Einführung in die Klimatologie Prof. Dr. Otto Klemm 10. Statik und Thermodynamik PD Dr. Otto Klemm Universität Bayreuth BITÖK Klimatologie, 95440 Bayreuth Tel.: 0921-55-5674; FAX: 0921-55-5799 email: klemm@bitoek.uni-bayreuth.de http://www.bitoek.uni-bayreuth.de/~Otto.Klemm Stand: 08/2000

X Navier - Stokes - Gleichung Sonderformen: statische Atmosphäre = es findet keine horizontale Bewegung statt = Druckgradient- beschleunigung Erdbeschleunigung Reibung Coriolis

Navier - Stokes - Gleichung Sonderformen: statische Atmosphäre oder: statische Grundgleichung die statische Grundgleichung beschreibt das Gleichgewicht der Druckgradientkraft, die eine Luftmasse nach oben drückt und der Schwerkraft, die es nach unten drückt.

ideale Gasgleichung

Dalton weiterhin gilt es zu beachten, dass sich die Partialdrücke einzelner Gase in einem Gasgemisch zu dem gesamten Druck addieren. In anderen Worten: Der Partialdruck eines Gases ist unabhängig von der Präsenz anderer Gase T = const. beispielsweise lässt sich der Druck einer „feuchten“ Luftmasse p als die Summe des Partialdrucks trockener Luft pd und des Wasserdampfdrucks e darstellen:

ideale Gasgleichung in der Meteorologie wird die ideale Gasgleichung in einer unterschiedlichen Form verwendet, nämlich massenspezifisch: Den Grund dafür werden wir gleich erkennen: aber Vorsicht: man kann dies nicht ohne weiteres tun. Man hat nun für verschiedene Gase unterschiedliche massenspezifische Gaskonstanten Ri. dies führt zu einer neuen Form der allgemeinen Gasgleichung: bzw.

ideale Gasgleichung Rd = 287.04 J kg-1 K-1 Nun haben Stickstoff und Sauerstoff sehr ähnliche Molmassen und vor allem sind die Mischungsverhältnisse in der Atmosphäre sind sehr stabil, dies berechtigt dazu, für trockene Luft eine einheitliche massenspezifische Gaskonstante Rd einzuführen: Rd = 287.04 J kg-1 K-1 und die Gasgleichung für trockene Luft lautet: aber Vorsicht: die Anwesenheit von Wasserdampf (unterschiedliche Molmasse, varriierendes Mischungsverhältnis) kompliziert die Sache.

statische Grundgleichung ... und der Gasgleichung für trockene Luft ... aus der statischen Grundgleichung ... ... bilden wir eine neue Form der statischen Grundgleichung ... ... aus der wir erkennen, warum hier massenspezifisch gearbeitet wurde: Wir arbeiten nur noch mit den Messgrößen p, z und T die alle messbar sind p / z  12 hPa / 100 m in Bodennähe

statische Grundgleichung wir teilen durch p und integrieren über die Höhe: eine generell gültige Lösung für diese Gleichung gibt es nicht. Man nimmt R und g als konstant an. Wenn zusätzlich T konstant ist, ergibt sich: wenn in Bodennähe p bekannt ist und das Temperaturprofil (annähernd) bekannt ist, kann man konsekutiv p als Funktion der Höhe berechnen. Als Hilfsmittel verwendet man häufig „Standard-Atmosphären“. Es existieren verschiedene Ansätze unterschiedlichen Vereinfachungsgrades

statische Grundgleichung eine wichtige Form ist die hypsometrische Grundgleichung, mit der wir die Beziehung zwischen Druck und Höhe in einer Atmosphäre mit beliebigem Temperaturverlauf berechnen können: ist die mittlere virtuelle Temperatur zwischen den Höhen z1 und z2 wir werden diese Gleichung zum Aufbau des thermodynamischen Diagrammpapiers verwenden

statische Grundgleichung Auszüge aus einer Standard - Atmosphäre:

I. Hauptsatz der Thermodynamik • wir vernachlässigen chemische Energie • mechanische Arbeit in der Atmosphäre ist Volumenarbeit: dW = p · dV • bei idealem Gas ist die innere Energie bei konstantem Volumen nur von der Temperatur abhängig. Mit cv = spezifische Wärme bei konstantem Volumen (cv = 718 J kg-1 K-1) folgt: dU = cV · dT sowie

I. Hauptsatz der Thermodynamik wir betrachten die ideale Gasgleichung… ... in der differenziellen Form: gemeinsam mit dem I. Hauptsatz ergibt sich: nun führen wir die spezifische Wärme bei konstantem Druck cp ein: cp = cv + Rd = (718 + 287) J kg-1 K-1 = 1005 J kg-1 K-1 (trockene Luft) nun ersetzen wir noch V mit der idealen Gasgleichung:

I. Hauptsatz der Thermodynamik adiabatische Prozesse sind solche, in denen einer Luftmasse Wärmeenergie weder zu- noch abgeführt wird: dQ = 0 somit folgt: unter Zuhilfenahme der barometrischen Höhenformel: ergibt sich: dies ist eine besonders wichtige Form der Energiegleichung (hier in der massenspezifischen Form). Man sieht, dass sich bei adiabatischen Prozessen die Summe der Wärmeenergie und der potenziellen Energie ausgleichen. Daraus ergibt sich die Abnahme der Temperatur mit der Höhe in der Troposphäre! Dabei wird die bei der Expansion mit aufsteigender Luft geleistete Volumenarbeit zum Teil aus der Wärmeenergie ausgeglichen. Dies erklärt ca. 71 % der Temperaturabnahme. Durch die Änderung der potenziellen Energie kommt es zu den restlichen 29 % des Temperaturabfalls.

trockenadiabatischer Temperaturgradient: der trockenadiabatische Temperaturgradient ist: dieser kann mit einem gemessenen Temperaturgradienten  = dT / dz verglichen werden. aber Vorsicht: wir haben dies hier für den Fall trockener Luft hergeleitet.

statische Stabilität

statische Stabilität

statische Stabilität

potenzielle Temperatur nochmal: für adiabatische Prozesse gilt: Integration führt zur Poisson--Gleichung: und zur Definition der potenziellen Temperatur  in Einkeit K (p in hPa):  ist die Temperatur, die ein Luftpaket annimmt, wenn es in einem adiabatischen Prozess auf einen Druck von 1000 hPa gebracht wird.  ist ein sehr brauchbarer Parameter. In einer trockenadiabatisch geschichteten Atmosphäre ist  mit der Höhe konstant.

Einfluss der Feuchte Wasser spielt in der Atmosphäre eine extrem wichtige Rolle, weil: Wasser in allen 3 Phasen vorkommt und in Form von Niederschlag eine vitale Voraussetzung für das terrestrische Leben darstellt Wasserdampf ein bedeutendes natürliches Treibhausgas ist Phasenübergänge des H2O große Mengen an Energie umsetzen Wasserdampf eine geringere Molmasse und folglich (bei sonst gleichen Bedingungen) eine geringere Dichte hat als trockene Luft

Wasserdampf wir verwenden unterschiedliche wichtige Feuchtemaße und lernen damit zusammenhängende Größen für die Atmosphäre kennen: relative Feuchte rF Wasserdampfdruck e Sättigungsdampfdruck des Wassers e* spezifische Feuchte q Taupunkt-Temperatur Td virtuelle Temperatur Tv Wasserdampf – Mischungsverhältnis r

Wasserdampf Luft kann eine gewisse Menge an Wasserdampf aufnehmen. Wenn das Angebot an gasförmigem H2O darüberhinaus anwächst, tritt Kondensation (bzw. Sublimation) ein und die flüssige (oder feste) Wasserphase bildet sich aus. Die Gleichung nach Clausius-Clapeyron beschreibt die maximal in der Luft vorhandene Wasserdampfmenge: oder: Rw Gaskonstante des Wasserdampfs mit der Annahme, dass L über den Temperaturbereich von Interesse konstant ist, kann die Gleichung nach Clausius-Clapeyron annähernd gelöst werden:

Wasserdampf eine Lösung bietet die Magnus-Formel: Phase t (°C) C1 / hPa C2 C3 / °C Eis < 0 6.11 22.44 272.44 Wasser 17.84 245.43 > 0 17.08 234.18 t: Temperatur in °C im englischsprachigen Raum wird auch Tetens Formel angewandt:

Wasserdampf das Verhältnis des aktuellen Wasserdampfdrucks zum Sättigungsdampfdruck (bei gegebener Temperatur) ist die relative Luftfeuchte rF: rF ist also bei gegebenem Wasserdampfdruck stark von der Temperatur abhängig. rF ist ein beliebtes Feuchtemaß, weil sie direkt messbar ist. rF ist dimensionslos und wird meist in % angegeben. . In einer Luftmasse, die in thermodynamischem Gleichgewicht mit einer angrenzenden Wasserphase steht, ist rF gleich der Aktivität des Wassers in der Wasserphase.

Einfluss der Feuchte Wasserdampf hat eine geringere Molmasse und folglich (bei sonst gleichen Bedingungen) eine geringere Dichte als trockene Luft. Folglich ist auch die massenspezifische Gaskonstante unterschiedlich der der trockenen Luft. Nun kann man die Gasgleichung entweder durch Wasserdampf erweitern oder auf den Zustand trockener Bedingungen „korrigieren“. Man definiert für diesen Zweck die virtuelle Temperatur Tv: Die virtuelle Temperatur ist diejenige Temperatur, die trockene Luft bei konstantem Druck annehmen müsste, um dieselbe (geringere) Dichte zu haben wie die feuchte Luftmasse mit Temperatur T. Da Wasserdampf weniger dicht ist als trockene Luft, ist Tv  T. Auf die Herleitung von Tv wird hier verzichtet. Sie ist: Tv = T · (1 + 0.608 · q) mit: q = spezifische Feuchte = Masse Wasserdampf / Masse feuchter Luft

Einfluss der Feuchte q = spezifische Feuchte = Masse Wasserdampf / Masse feuchter Luft W = Dichte des Wasserdampfs d = Dichte der trockenen Luft die massenspezifischen Gaskonstanten des H2O, RW, und der trockenen Luft, Rd, haben das Verhältnis: mit der Gasgleichung führt dies zu: e: Partialdruck des Wassers

Einfluss der Feuchte und mit p » e: Die virtuelle Temperatur Tv = T · (1 + 0.608 · q) kann nun in der Gasgleichung für trockenen Luft eingesetzt werden, wenn diese auch für feuchte Luft angewendet werden soll: Allerdings ist der Einfluss der Feuchte auf den trockenadiabatischen Temperaturgradienten* gering, so dass er hier meist vernachlässigt wird. *  „trockenadiabatischer Temperaturgradient feuchter Luft“ Vorsicht: ein feuchadiabatischer Temperaturgradient ist etwas anderes

Wasserdampf • direkt messbar ist • die Höhe des die Taupunkt-Temperatur Td ist diejenige Temperatur, auf die eine gegebene Luftmasse mit gegebener Feuchte abgekühlt werden muss, bis Kondensation eintritt. Es gilt: Td ist ein bedeutendes Maß, weil sie • direkt messbar ist • die Höhe des Kondensationsniveaus in der Atmosphäre bestimmt

Wasserdampf das Wasserdampf - Mischungsverhältnis r ist die Masse des Wasserdampfes / Masse trockener Luft mit Rv = Gaskonstante des Wasserdampfs rs ist das Sättigungs-Mischungsverhältnis des Wasserdampf, wenn in o.g. Gleichung e* statt e eingesetzt wird.

Wasserdampf wenn die Temperatur einer Luftmasse unter die Taupunkt-Temperatur absinkt, kommt es zur Kondensation von Wasserdampf zu flüssigem Wasser. Dabei wird die Verdampfungswärme L (2.6 ·106 J kg-1) des Wassers frei. Diese kommt der expandierenden Luft als Wärmeenergie zugute. Damit verringert sich die Temperaturabnahme mit der Höhe im Vergleich zum trockenadiabatischen Fall. Der feuchtadiabatische Temperaturgradient  soll hier nicht hergeleitet werden sondern wird eingeführt mit: gilt in dieser Form für die wässrige Phase, nicht für die Bildung der Eisphase

Wasserdampf die der Luft durch Kondensation zugeführte Energie kann als Steigung der Sättigungskurve des Wasserdampfs bei gegebener Temperatur verstanden werden der Unterschied zwischen feuchtadiabatischem und trockenadiabatischenTemperaturgradient ist also eine Funktion der Temperatur. Für die meisten Fälle gilt: –0.3 K / 100m    – 0.7 K / 100 m

aus: Blüthgen und Weischet, 1980 Föhn Aufsteigende Luftmassen können (bei Td) das Kondensationsniveau erreichen. Am Beispiel des Föhns werden die Effekte gut veranschaulicht: S N aus: Blüthgen und Weischet, 1980

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995

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Föhn - Beispiel Höhe ü. NN m T °C rH % rs g kg-1 r p hPa Start 100 10 70 7.76 5.43 988 Anstieg parallel zur Trockenadiabaten bis das Sättigungs-Mischungsverhältnis erreicht ist Kondensationsniveau 750 3.6 912 Anstieg entlang der Feuchtadiabaten bis über die Berge Gipfelhöhe 3000 -12.1 2.25 676 Abstieg parallel zur Trockenadiabaten bis zum Boden hin Endpunkt 500 13.9 21 10.7 942 Farbkodierung: rot fett: vorgegeben blau unterstrichen: aus Diagramm ermittelt braun kursiv: aus Angaben und Diagramm ermittelt / berechnet

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995