Endliche Automaten Einführung in den Themenbereich Karin Haenelt 18.04.2010

Inhalt Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten? Abstrakte Automaten Endliche abstrakte Automaten Beispiele T ypen endlicher Automaten Akzeptoren, Transduktoren deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch Definitionen Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen Einordnung endlicher Automaten Automatentheorie: Art des Speichers Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Informelle Einführung Abstrakter Automat ein abstrakter Automat ist ein mathematisches Modell für einfache Maschinen/Programme, die bestimmte Probleme lösen beschreibt nicht einen bestimmten Automaten, sondern gemeinsame Grundprinzipien einer Klasse von Automaten Grundlegende Komponenten Zustände Eingabesymbole Zustandsübergänge: reagiert auf Eingaben durch Übergang in einen anderen Zustand Zustände des Automaten Eingabe Ausgabe © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Informelle Einführung Endlicher abstrakter Automat Ein abstrakter Automat ist ein „endlicher Automat“, wenn die Anzahl der Zustände, der Eingaben u. der Ausgaben endlich ist Komponenten der Modelle endliche Menge von Zuständen (Q) interne Konfigurationen, in denen sich ein System befinden kann zeitliche Ordnung (δ) definiert die möglichen Sequenzen von Zuständen endliche Menge von Eingaben (Σ) endliche Menge von Ausgaben (Reaktionen) (Δ) System zeigt abhängig vom aktuellen Zustand eine bestimmte Reaktion und geht in einen Folgezustand über © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Endliche Automaten: Beispiele Kippschalter und Lexikon an aus Start drücken Lexikon d 1 e 2 m 3 n r 5 s 4 7 6 © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Typen endlicher Automaten Akzeptoren Automaten ohne Ausgabe Transduktoren Automaten mit Ausgabe deterministisch jedem Paar [p,i] ist ein Paar [o,q] eindeutig zugeordnet nicht-deterministisch einem Paar [p,i] können mehrere mögliche Paare [o,q] zugeordnet sein stochastisch jedem Paar [p,i] ist für ein Paar [o,q] ein Wahrscheinlichkeitsmaß zugeordnet p q i o p q2 q1 i o2 o1 p q2 q1 i o2/w2 o1/w1 © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Typen endlicher Automaten Beispiele Akzeptor Transduktor deterministisch 1 S q t 2 3 a 6 d 4 7 5 1 [ʃ] S q [t] t 2 3 [a] a dt 4 tt nicht-deterministisch 1 S 7 t 2 3 a 9 d 4 6 8 10 5 1 [ʃ] S q [t] t 2 3 [a] a 6 d 4 7 5 stochastisch 1 S/1 q t/1 2 3 a/1 6 d/.65 4 t/.35 7 5 [t] 1 [ʃ] S/1 q t/1 2 3 [a] a/1 6 d/.65 4 t/.35 7 5 © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Inhalt Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten? Abstrakte Automaten Endliche abstrakte Automaten Beispiele T ypen endlicher Automaten Akzeptoren, Transduktoren deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch Definitionen Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen Einordnung endlicher Automaten Automatentheorie: Art des Speichers Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Definitionen Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen: Historie David A. Huffman (1954), George H. Mealy (1955) und Edward F. Moore (1956) untersuchten Schaltkreise beschrieben voneinander unabhängig den konventionellen deterministischen Automaten in ähnlichen Varianten Huffman entwickelte den Begriff des abstrakten Automaten Mealy und Moore führten abstrakte Automaten als mathematische Strukturen ein. © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Definitionen Mathematische Struktur Eine Struktur  ist eine Zusammenfassung einer Menge und ausgewählter interessanter Eigenschaften dieser Menge Relationen, Funktionen und/oder ausgezeichnete Elemente die Eigenschaften definieren eine Struktur auf der Menge Darstellung als Tupel  = (Menge, Relation1, …, Relationo, ausgezeichnetes Element1, .., Ep) Beispiel (ℕ, +,×, 0,1) Name dieser Beispielstruktur in der abstrakten Algebra: Semiring Semiringe spielen in der Theorie endlicher Automaten eine grundlegende Rolle © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Definitionen Determinierter abstrakter Automat Mengentheoretische Definition (Version: Starke 1.1) determinierter abstrakter Automat (Starke 1969: 22) A = (X, Y, Z, γ) heißt determinierter abstrakter Automat, falls X, Y, Z beliebige nichtleere Mengen sind, und γ eine auf Z  X definierte Funktion ist, deren Werte in Y  Z liegen. ■ Interpretation X Menge der Eingabesymbole Y Menge der Ausgabesymbole Z Menge der Zustände Z × X a b Y × Z A 1 B © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Definitionen Determinierter abstrakter Automat Mengentheoretische Definition (Version: Starke 1.2 = Version Mealy 1955) determinierter Mealy-Automat (Starke 1969: 22) Ein determinierter Automat A = (X, Y, Z, γ) heißt determinierter Mealy-Automat, falls für alle x X, zZ, γ(z,x) = [λ(z,x),δ(z,x)] ist, wobei λ die Ergebnis und δ die Überführungsfunktion von A ist. ■ Interpretation X Menge der Eingabesymbole Y Menge der Ausgabesymbole Z Menge der Zustände λ(z,x ) a b A B δ(z,x ) a b 1 © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Defintionen Nichtdeterministischer und stochastischer Automat Mengentheoretische Definition nichtdeterministischer Automat (Starke 1969: 121) B = (X, Y, Z, h) heißt nicht-deterministischer Automat, falls X, Y, Z nichtleere Mengen sind, und h eine eindeutige Abbildung von Z  X in *(Z  Y) ist. ■ (Starke 1969: 121) stochastischer Automat (Starke 1969: 211) C = (X, Y, Z, H) heißt stochastischer Automat, wenn X, Y, Z beliebige nichtleere Mengen sind, und H eine auf Z  X definierte Funktion ist, die diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße über Y  Z als Werte H(z,x) hat ■ © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Definitionen Endlicher Automat Mengentheoretische Definition endlicher determinierter Automat (Starke 1969: 25) Ein determinierter Automat A = [X,Y,Z,δ,λ] heißt X-endlich, Y-endlich bzw. Z-endlich bzw. (X,Y)-endlich usw., wenn die jeweils angegebenen Mengen endlich sind. (X,Y,Z)-endliche Automaten bezeichnen wir schlechthin als endlich ■ (X,Y,Z)-endliche nichtdeterministische Automaten …endlich. (X,Y,Z)-endliche stochastische Automaten … endlich. © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Definitionen Mengentheoretische Notation endlicher Automaten – eine Standardnotation EA = (Q,q0,F,Σ,Δ,,δ,σ,ρ) p,q  Q Zustände p q i o Zustand Folgezustand Eingabesymbol Ausgabesymbol w / Gewicht q0  Q Startzustand F  Q Endzustände i  Σ Eingabesymbole o  Δ Ausgabesymbole w   Gewichte δ(p,i) = q Zustandsübergangsfunktion σ(p,i,q) = o Ausgabefunktion ρ(p,i,o,q) = w Gewichtungsfunktion © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Inhalt Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten? Abstrakte Automaten Endliche abstrakte Automaten Beispiele T ypen endlicher Automaten Akzeptoren, Transduktoren deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch Definitionen Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen Einordnung endlicher Automaten Automatentheorie: Art des Speichers Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Einordnung endlicher Automaten Automatentheorie Klassifikation von Algorithmen nach der Art des Speichers klassifiziert Algorithmen nach der Art des Speichers, der für die Implementierung zum Merken von Zwischergebnissen gebraucht wird Speziali- sierungen © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Einordnung endlicher Automaten Automatentheorie Endliche Automaten haben kein Gedächtnis Mengen der Zustände, der Eingabesignale, der Ausgabesignale sind endlich kein Gedächtnis zur Speicherung durchlaufener Zustände: Übergang von Zustand zur Zeit t in Zustand zur Zeit t+1 nur abhängig von Zustand zur Zeit t und Eingabe im Zustand zur Zeit t Vorhergehende Zustände nur dadurch wirksam, dass sie über eine bestimmte Eingabe in den aktuellen Zustand geführt haben, und dieser aktuelle Zustand ein bestimmtes Ergebnis repräsentiert. B Bu Buc Buch Start u c h © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Einordnung endlicher Automaten Theorie formaler Sprachen mit endlichen Automaten ist die Klasse der regulären Sprachen erkennbar und generierbar Sprachklassen nach struktureller Komplexität (Chomsky-Hierarchie) © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Äquivalenzen: Endliche Automaten, reguläre Sprachen, reguläre Ausdrücke de([mnrs]|“ssen“) sind äquivalent spezifizieren d 1 e 2 m 3 n r 5 s 4 7 6 Endliche Automaten {dem, den, der, des, dessen} Reguläre Sprachen akzeptieren © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

Literatur Hopcroft, John E. Rajeev Motwani und Jeffrey D. Ullman (2001). Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexität. Pearson Studium engl. Original: Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison-Wesley. Hopcroft, John E. und Jeffrey D. Ullman (1988). Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Bonn u. a.: Addison-Wesley, 1988 (engl. Original Introduction to automata theory, languages and computation). [Anm.: Diese Fassung enthält die Beweise] Huffman, D. A. (1954). The synthesis of sequential switching circuits. J. Franklin Inst. 257: 3-4, S. 161-190 und 275-303 Lawson, Mark V. (2005). Finite automata. In: Hritsu-Varsakelis, D. und W.S.Levine (Hg).: Handbook of networked and embedded Control Systems. Lawson, Mark V. (2004). Finite Automata. In: D. Hristu-Varsakelis and W. S. Levine (eds.): Handbook of networked and embedded control systems Mealy, George H. (1955). A method for synthesizing sequential circuits. Bell System Technical Journal 34:5, 1045-1079 Moore, Edward F. (1956). Gedanken experiments on sequential machines. In: Automata Studies, S. 129-153, Princeton: Princeton University Press Starke, Peter H. (1969). Abstrakte Automaten. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften: Berlin (ältere, aber sehr gute mathematische Darstellung) © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010

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Versionen v 4.1- 18.04.2010, v 4.0 – 30.03.2009 V03.01 – 16.04.2008 V03.00 – 12.04.2008 V02.03 - 14.04.2007 V02.02 - 11.04.2007 V02.01 - 15.04.2006 © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010