EINI-I Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I Vorlesung 2 SWS WS 99/00 Gisbert Dittrich FBI Unido

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Gliederung Kapitel 8 Motivation –Suchen in einfach verketteter Liste + deren Nachteile Binärer Suchbaum –Grobideen: Suchen, Suchstruktur –Idee Baum –Binärer Baum, Knotenmarkierung, Implementierung knotenmarkierter bin. Bäume, Suchbaum –Suchen –Einfügen –Analyse

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Suchen in einer Liste bool Suchen (int i, Liste * L) { if (L == NULL) return false; else return (L->Element == i? true: Suchen(i, L->weiter)); }

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Suchen in einer Liste Ist L die leere Liste: i kann nicht in L sein. Ist L nicht leer –entweder i == L->Element –oder i wird in L->weiter gesucht

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Suchen in einer Liste Problem: langsame Suche –jedes Element muß bei einer erfolglosen Suche betrachtet werden –also: Suchzeit proportional zur Anzahl der Elemente in der Liste (lineare Suchzeit)

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Suchen in einer Liste Beispiel –erfolglose Suche bei 10 9 Elementen braucht 10 9 Vergleiche, also (pro Vergleich sec.) 10 4 sec = 2,7 h –Bei geschickter Anordnung der Daten geht´s mit 35 Vergleichen, also in sec.

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Suche in einer Hälfte Suche in einer Hälfte Grobidee: –Suchen in geordneter "Liste" durch Überprüfen des "mittleren" Elementes + Fortsetzung in einer Hälfte –Beispiel: k: 19 k:5 OK: nicht vorhanden

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Suchstruktur Aufgabe: Trage die Zahlen 17, 4, 36, 2, 8, 19, 40, 6, 7 in eine baumförmige Struktur so ein:

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Ziel: Binärer Suchbaum Zu diesem Ziel nacheinander definieren: –(Binärer) Baum –Knotenmarkierter binärer Baum –Binärer Suchbaum

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Idee von Baum KünstlerischAbstrahiert 1Abstrahiert 2Die Informatiksicht:

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binärer Baum Definition: (Binärer Baum) 1.) Der "leere" Baum ist ein binärer Baum mit der Knotenmenge. 2.) Seien B i binäre Bäume mit den Knotenmengen K i, i = 1,2. Dann ist auch B = (w, B 1, B 2 ) ein binärer Baum mit der Knotenmenge K = {w} –K 1 – K 2. (– bezeichnet disjunkte Vereinigung.) 3.) Jeder binäre Baum B läßt sich durch endlich häufige Anwendung von 1.) oder 2.) erhalten.

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binärer Baum Sprech-/Darstellungsweisen (im Falle 2.)): Sei B = (w, B 1, B 2 ) binärer Baum w heißt Wurzel, B 1 linker und B 2 rechter Unterbaum. B1B1 B2B2 Wurzel linker Unterbaum rechter Unterbaum w

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binärer Baum Darstellung eines Beispiels nach Definition: B 1 = (k 1,, (k 2, (k 3,, ), )). k1k1 k2k2 k3k3

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Terminologie Binäre Bäume Wurzel innerer Knoten Blatt

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Knotenmarkierter binärer Baum Definition: Sei M eine Menge. (B, km) ist ein knotenmarkierter binärer Baum (mit Markierungen aus M) :¤ 1.) B ist binärer Baum (mit Knotenmenge K = K(B)) 2.) km: K --> M Abbildung. (Markierung/Beschriftung der Knoten k K mit Elementen m M)

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich binärer Baum Knotenmarkierter binärer Baum Beispiel: (M := $, $ := Menge der ganzen Zahlen) damit existiert auf M eine Ordnung ! Damit: "Übliche" Darstellung der Knotenbeschriftung km durch "Anschreiben" der Beschriftung an/in die Knoten. k1k1 k2k2 k3k

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Datentyp BinBaum Implementierung knotenmarkierter binärer Bäume durch eine struct mit Zeigern: –Inhalt, (hier z. B.) ganzzahlig (Später allgemeiner möglich) –Zeiger jeweils auf den linken und den rechten Unterbaum struct BinBaum { int Element; BinBaum *Lsohn, *Rsohn; }

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binäre Suchbäume Definition: (B, km) ist ein binärer Suchbaum (über $) :¤:¤ 1.) (B, km) ist ein binärer, knotenmarkierter Baum. 2.) Ist w die Beschriftung der Wurzel w, so ist die Wurzelmarkierung im linken Unterbaum kleiner als w, die Wurzelmarkierung im rechten Unterbaum größer als w. (Jeweils, sofern diese vorhanden.) 3.) Ist (B, km) mit B, B = (w, B 1, B 2 ), so sind (B i,km i ) mit km i := km|B i (i= 1,2) binäre Suchbäume.

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binäre Suchbäume Beispiel: Aufgaben im Zusammenhang mit (binären) Suchbäumen: Suchen nach Markierungen/Elementen im Suchbaum Aufbau solcher Bäume Abbau, z. B. Entfernen eines Knotens mit Markierung Durchlaufen aller Knoten

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binäre Suchbäume: Suchen Gegeben: ein binärer Suchbaum (durch Zeiger B darauf), ganze Zahl k Problem: Ist k in durch B bezeichneten Baum gespeichert? Lösungsidee: Stimmt B->Element mit k überein: Antwort ja Gilt B->Element Rsohn Gilt B->Element > k: suche in B->Lsohn Ist B leer, Antwort nein

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binäre Suchbäume: Suchen Suche nach dem Element 5 Suche nach dem Element 19

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binäre Suchbäume: Suchen bool Suche (BinBaum * B, int k) { if (B == NULL) return false; else { if (B->Element == k) return true; else if (B->Element < k) Suche(B->Rsohn, k); return Suche(B->Rsohn, k); else if (B->Element > k) Suche(B->Lsohn, k); return Suche(B->Lsohn, k); } }

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binäre Suchbäume: Einfügen Aufbau durch wiederholtes Einfügen in einen leeren binären Suchbaum Einfügeoperation für binären Suchbaum * B und eine ganze Zahl k –B == NULL : erzeuge neuen Knoten, weise ihn B zu und setze B->Element = k –B != NULL B->Element RSohn B->Element > k : Einfügen von k in B->LSohn

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binäre Suchbäume: Einfügen BinBaum *Einfuegen (BinBaum * B, int k) { if (B == NULL){ Binbaum *Hilf = new BinBaum; Hilf->Element = k; Hilf->Lsohn = Hilf->Rsohn = NULL; return Hilf; } else { if (B->Element < k) B->Rsohn = Einfuegen(B->Rsohn, k); else if (B->Element > k) B->Lsohn = Einfuegen(B->Lsohn, k); return B; } }

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Binäre Suchbäume: Einfügen Rekursion wichtiger Bestandteil der Funktion Idee: –suche den Unterbaum, in den eingefügt werden soll, –füge in den Unterbaum ein, –weise diesem Unterbaum das Resultat der Einfügung zu.

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich weise dem Unterbaum das Resultat der Einfügung zu Kommentar: Einfügen if (B->Element < k) B->Rsohn = Einfuegen(B->Rsohn, k); else if (B->Element > k) B->Lsohn = Einfuegen(B->Lsohn, k); return B; Suche den Unterbaum, in den eingefügt wird

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Analyse: Einfügen Wie schnell geht das eigentlich? Maß für die Güte eines Algorithmus: –Anzahl von Operationen und –Speicherplatz-Verbrauch hier: –Speicherplatz: pro Knoten eine Instanz von BinBaum, also relativ uninteressant. –Operationen sind hier Vergleiche: interessant

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Analyse: Einfügen Frage: wieviele Vergleiche sind beim Einfügen (oder bei der erfolglosen Suche) notwendig? Antwort: nicht so leicht zu geben: –ist der günstigste Fall gemeint? (klar: 1) –ist der ungünstigste Fall gemeint? (auch ziemlich klar: längster Pfad im Baum) –ist der durchschnittliche Fall gemeint? (völlig unklar)

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Suchen: ungünstigster Fall Erfolglose Suche: –suche von der Wurzel zu einem Blatt, jeder Knoten entspricht einem Vergleich. Höhe eines Baums: –gibt den längsten Pfad von der Wurzel zu einem Blatt an. Ist rekursiv definiert Höhe des leeren Baums ist 0, Höhe eines nicht-leeren Baums ist 1 + max{Höhe Lsohn, Höhe Rsohn }

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Höhe eines binären Baums Der Baum hat die Höhe 5

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Suchen: ungünstigster Fall Es gilt der Satz: Ein binärer Baum der Höhe n hat zwischen n und 2 n - 1 Knoten. –Daraus folgt: k Knoten können in einem binären Baum gespeichert werden, der eine Höhe zwischen ~log 2 k und k hat –Also: der schlechteste Fall bei der erfolglosen Suche in einem binären Suchbaum mit k Elementen liegt bei k Vergleichsoperationen

Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich Suchen: zu erwartender Fall Die erfolglose Suche in einem binären Suchbaum mit k Elementen erfordert im Durchschnitt proportional zu log k Vergleichsoperationen. Recht kompliziert herzuleiten.