Mh9S178Nr2 Biquadratische Gleichungen X  z² -9z=0; z(z-9)=0; z1=x1²=0; z2=x2²=9; x1=0 x2 = -3 x3=+3 d. 2z² -10z + 8 = 0; z1= x1² =1 z2 = x2² = 4; x1=-1 x2 = 1 x3=-2 x4= 2 Der Ausdruck Substitution (von lat. substituere = ersetzen) bezeichnet allgemein das Ersetzen einer bestimmten Sache durch eine andere. Der Ausdruck findet Anwendung in verschiedenen Fachgebieten.

Mh9S178Nr3 Lösungen der Biquadratische Gleichungen (x²-5)²=x4-10x²+25=16; z²-10z+9=0 z1=x1²=1; z2=x2²=9; x1=-1 x2 = +1 x3=-3 x4=3 vier Lösungen (x²-4)²=x4-8x²+16=16; z²-8z=0 z1=x1²=0; z2=x2²=8; x1=0 x2 = -8 x3=8 drei Lösungen (x²-3)²=x4-6x²+9=16; z²-6z-7=0 z1=x1²=-1; z2=x2²=7; x1= -7 x2 = 7 zwei Lösungen (x²+4)²=x4+8x²+16=16; z²+8z=0 z1=x1²=0; z2=x2²=-8; x1= 0 eine Lösung und keine Lösung (x²+5)²=x4+10x²+25=16; z²+10z+9=0 z1=x1²=-9; z2=x2²=-1; IL={} b. Die biquadratische Gleichung kann durch Substitution in eine quadratische Gleichung überführt werden, die höchstens 2 Lösungen hat. Die Rücksubstitution führt zu je einer quadratischen Gleichung die wiederum maximal zwei Lösungen hat.

Mh9S178Nr4 +5 Biquadratische Gleichungen x  0; x  2; HN.: x·(x-2); x² -9x +20 = 0 x1= 4; x2= 5 x = ganzer Schwarm; x +8/9x + 4 = x; x² -153x+1296=0; x= 144

Mh9S178Nr6 Biquadratische Gleichungen biquadratisch z² -4z =0 z1=x1²=0; z2=x2²=4; x1=0; x2=-2; x3=2 nicht biquadratisch biquadratisch 3z² -9z -12=0 z1=x1²=4; z2=x2²=-1; x1=-2; x2=2

Mh9S178Nr7 Biquadratische Gleichungen z = x²; z² =10 000 z1=x1²=100; z2=x2²=-100; x1=-10; x2=10 z = x²; z² =0,0081 z1=x1²=0,09; z2=x2²=-0,09; x1=-0,3; x2=0,3 z = x²; z² =0 z1=x1²= 0; x1= 0 z = x²; z² - z= 0 z1=x1²= 0; z2=x2²=1; x1=0; x2=-1; x3= 1 z = (x+3)²; z² =16 z1=x1²=-4; z2=x2²=+4; (x1+3)²=-4; x1² +6x1+13=0 D < 0 (x2+3)²=4 x2² +6x2+9=0 x2=-5; x3=-1 z = (x+5)²; z² =0 z1=x²=0; (x+5)²=0; x=-5 z = x²; z² +16z = 0 z1=x1²=0; z2=x2²=-16; x=0; z = x²; z² - 16z = 0 z1=x1²=0; z2=x2²=16; x1=-4; x2=4

Mh9S178Nr8 Biquadratische Gleichungen z = x²; z² -25z=0 x1= 0; x2= -5; x3= 5 z = x²; 25z²-z =0 x1= 0; x2= -1; x3= 1 y4 –10y²+9=0 z = y²; y1=-3; y2=+3; y3= -1; y4= 1 x = z²; x2 –16x+15=0; z1=-4; z2=+4; z3= -1; z4= 1 z = x²; z² –13z+36=0 x1=-3; x2=+3; x3= -2; x4= 2 z = y²; z² +10z+ 9 =0 z1=-9; z2=-1; keine Lösung x = z²; x² –24x -25=0 x1=-1; x2=25; z1= -5; z2= 5 z = x²; z² –26z+25=0 x1=-5; x2=5; x3= -1; x4= 1

Mh9S178Nr9 Biquadratische Gleichungen Ansatz: x = 1. Kathete y = 2. Kathete x·y = 120 x² + y² = 26² x1= 25,57; x2= 4,69; y1=4,69; y2=25,57

Mh9S178Nr10 Biquadratische Gleichungen a. Ansatz: x4 –12 = x² Lösungen: x1 = -2; x2= 2 b. Ansatz 2x4 –3 = 5x² Lösungen: x1;2 = ±2·2; x3;4= ±4,5

Mh9S178Nr10 Lösung durch Substitution Ansatz: z = x³ z² - 9z +8 = 0 Lösungen: x1³= 7,87; x1= 1,99 x2³= 1,13; x2= 1,04 Ansatz: z = y³ z² +7z -8 = 0 Lösungen: y1³= -8; y1= -2 y2³= 1; y2= 1 Ansatz: z = x4 z² -17z +16= 0 Lösungen: x14= 16; x1=-2 x2=2 x34= 1; x3=-1 x4=1 Ansatz: x = z4 x² +15x -16= 0 Lösungen: z14= -16; z24= 1; z1=-1 z2=1

Mh9S179Nr12 Bruchgleichungen x  0; x  6; HN.: x·(x-6); x² +7x -30 = 0 x1= -10; x2= 3 x  0; x  3; HN.: x·(x-3); x² -4x -21 = 0 x1= -3; x2= 7 l. y  -2; y  2; HN.: 3·(y+2)·(y-2); y² +y -30 = 0 y1= 5; y2= -6

Mh9S179Nr13 Bruchgleichungen x  -3; x  1/3; HN.: (x+3)·(1-3x); 6x² -40x-14= 0 x1= -1/3; x2= 7 x  0,5; x  1/12; HN.: (1-2x)·(12x-1); 24x² +42x -12 = 0 x1= -2; x2= 0,25 f. x  0,5; x  -4; HN.: (2x-1)·(x+4); x² -4x -5 = 0 y1= -1; y2= 5

Mh9S179Nr14 Bruchgleichungen Ansatz: Zuschuss für jeden Schüler 350:x 350:(x-3)- 350:x = 1,5 x  3; x  0; HN.: x·(x-3) x² -3x –700 = 0 x1= -25; x2= 28 Es sind 28 Schüler

Mh9S179Nr15 Bruchgleichungen Ansatz: Länge=x Breite = y x·y = 990; (x-2)·(y-2)= 990-130 x² -67x +990 = 0 x1= 22; x2= 45 y1= 245; y2= 22

Mh9S179Nr 16 Wurzelgleichungen 0,5 -0,444... -0,333...

Mh9S179Nr 17 Wurzelgleichungen Ansatz:

Mh9S179Nr 18 Wurzelgleichungen Zu f. Zu a. Der Definitionsbereich ist ganz IR, denn die Wurzel im Nenner kann weder 0 noch negativ werden.