldstärke lässt sich durch Gradientenbildung aus dem Potential bestimmen Divergenz der Gravitationsfeldstärke Laplaceoperator Mit Hilfe des Laplaceoperators lassen sich die Quellen des Gravitationsfeldes bestimmen 27.03.2017

Laplace- und Poissongleichung Für beliebige Massenanordnungen gilt: Außerhalb der Massen: Laplacegleichung Innerhalb der Massen: Poissongleichung Funktionen, die die Laplacegleichung erfüllen, nennt man harmonische Funktionen. 27.03.2017

Gaußscher Integralsatz Anwendung auf das Gravitationsfeld Gaußsche Formel Integration aller Quellen eines Volumens = Integraler Fluss durch die Oberfläche 27.03.2017

Repräsentation des Gravitationspotentials (Kugelfunktionen) 27.03.2017

Bisher: Für einfache Körper lassen sich auch „einfache“ Formeln angeben. Kugel Hohlkugel Kugeloberfläche Jetzt: Für die reale Erde lässt sich das Schwerefeld nicht so leicht beschreiben… 27.03.2017

Gravitationspotential product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13 ... Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern? - Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond) 27.03.2017

Approximation Beispiel: Bestimmung der Temperaturabhängigkeit eines EDMs y Approximation durch ein Polynom Vorteile: - Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden. - Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden. x 27.03.2017

Approximation Approximation des Potentials durch räumliche Polynome Gruppierung in Polynome mit homogenem Grad n Homogenes Polynom vom Grad n Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5 27.03.2017

Homogene Polynome Homogenes Polynom vom Grad n Es gilt: Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n Beweis: Beispiel: n=2 Polynome: 27.03.2017

Homogene harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 Wie viele Basisfunktionen gibt es? 27.03.2017

Homogene harmonische Polynome Satz: Der Laplace Operator angewendet auf ein homogenes Polynom hn liefert ein homogenes Polynom vom Grad n-2 Beweis Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhängige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt. Es verbleiben linear unabhängige homogene harmonische Polynome. Es gibt 2n+1 linear unabhängige harmonische homogene Polynome Hnm von Grad n 27.03.2017

Homogene harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 oder wenn man negative Indizies einführt: Grad n Ordnung m 27.03.2017

Kugelflächenfunktionen Sphärische Polarkoordinaten homogene harmonische Polynome Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel 27.03.2017

Approximation durch Kugelflächenfunktionen 27.03.2017

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 27.03.2017

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 27.03.2017

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 27.03.2017

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 27.03.2017

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 27.03.2017

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 27.03.2017

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 27.03.2017

Kugelfunktionen Approximation des Potentials Laplacesche Kugelflächenfunktionen Die Reihe konvergiert nur für r<1 Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien 27.03.2017

Laplace und Beltrami Operator Laplace Operator Laplace Operator in sphärischen Koordinaten Beltrami Operator (Laplace Operator beschränkt auf die Kugeloberfläche) 27.03.2017

Kugelfunktionen Approximation des Potentials Wir wissen, dass die Laplacegleichung hierfür gilt Die Reihe konvergiert nur für r<1 Ziel: zeigen, dass dann die Laplacegleichung auch dafür gilt! Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien 27.03.2017

Laplace und Beltrami Operator Laplace Operator 27.03.2017

Kugelflächenfunktionen Kugelfunktionen Approximation des Potentials für r<1 Laplacesche Kugelflächenfunktionen Kugelflächenfunktionen Approximation des Potentials für r>1 27.03.2017

Herleitung der Kugelfunktionen über die Lösung der Laplacegleichung 27.03.2017

Lösung der Laplace Gleichung Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Beltrami Operator Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz In die Laplacegleichung eingesetzt: 27.03.2017

Lösung der Laplace Gleichung Die linke Seite hängt nur von r ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Linke Seite: Rechte Seite: DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen 27.03.2017

Lösung der Laplace Gleichung Rechte Seite: Beltrami Operator Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz eingesetzt: 27.03.2017

Lösung der Laplace Gleichung Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Linke Seite: Rechte Seite: Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Polynome DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen 27.03.2017

Lösung der Laplace Gleichung Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Linke Seite: Rechte Seite: Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Polynome DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen 27.03.2017

Lösung der Laplace Gleichung Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Spezielle Lösung mit Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination aller Lösungen Vergleich: Fourier-Reihe Kugelfunktionsentwicklung kann man interpretieren als 2D Fourier-Reihe auf der Kugel 27.03.2017