Aussagenlogische Modelle Boolesche Ausdrücke Wahrheitstabellen Elemente boolescher Ausdrücke Karnaugh-Veit-Matrizzen Ursache-Wirkung-Graphen

Boolesche Ausdrücke Boolesche Algebra mathematisches System von Operationen auf Variablen Benannt nach dem Erfinder George Boole Boolesche Operatoren UND (·), ODER (+), EXKLUSIV-ODER (), NICHT (~) Boolesche Formel = Kombination von booleschen Operatoren und booleschen Variablen Boolesche Gleichheit = funktionale Gleichheit 2er boolescher Formeln Logische Funktion = Funktion die zu n booleschen (also binären) Eingangsvariablen n boolesche Ausgangsvariablen liefert

2. Wahrheitstabellen A B Z 1 A B Z 1 Tabelle aller möglicher Eingangs- und daraus resultierender Ausgangswerte für eine logische Funktion Zum Beispiel: UND (Z = AB) ODER (Z = A + B) A B Z 1 A B Z 1

Beispiel: Zündung eines Kessels Eingabe-vektor Normaldruck Zu Kalt Zündklappe geschlossen Manueller Modus Zündung möglich A B C D Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Andere Darstellungsformen Logische Funktion: Z = A(B~C + D) Java-Code: If ( (normalDruck && zuKalt && !klappeGeschlossen) || (normalDruck && manuellerModus)) { zuendungMgl = true; } Else { zuendungMgl = false;

3. Elemente boolscher Ausdrücke Literal: logische Variable mit optionalem NICHT Produkt: Zeichenkette logischer Variablen verknüpft durch UND Summe-Aus-Produkten-Form: Produkte durch OR verknüpft (disjunktive Normalform) z.B.: Z = A(B~C + AD) = AB~C + AD Implikant: Term in einer Formel in Summe-Aus-Produkten-Form Assozativ-, Distributivgesetze, De Morgan‘s Law, Absorption (S. 137) Minterm: Produkt mit einem Literal für jede Variable; wenn Minterm wahr, dann auch die Funktion Bsp: AB~C  2 Minterme: AB~CD, AB~C~D

Würfel: gepackter Teil einer Wahrheitstabelle (eine Zeile)  110x | 1 1xx1 | 1 0xxx | 0 10x0 | 0 Würfel: gepackter Teil einer Wahrheitstabelle (eine Zeile)  Ein Würfel ist ein Primärimplikant, wenn Alle Ergebnisse des Würfels sind TRUE. (Implikant) Der Würfel ist nicht Teilmenge irgendeines anderen Würfels. Hier: AB~C = 110x = {1101, 1100} Und AD = 1xx1 = {1001, 1011, 1101, 1111} Beide Terme sind Primärimplikanten (Identifikation durch KV-Matrizzen) Z = AB~CD + AB~C~D + ABCD + A~BCD + A~B~CD = AB~C + AD  Logische Minimierung

Nutzen der logischen Minimierung für das Software-Testen: Weniger Tests Automatische Testerzeugungsalgorithmen können schneller laufen Kann Fehler in der Spezifikation offenlegen Einfacher verständlich Einige Techniken für logische Minimierung durch „Hinschauen“ bei wenigen Variablen KV-Matrix Ursache-Wirkungs-Graph und Boolesche Algebra (für kleinere bis mittelgrosse Probleme) McCluskey Algorithmus (-9V), Deitmayer Algorithmus (-14V) Fortgeschrittene exakte und heuristische Algorithmuen (-25V)

Karnaugh-Veit-Matrizzen KV-Matrix für 4 Variablen  Passende KV-Matrix auswählen Matrix ausfüllen: Für jeden Implikant eine 1 in die Tabelle schreiben größte Gruppe aneinanderliegender Zellen finden (2^n elementige Blöcke, horizonal oder vertikal (NICHT diagonal), kann über die Ecken gehen, können sich überlappen) AB 00 01 11 10 4 12 8 CD 1 5 13 9 3 7 15 2 6 14 Produkt für diese Gruppe aufschreiben (variablenweise, nur 0 für eine Variable: negierte Variable, nur 1: Variable, 0 und 1: Variable weglassen) Schritt 3 und 4 wiederholen, biss alle gültigen Gruppen identifiziert worden

Beispiel Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4  Z = AB~C + AD 00 01 11 10 1 CD Schritt 3 AB 00 01 11 10 1 CD AB 00 01 11 10 1 CD Schritt 4  Z = AB~C + AD

Ursache-Wirkungs-Graphen - nützlich, um Beziehungen aus der Wahrheitstabelle zu modellieren 25 und jünger  DM 25   DM 50 26 und älter   DM 100 Keine Klagen  DM 200  1 Klagen  DM 400  Warnbrief 2 – 4 Klagen Absagen 5+ Klagen