1WS 06/07 Organisatorisches 1.Vorlesung am Montag, : 9-11 Uhr in Gebäude 106, Raum Podcasts: Probleme mit der Videoqualität sind behoben Alte Files wurden durch neue ersetzt diese müssen neu heruntergeladen werden

WS 06/07 Tobias Lauer Algorithmentheorie 7 – Bin Packing

3WS 06/07 Problembeschreibung Gegeben: n Objekte der Größen s 1,..., s n mit 0 < s i 1, für 1 i n. Gesucht: Die kleinstmögliche Anzahl von Kisten (Bins) der Größe 1, mit der alle Objekte verpackt werden können. Beispiel: 7 Objekte mit Größen 0.2, 0.5, 0.4, 0.7, 0.1, 0.3, 0.8

4WS 06/07 Problembeschreibung Online Bin-Packing: Jedes (ankommende) Objekt muss verpackt sein, bevor das nächste Objekt betrachtet wird. Ein Objekt verbleibt in derjenigen Kiste, in die es zuerst gepackt wird. Offline Bin-Packing: Zunächst wird die Anzahl n und alle n Objekte vorgegeben. Dann beginnt die Verpackung.

5WS 06/07 Beobachtung Bin-Packing ist beweisbar schwer. (Offline Version ist NP-hart. Entscheidungsproblem ist NP-vollständig.) Kein Online Bin-Packing Verfahren kann stets eine optimale Lösung liefern.

6WS 06/07 Online Verfahren Satz 1 Es gibt Eingaben, die jeden Online Bin-Packing-Algorithmus zwingen, wenigstens 4/3 OPT Bins zu verwenden, wobei OPT die minimal mögliche Binzahl ist. Beweis: Annahme: Es gibt einen Online Bin-Packing-Algorithmus A, der stets weniger als 4/3 OPT Bins benötigt. 1/ m m + 1 m + 2 2m Zeit 1

7WS 06/07 Online Verfahren Next-Fit (NF), First-Fit (FF), Best-Fit (BF) Next-Fit: Verpacke das nächste Objekt in dieselbe Kiste wie das vorherige, wenn es dort noch hineinpasst, sonst öffne eine neue Kiste und verpacke es dort. Satz 2 (a) Für alle Inputfolgen I gilt: NF(I) 2 OPT(I). (b) Es gibt Inputfolgen I mit: NF(I) 2 OPT(I) – 2.

8WS 06/07 Next Fit Beweis: (a) Betrachte zwei Kisten B 2k-1, B 2k, 2 k NF ( I ). 0 1 B 1 B 2 B 2k-1 B 2k

9WS 06/07 Next Fit Beweis: (b) Betrachte Inputfolge I mit Länge n n 0 (mod 4): 0.5, 2/ n, 0.5, 2/ n, 0.5,..., 0.5, 2/ n Optimale Packung: 0 1 B 1 B 2 B n/4 B n/ /n

10WS 06/07 Next Fit Next Fit liefert: NF ( I ) = OPT ( I ) = 0 1 B 1 B 2 B n/ /n 0.5 2/n 0.5

11WS 06/07 First Fit First Fit: Packe nächstes Objekt in die erste Kiste, in die es noch hineinpasst, wenn es eine solche Kiste gibt, sonst in eine neue Kiste. Beobachtung: Zu jedem Zeitpunkt kann es höchstens eine Kiste geben, die nicht mehr als halb voll ist. FF( I ) 2 OPT( I )

12WS 06/07 First Fit Satz 3 (a) Für alle Inputfolgen I gilt: FF ( I ) 17/10 OPT ( I ) (b) Es gibt Inputfolgen I mit: FF ( I ) 17/10 ( OPT ( I ) – 1) (b´) Es gibt Inputfolgen I mit: FF ( I ) = 10/6 OPT ( I )

13WS 06/07 First Fit Beweis (b`): Inputfolge der Länge 3 6 m

14WS 06/07 First Fit First-Fit liefert:

15WS 06/07 First Fit

16WS 06/07 Best Fit Best Fit: Verpacke das nächste Objekt in diejenige Kiste, in die es am besten passt (d.h. den geringsten Platz ungenutzt lässt). Verhalten von Best Fit ähnlich zu First Fit Laufzeit für Inputfolgen der Länge n Next Fit:O( n ) First Fit:O( n 2 ) BestFit:O( n 2 )

17WS 06/07 Offline Verfahren n und s 1,..., s n sind gegeben, bevor die Verpackung beginnt Optimale Packung kann durch erschöpfende Suche bestimmt werden. Idee für offline Approximationsalgorithmus: Sortiere die Objekte zunächst nach abnehmender Größe und verpacke größere Objekte zuerst! First Fit Decreasing (FFD) bzw. FFNI Best Fit Decreasing (BFD)

18WS 06/07 First Fit Decreasing Lemma 1 Sei I eine Folge von n Objekten mit Größen s 1 s s n und sei m = OPT(I). Dann haben alle von FFD in den Bins B m+1,B m+2,..., B FFD(I) verpackten Objekte eine Größe von jeweils höchstens 1/3.

19WS 06/07 First Fit Decreasing Lemma 2 Sei I eine Folge von n Objekten mit Größen s 1 s s n und sei m = OPT ( I ). Dann ist die Anzahl der Objekte, die FFD in die Kisten B m+1, B m+2,..., B FFD(I) verpackt, höchstens m – 1.

20WS 06/07 First Fit Decreasing Beweis: Annahme: Es gibt mehr als m – 1 Objekte x 1,...., x m in I, die FFD in extra Kisten verpackt. W1W1 W2W2 WmWm B 1 B 2 B m B m+1

21WS 06/07 Anzahl der Bins von FFD Lemma 2: FFD muss m-1 Objekte in Extra-Bins verpacken Lemma 1: jedes dieser Objekte hat eine Größe 1/3 FFD( I ) =

22WS 06/07 First Fit Decreasing Satz Für alle Inputfolgen I gilt: FFD ( I ) 4/3 OPT ( I ) + 1/3 Satz a. Für alle Inputfolgen I gilt: FFD ( I ) 11/9 OPT ( I ) + 4. b. Es gibt Inputfolgen I mit: FFD ( I ) = 11/9 OPT ( I ).

23WS 06/07 First Fit Decreasing Beweis (b): Inputfolge der Länge 3 6 m + 12 m Optimale Packung: 1/2 + 1/ /4 + 1/2 + 1/ / / / / /4 + 2

24WS 06/07 First Fit Decreasing 1/2 + 1/ / / First Fit Decreasing liefert: OPT(I) = 9m FFD(I) = 11m