EINI-I Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I Vorlesung 2 SWS WS 99/00 Gisbert Dittrich FBI Unido

Präsentation zum Thema: "EINI-I Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I Vorlesung 2 SWS WS 99/00 Gisbert Dittrich FBI Unido"—  Präsentation transkript:

1

2 EINI-I Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I Vorlesung 2 SWS WS 99/00 Gisbert Dittrich FBI Unido dittrich@cs.uni-dortmund.de

3 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 2 7.2.2000 Gliederung Kapitel 12 Zum Datentyp Heap –Beispiel eines Heaps –Eigenschaften eines Heaps –Definition des Heaps –Datentyp Heap –Zur Implementierung mittels eines Feldes Anwendungen –Heapsort –Prio-Warteschlangen, mit Heaps implementiert

4 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 3 7.2.2000 Beispiel: Heap 3 6 12 7 13 18 9 10 21 13 14 20 Inhalt der Knoten 1 2 3 45 89101112 67 Platznummer der Knoten

5 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 4 7.2.2000 Eigenschaften eines Heaps Ein Heap (Haufen) ist ein knotenmarkierter binärer Baum, so daß gilt: –(Die Markierungsmenge ist geordnet) im Beispiel: ganze Zahlen –Der binäre Baum ist links-vollständig: Alle Ebenen (vgl. Breitendurchlauf) sind vollständig besetzt (bis evtl. auf die letzte); die letzte Ebene ist "von links voll aufgefüllt". –Partiell angeordnete Markierungen: Auf jedem Pfad von der Wurzel zu einem Blatt ist die Menge der Knotenmarkierungen monoton steigend angeordnet.

6 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 5 7.2.2000 Definition: Heap Ein Heap (Haufen) ist ein knotenmarkierter binärer Baum, für den gilt: –(Die Markierungsmenge ist geordnet.) –Der binäre Baum ist links-vollständig. –Die Knotenmarkierung der Wurzel ist kleiner oder gleich der Markierung des linken resp. rechten Sohnes (, sofern vorhanden). –Die Unterbäume der Wurzel sind Heaps. --> An der Wurzel (Knoten 1) steht das kleinste/eines der kleinsten Element(e).

7 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 6 7.2.2000 Grobidee zum ADT Heap Datenstruktur Operationen –Init –Einfügen eines Elementes in einen Heap –Entfernen eines der kleinsten Elemente/des kleinsten Elementes aus dem Heap und Hinterlassen eines Rest-Heaps –Zudem: Heap ist leer ?/ Heap ist voll ? Drucken.....

8 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 7 7.2.2000 Implementierung über Feld 623471826 17 623471826 1 2 3 456 7 1234567 Binärer Baum: Feld: Darstellung: Binärer Baum Feld

9 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 8 7.2.2000 Implementierung über Feld Beziehung: Baum- Feld-Darstellung : –Der Inhalt des i-ten Knotens in der Baumdarstellung wird im i-ten Feldelement abgelegt. Das bedeutet: Baum ebenenweise von links nach rechts eintragen. (Das Feldelement a[0] wird nicht verwendet!) Lemma: –Die Söhne des Knotens i in einem Heap haben die Knotennummern 2i : linker Sohn 2i + 1: rechter Sohn Beweis: Induktiv

10 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 9 7.2.2000 Implementierung über Feld Ein Feld a mit n ganzen Zahlen realisiert einen Heap, falls a[i/2] a[i] für alle i= 1,...., n gilt. –Dabei ist "/" als ganzzahlige Division zu verstehen. z.B. 5/2 = 2 In einem (Minimum-)Heap, realisiert durch das Feld a, steht das kleinste Element immer in a[1]. Animation:

11 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 10 7.2.2000 Operation Einfügen: Idee Einfügen von 11 in unseren Heap 3 6 12 7 13 18 9 10 21 15 14 20 neuer Knoten 11 Vergleich 18 11 Vergleich 11 12 Vergleich Beispiel:

12 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 11 7.2.2000 Operation Einfügen: Algorithmus Eingabe: –Heap a mit n Elementen, neues Element x Ergebnis: –Heap a mit n+1 Elementen, x seiner Größe gemäß eingefügt Vorgehensweise: –Schaffe neuen Knoten n+1, setze a[n+1] = x (Füge also neuen Knoten mit Beschriftung x in den Heap (evtl.noch an falscher Stelle) ein). –Sortiere an richtige Stelle ein.

13 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 12 7.2.2000 Operation Einfügen "An richtige Stelle einsortieren" - Idee: einsortieren(k) : ist k=1, so ist nichts zu tun, ist k>1, so geschieht folgendes: falls a[k/2] > a[k], vertausche a[k/2] mit a[k], rufe einsortieren(k/2) auf. Hier ist nämlich die Heap-Bedingung verletzt. Anmerkungen: k/2 ganzzahlige Division k = 0 wird ausgelassen !

14 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 13 7.2.2000 Operation Einfügen void Heap::einsortieren(int Knoten_Nr) { if (Knoten_Nr > 1) { int DerVater_Nr = Knoten_Nr/2; if (HeapalsFeld[Knoten_Nr] < HeapalsFeld[DerVater_Nr]) { Tausche(&HeapalsFeld[Knoten_Nr], &HeapalsFeld[DerVater_Nr]); einsortieren(DerVater_Nr); } } } In das Feld HeapalsFeld wird richtig einsortiert gemäß:

15 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 14 7.2.2000 Operation Entfernen Idee einer Hau-Ruck-Lösung: –Entfernen des kleinsten Elements –Baue einen neuen Heap ohne das erste Element auf –(z.B. durch sukzessives Einfügen der Elemente in einen neuen Heap.) Nachteil: –berücksichtigt nicht, daß vor dem Entfernen des kleinsten Elements ein Heap vorliegt. Idee einer effizienteren Lösung: –Verwende genau diese Information Programm:

16 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 15 7.2.2000 Wie erzeugt man dann einen Heap? Beobachtung: jedes Blatt erfüllt die Heapbedingung Allgemeinere Situation: Wurzel erfüllt die Heap-Bedingung ? Unterbäume mögen die Heap- Bedingung erfüllen Vorgehen?

17 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 16 7.2.2000 Heap-Erzeugung Idee: Lasse die Wurzel einsinken: –Vergleiche den Eintrag im Knoten k mit denen seiner Söhne (,soweit vorhanden) –Falls der Eintrag im Knoten k kleiner oder gleich als diejenigen beider Söhne ist --> o.k. –Falls der Eintrag des Knotens k größer als der kleinere Eintrag beider Söhne ist: Ermittle den Sohn s mit dem kleineren Eintrag, Vertausche den Eintrag des Knotens k mit demjenigen des Sohnes s, Wiederhole die Überlegungen mit diesem Knoten s.

18 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 17 7.2.2000 Beispiel 3 8 10 9 1513 12 18 14 20 Heap-Bedingung verletzt Vergleich 6 68 ok

19 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 18 7.2.2000 Code zu "Erzeuge Heap", falls... void Heap::heapify(int Knoten_Nr) { int LinkerSohn_Nr = 2*Knoten_Nr, RechterSohn_Nr = 2*Knoten_Nr + 1, selektierter_Sohn; if (LinkerSohn_Nr <= AnzahlKnoten && RechterSohn_Nr > AnzahlKnoten) // es gibt keinen rechten Sohn {if (HeapalsFeld[LinkerSohn_Nr] < HeapalsFeld[Knoten_Nr]) Tausche(&HeapalsFeld[Knoten_Nr], &HeapalsFeld[LinkerSohn_Nr]); } else if (RechterSohn_Nr <= AnzahlKnoten) { // es existieren linker und rechter Sohn selektierter_Sohn = (HeapalsFeld[LinkerSohn_Nr] < HeapalsFeld[RechterSohn_Nr] ? LinkerSohn_Nr : RechterSohn_Nr); /* wähle den Sohn mit der kleineren Markierung aus. Bei Gleichheit wähle den rechten Sohn.*/

20 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 19 7.2.2000 Code zu "Erzeuge Heap", falls... Fortsetzung von void Heap::heapify if (HeapalsFeld[selektierter_Sohn] < HeapalsFeld[Knoten_Nr]) // ist Heap-Bedingung verletzt? { Tausche(&HeapalsFeld[Knoten_Nr], &HeapalsFeld[selektierter_Sohn]); heapify(selektierter_Sohn); }}} Programm:

21 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 20 7.2.2000 Anmerkung zur Heapkonstruktion heapify kann dazu herangezogen werden, aus einem Feld A mit n Elementen einen Heap zu konstruieren: –die Blätter sind bereits Heaps, –hat Knoten k also Blätter zu Söhnen, so erfüllen seine Unterbäume die Heap-Bedingung, – durchlaufe die Knoten rückwärts von n/2 bis 1 und rufe heapify für jeden Knoten auf, – für n >= j >= n/2 ist der Knoten j ein Blatt Animation: Reheap

22 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 21 7.2.2000 Implementierung des ADTs Heap const int maxKnoten = 70;... struct Heap { public: void Init(); void Einfuegen(int); int Entfernen(); bool IstLeer(); bool IstVoll();int Kopf(); void Druck(); private: int HeapalsFeld[maxKnoten + 1]; /* Heap beginnt mit Index 1, Index 0 wird nicht verwendet! */ int AnzahlKnoten; void einsortieren(int); void Tausche(int *, int *); void heapify(int);}

23 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 22 7.2.2000 Anwendung 1: Heapsort Aufgabe: –Benutze Heap zum (effizienten) Sortieren. Heapsort arbeitet in zwei Phasen: – Aufbau eines Heaps aus einem Feld, –Schrittweiser Abbau des Heaps Auslesen des Wurzelelementes und Entfernen desselben Legen des "letzten" Elementes in die Wurzel Rekonstruktion der Heap-Bedingung für diese restlichen Elemente. Animation Programm

24 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 23 7.2.2000 Anwendung 2: PrioQueue mit Heaps Aufgabe: –Benutze Heap zum Implementieren einer Prioritätswarteschlange. Programm:

25 Kap 12: HeapVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 24 7.2.2000 Rückblick binäre Suchbäume Tiefendurchläufe durch einen binären Baum Breitendurchlauf durch einen binären Baum Studium von Warteschlangen, dabei Entdeckung von ADTs ADT Prioritäts- Warteschlange Studium von Heaps Heapsort