V1: Modellierung auf endlichen Maschinen Teil 1: Grundverfahren der Numerik V1 Modellierung auf endlichen Maschinen Inhalt: Modellierung Rechnen auf endlichen Maschinen Rundungsfehler und ihre Auswirkungen Experimente: Berechnung der Zahl e - Rundungsfehler Fehlerfortpflanzung bei Addition

Das sollten Sie heute lernen Was sind Rundungsfehler und wie wirken sie sich aus Fehlerfortpflanzung bei Operationen Wie können wir Verläufe diskretisieren Was ist ein Lagrange Polynom Wie erzeugt man eine Taylorreihe und zu was nutzt sie

Konsistenz, Konvergenz Analyse und Darstellung Bildung von Modellen Problem physikalisches Modell mathematisches Modell Analyse des mathe- matischen Modells Existenz und Lösungen numerisches Modell Konsistenz, Konvergenz Entwurf und Implementierung eines Programmes Simulation Daten- Beschaffung Modul Verknüpfung Analyse und Darstellung der Ergebnisse

Wärmebedarf eines Wohngebäudes Ta Transmissions- verluste Solare Wärmegewinne Lüftungs- Ti Interne Wärmebedarf

Physikalisches Modell Zonenweise stationäre Energiebilanz bei vorgegebener Sollinnentemperatur

Mathematisches Modell Transmissionsverluste: Lüftungsverluste: Interne Wärmegewinne: Solare Wärmegewinne bleiben unberücksichtigt Mittlere interne Wärmegewinne auf der Basis eines durchschnittlichen 2,7-Personenhaushaltes pro Tag und Wohnraumfläche

Eigenschaften von Modellen - beschreiben Ausschnitt der Welt - haben beschränkte Gültigkeit - unterliegen vielen Fehlerquellen Ÿ Modelle sind - nicht wahr, aber brauchbar - nicht verifizierbar, aber validierbar - nicht richtig, aber nützlich Ÿ Modellergebnisse benötigen - Interpretation - Validierung - Daten

Nutzen besserer Modelle Interpolation zwischen Messwerten (Verringerung teuerer Messungen) Korrelation verschiedener Bereiche (Gesamtschau statt Einzeleffekt) Untersuchung von alternativen Lösungen (Variantenkonstruktion) Optimierung des Betriebs unter aktuellen Randbedingungen Untersuchungen in Grenzbereichen (Störfallsimulation)

VDI-Definitionen zur Modellierung durch Simulation -1 VDI-Richtlinie 3633 (Beuther Verlag, Berlin 1996) definiert den Begriff des Systems “Abgegrenzte Anordnung von Komponenten, die miteinander in Beziehung stehen. Es ist gekennzeichnet durch: - Systemgrenze, Systemein- und ausgangsgrößen - Subsysteme, Systemelemente, - Aufbaustruktur - Ablauflogik - Zustandübergänge und -größen“, den Begriff des Modells „Ein Modell ist eine vereinfachte Nachbildung eines existierenden oder gedachten Systems mit seinen Prozessen in einem anderen begrifflichen oder gegenständlichen System. Es unterscheidet sich hinsichtlich der unter-suchungsrelevanten Eigenschaften nur innerhalb eines vom Untersuchungsziel abhängigen Toleranzrahmens vom Vorbild“. Es wird genutzt, um eine bestimmte Aufgabe zu lösen, deren Durchführung mittels direkter Operationen am Original nicht möglich oder zu aufwendig wäre. - Gedankliches Modell: Modell, das noch nicht in ein Simulationsmodell umgesetzt wurde. - Experimentierbares Modell oder Simulationsmodell: Reales Modell, das aus dem gedanklichen Modell entstand und mit dem Experimente durchgeführt werden können.“

VDI-Definitionen zur Modellierung durch Simulation -2 Den Prozess der Modellierung „Die Modellierung umfasst bei der Simulation das Umsetzen eines existierenden oder gedachten Systems in ein experimentierbares Modell“, und der Begriff der Simulation: „Simulation ist ein Verfahren zur Nachbildung eines Systems mit seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierbaren Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind. Im weiteren Sinne wird unter Simulation das Vorbereiten, Durchführen und Auswerten gezielter Experimente mit einem Simulationsmodell verstanden. Mit Hilfe der Simulation kann das zeitliche Ablaufverhalten komplexer Systeme untersucht werden“. Auf Basis des Modells vom Verhalten eines Systems können Entwurf und Steuerung von Anlagen geplant werden. Die Steuerung geschieht über die Leittechnik. Die VDI-Richtlinie 3814 definiert als Aufgaben und Zielsetzung beim Einsatz von Gebäudeleittechnikanlagen das Leiten (DIN 19222) von betriebstechnischen Anlagen, d.h. die "Übernahme oder Unterstützung folgender Aufgaben: - Anlagenautomation - Betriebskontrolle - Betriebsführung - Archivierung - Betriebsanalyse - Energiemanagement - Instandhaltungsmanagement." Als wesentlichstes Element wird der Erhalt der Selbständigkeit der betriebstechnischen Anlagen gefordert.

Grundmodelle technischer Vorgänge Basismodell Erhaltungsgleichungen für Masse, Energie und Impuls in komponentenspezifischer Formulierung Grundform zeitliche Änderung einer Systemgröße y = Differenz aus Quellen und Senken Simulationsmodelle erfordern mathematische Modelle und darauf abgestimmte Daten Datenmodelle müssen Semantik des Weltausschnittes und der Modellierung seines Verhaltens enthalten (Ontologie) Mathematische Modelle a) differentielle Betrachtungsweise Das ist gewöhnliche Differentialgleichung am Ort xi b) Integrale Betrachtungsweise an Zeitpunkten tn und tn+1 Das ist eine Integralgleichung c) Systeme von Differentialgleichungen erhält man, wenn - mehrere Systemgrößen und - mehrere Ortspunkte zu berücksichtigen sind. d) partielle Differentialgleichungen erhält man, wenn y außer von t auch noch von weiteren Variablen und Ableitungen nach diesen abhängt

Komponentenbasiertes Modell eines Kreislaufes

Rechnen auf endlichen Maschinen Das Rechnen auf dem Computer ist - im Gegensatz zur Algebra - ein Rechnen mit Zahlen auf einer endlichen Maschine. Die Zahlen werden durch Rechenvorschriften - Algorithmen - generiert. Die Rechenvorschriften sind über Konstanten (Materialdaten), die unter Umständen selbst über Rechenvorschriften bestimmt wurden, mit der Wirklichkeit verknüpft. Daraus ergeben sich für den Einsatz von Rechnern zur Lösung von technischen Problemen eine Reihe von Konsequenzen und Fehlermöglichkeiten. a) Alle Rechnungen können nur mit endlich vielen Stellen durchgeführt werden. Die Rechenergebnisse sind oft mit Fehlern behaftet (Rundungsfehler). b) Alle Rechnungen können nur endlich oft durchgeführt werden - kontinuierliche Vorgänge müssen diskretisiert werden. Strebt bei wachsender Zahl von Diskretisierungspunkten die Lösung des diskreten Problems gegen die des kontinuierlichen Problems, sagt man, die Diskretisierung sei konsistent. c) Alle Rechnungen können nur in endlich vielen Rechenschritten durchgeführt werden. Die Algorithmen sind oft Näherungen. Erreicht solch ein Algorithmus das exakte Ergebnis nach endlich vielen Schritten mit einer vorgegebenen Genauigkeit, so sagt man, der Algorithmus ist konvergent. d) Algorithmen und Rechenergebnisse können auf verschiedenen Rechenanlagen verschieden ausfallen. Dazu kommt, dass die Daten, die den Bezug zur Wirklichkeit herstellen (Diffusionskonstante, Kapazität, Wärmeleitfähigkeit, Dehnung, etc.), oft nur ungenau bekannt sind. Diese Ungenauigkeit kann zu erheblichen Diskrepanzen zwischen Rechen- und Messergebnissen führen. Ferner sind

Rechnen auf endlichen Maschinen endlich viele Stellen - Rundungsfehler endlich viele Werte - Diskretisierungsfehler endlich viele Schritte - Abbruchfehler endlich viele Rechnerkomponenten - Rechenergebnisse von Anlage abhängig Problem gut konditioniert - Rundungsfehler spielen keine Rolle Problem konsistent - alle Diskretisierungsfehler gleiche Ordnung Problem konvergent - alle Abbruchfehler gleiche Ordnung Ziel: Verfahren und Implementierungen so gestalten, dass Qualität der Lösung aus Qualität des Modelles und seiner Daten (Simulation) bestimmt werden.

Rundungsfehler der Grundoperationen Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch (1) Umgekehrt gilt (2) Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt: (3) Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition, und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen wird genähert durch

Bestimmung von e Ein Beispiel soll die Wirkung von Rundungsfehlern erläutern. Zu berechnen sei Nach dieser Formel wurden die folgenden Werte mit 10stelliger Dezimalarithmetik berechnet. Die Abweichungen in der rechten Spalte sind Folge von Rundungsfehlern. So gilt etwa für n = 2 • 10‘ für 1/n = 5 • 10-10 und gerundet 10-9. Für n = 2.5 • 10‘ erhält man für 1/2 = 4 • 10-10 und gerundet gerade 0. Die Verwendung der Potenzreihe für würde hier Abhilfe schaffen. Im Rahmen der numerischen Experimente wird ein entsprechender Versuch mit einem 32 bit-Rechner angeboten.

Fehler bei Operationen Berechnet man aus einer Größe x über einen Algorithmus f(x) eine Größe y, so gibt es zwei Ursachen für Fehler Fehler in x Fehler in Operation Daraus folgt Darin bedeutet den absoluten Fehler durch die Operation den absoluten Fehler durch das Argument Nach dem Mittelwertsatz gilt oder Damit wird cond f heißt Kondition der Operation. Für cond f < 1 führt die wiederholte Anwendung einer Operation zum Verschwinden des Fehlers durch das Argument, man sagt, die Operation ist stabil.

Akkumulation von Rundungsfehlern In der Numerik haben wir es mit einer Vielzahl von Rechenoperationen zu tun. Man muss deshalb untersuchen, wie sich Fehler dabei ausbreiten. Bei Verwendung gerundeter Arithmetik wird im allgemeinen in zufälliger Folge gleich häufig auf- oder abgerundet. Weitaus die meisten Rundungsfehler kompensieren sich so gegenseitig. Die Abweichung einer berechneten Größe von ihrem (im Verlauf der Rechnung variablen) exakten Wert hat daher den Charakter einer statistischen Schwankung. Zählt der Index n die für die Größe a wirksamen Operationen, d.h. diejenigen, welche a direkt oder indirekt beeinflussen, so ergibt der zentrale Grenzwertsatz für den akkumulierten Rundungsfehler von a die Ordnung Dieses langsame Fehlerwachstum kann unter günstigen Bedingungen auch bei abgeschnittenen Arithmetik auftreten (bei günstiger Verteilung der Operationen und Vorzeichen). Weit häufiger aber zeigen die Rundungsfehler dann eine systematische Tendenz. Dann wächst der akkumulierte Fehler von a linear mit der Anzahl n der wirksamen Operationen, ist also von der Ordnung 0(n). Die Abbildung zeigt typische Verläufe.

Maßnahmen zur Reduktion von Rundungsfehlern Maßnahmen zur Reduktion von Rundungsfehlern können sein Verwendung gerundeter Arithmetik, Verwendung von doppelter Genauigkeit, Rechnungen auf Maschinen mit verschiedenen Mantissen, Abänderung der Algorithmen, Verwendung von Intervallarithmetik. Akkumulation von Rundungsfehlern bei Grundoperationen

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Was sind die Hauptfehlerarten beim numerischen Rechnen und wie reduziert man sie Wie breiten sich Fehler bei Operationen auf ungenaue Zahlen aus Wie diskretisieren wir Funktionen Geben Sie das Lagrange Polynom der Ordnung n an Geben Sie für eine Funktion f(x) die zugehörige Taylor-Reihe an Empfehlen Sie einen Ansatz zur Näherung einer Funktion f(x), wenn deren Verlauf optimal beschrieben werden soll. Wie ändert sich Ihre Empfehlung, wenn es sich bei der zu nähernden Funktion im Näherungsintervall um ein Polynom der Ordnung 2 handelt