Die Entwicklung des Zahlbegriffs Mathematik Basisseminar 21.2./1.3.2011 Die Entwicklung des Zahlbegriffs

Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte, die Quantitäten (Anzahlen, Differenzen, Größenverhältnisse, ...) darstellen und unter anderem zum Zählen, Ordnen und Messen verwendet werden. Das Wort Zahl entwickelte sich aus dem althochdeutschen Wort zala, welches „eingekerbtes Merkzeichen“ bedeutet. Eng verwandt sind die Begriffe zählen und Anzahl.

Zahlen als kulturelle Erfindungen

„Der Mathematikunterricht der Primarstufe hat die Aufgabe, bei den Kindern das Interesse an Mathematik zu wecken und zu fördern. Er soll die Kinder befähigen, in ihrer Umwelt mathematische Beziehungen zu erkennen und Probleme mit mathematischen Mitteln zu lösen.“ (Rahmenplan für die Grundschule, Mathematik)

und natürlich die Zahlaspekte  Voraussetzungen Die Zählkompetenz Niveau 1: Ganzheitsauffassung der Zahlwortreihe Niveau 2: Unflexible Zahlwortreihe Niveau 3: Teilweise flexible Zahlwortreihe Niveau 4: Flexible Zahlwortreihe Niveau 5: Vollständig reversible Zahlwortreihe Kognitive Fähigkeiten und natürlich die Zahlaspekte

1. Die Zählkompetenz = Grundlage für den Erwerb des Zahlbegriffs  mit Eintritt in die Schule verfügen viele Kinder schon über beträchtliche arithmetische Kompetenzen: • mit 2 Jahren: - erste Zahlwörter - Zahlwörter zur Bezeichnung von Mengen, z.B. 2 Kekse, 3 Autos… • mit 3 1/2 Jahren: - die ersten drei Zählprinzipien sind in Ansätzen vorhanden

Erwerb der Zahlwortreihe nach FUSON: Niveau 1: Ganzheitsauffassung der Zahlwort- reihe (string level)  Die Zahlwortreihe wird als Ganzes unstrukturiert eingesetzt, wie ein Lied oder Gedicht rezitiert: „einszweidreivier“.  Die Zahlwörter haben noch keine kardinale Bedeutung.

Die einzelnen Zahlwörter können klar Niveau 2: Unflexible Zahlwortreihe (unbreakable chain level) Die einzelnen Zahlwörter können klar unterschieden werden, jedoch muss die Reihe immer als Ganzes aufgesagt werden.  Es wird immer ab 1 gezählt. Durch Zählen kann eine Anzahl bestimmt werden.

Die Zahlwortreihe kann von einem Niveau 3: Teilweise flexible Zahlwortreihe (breakable chain level) Die Zahlwortreihe kann von einem beliebigen Zahlwort aus aufgesagt werden. Vorgänger- und Nachfolgerzahlen können genannt werden.  Rückwärtszählen gelingt zum Teil. Die kardinale Kompetenz (bestimmen einer Anzahl) ist deutlich gestiegen.

Anzahl Schritte weiter gezählt werden. Niveau 4: Flexible Zahlwortreihe (numerable chain level)  Von jeder Zahl aus kann eine bestimmte Anzahl Schritte weiter gezählt werden. Z.B. zähle von 14 aus drei Schritte vorwärts, rückwärts.  Rechenkompetenzen werden erworben.

Es kann von jeder Zahl aus vorwärts und rückwärts gezählt werden. Niveau 5: Vollständig reversible Zahlwort- reihe (bidirectional chain level) Es kann von jeder Zahl aus vorwärts und rückwärts gezählt werden. Richtungswechsel erfolgen schnell und ohne Schwierigkeiten. Erkenntnisse zum Aufbau unseres Zahl- systems können abgeleitet werden.

2. Kognitive Fähigkeiten PIAGET (1965) : „Der Zahlbegriff stellt eine Abstraktion dar, die sich aus den Operationen Klassifikation und Seriation ergibt und zu einem System vereinigt worden ist.“ Die Fähigkeit zur Gruppenbildung = Die Klassifikation Die Fähigkeit zur Reihenbildung = Die Seriation

Eigenschaften von Elementen erkennen • Unterscheidung von Form, Farbe, Größe Bildung von Gruppen (Klassifikation) • Gegenstände gleicher Art bilden eine Gruppe Erkennen der Invarianz • egal wie die Elemente angeordnet sind, die Menge ändert sich nicht Erkennen der Repräsentanz • die Anzahl der Gegenstände ist unabhängig von der Form, Größe… Bildung von Reihen (Seriation) • bilden von Reihen entsprechend einer bestimmten Anordnung Eins-zu-Eins-Zuordnung •Vergleich zweier Mengen mithilfe der Eins-zu-Eins-Zuordnung Inklusion • Zerlegen, Vereinigen, Vergrößern und Verkleinern von Mengen

Aspekte des Zahlbegriffs Der Erwerb der natürlichen Zahlen im Verlauf der Vorschul- und Grundschulzeit basiert keineswegs nur auf der Entwicklung der Zählkompetenz – wenngleich diese natürlich bedeutsam ist. Innerhalb unserer kulturellen Entwicklung, im alltäglichen Gebrauch entwickelten sich unterschiedliche Bedeutungsaspekte einer Zahl. Diese sind gerade innerhalb unseres hochdifferenzierten und informationsbeladenen Alltages wichtig; Kinder sammeln und nutzen diese, dennoch sind sie nicht als kognitive Existenz des Zahlbegriffs zu verstehen. Die unter diesen Aspekten benutzten Zahlwörter sind kontextgebunden, abhängig von der individuellen Entwicklung und den Vorerfahrungen.

Die Zahlaspekte: 1. Kardinalzahlaspekt 2. Ordinalzahlaspekt 3. Maßzahlaspekt 4. Operatoraspekt 5. Rechenzahlaspekt 6. Codierungsaspekt 7. Narrativer Aspekt 8. Geometrische Formen

1. Kardinalzahlaspekt • Zahlen dienen zur Beschreibung von Anzahlen • Man fragt: „Wie viele?“ und benennt das Ergebnis mit eins, zwei, drei… • Beispiel: Max hat 2 Brüder. Dort liegen 4 Bausteine. Der Kardinalzahlaspekt benennt somit die Mächtigkeit (wie viele sind es?).

Mächtigkeit von Mengen erkennen

Repräsentanz für gleichmächtige Mengen

Einer Zahl eine Menge zuordnen

Mengen numerisch erfassen Simultanes Erfassen einer ungegliederten Menge Simultanes Erfassen einer gegliederten Menge Bestimmen der Menge durch Abzählen der Elemente

Gleichheit von Mengen erkennen Übereinstimmung der Elemente zweier Mengen durch simultane Überprüfung Eins-zu-eins- Korrespondenz Prüfen durch Zählen

Invarianz erkennen

2. Ordinalzahlaspekt Hier wird zwischen Ordnungszahlen und Zählzahlen unterschieden: Ordnungszahlen • Zahlen beschreiben Stellen innerhalb einer (total geordneten) Reihe • Benutzung der Ordnungszahlen indem man fragt: „An welcher Stelle?“ oder „Der wievielte?“ und das Ergebnis mit erster, zweiter, dritter… benennt • Bsp.: Max belegt den 3. Platz. Heute ist der 17. Juni. Uta sitzt in der 5. Reihe.

b) Zählzahlen • Zahlen beschreiben ebenfalls Stellen innerhalb einer Reihenfolge • Benutzung der Zählzahlen, wie sie im Zählprozess durchlaufen werden, indem man fragt: „An welcher Stelle?“ und das Ergebnis mit eins, zwei, drei… benennt • Bsp.: Max hat die Startnummer 36. Ich lese gerade im Buch auf Seite 8. Der Ordinalzahlaspekt benennt somit die Stellung des Elements in einer durchnummerierten Reihe.

Zahlen als Ordinalzahlen Definition: Stellung des Elementes in einer durchnummerierten Menge Fähigkeiten Erwerb der Zahlwortreihe Zählzahlaspekt Ordinalzahlaspekt

Zählzahl Korrektes Zählen Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen einem Zahlwort (der Zählzahl), einem Element und dem Zeigen.

Ordnungszahl Schulanfänger beherrschen die Zählzahlen wesentlich sicherer als die Folge der Ordnungszahlen Definition Ordnungszahl: Rangplatz eines Elementes, z.B. fünfter

3. Maßzahlaspekt • Zahlen dienen hier zur Bezeichnung von Größen (bezüglich einer gewählten Einheit) • Man fragt: „Wie lang?“, „Wie teuer?“, „Wie schwer?“, „Wie viel Grad?“ • Bsp.: 2 Kilometer, 40 Cent, 5 Kilogramm, 12°

4. Operatoraspekt • Zahlen beschreiben die Vielfachheit einer Handlung oder eines Vorgangs • Man fragt: „Wie oft?“ und antwortet mit einmal, zweimal… Bsp.: Max hat diese Woche zweimal gefehlt. Klatsche dreimal in die Hände. Wie oft hast du den Ball geworfen? Die Medizin musst du viermal täglich nehmen.

5. Rechenzahlaspekt • Zahlen werden als Rechenzahlen benutzt • Der Rechenzahlaspekt gliedert sich in den algebraischen und algorithmischen Aspekt: a) Algebraischer Aspekt: Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) 1+4 = 4+1 => a + b = b + a Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz) 7+ (3+5) = (7+3) +5 => a+ (b+c) =(a+b) +c Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) 4 • (10+3) = 4 • 10 + 4 • 3 => a • (b+c) = a•b + a•c

b) Algorithmischer Aspekt: Bsp.: 579 834 + 688 -359 1267 475

6. Codierungsaspekt • Ziffernfolgen dienen dazu Dinge zu kennzeichnen und zu unterscheiden • Ziffernfolgen dienen zur Codierung • Bsp.: Max hat die Telefonnummer 7101716. Das Buch hat die ISBN-Nummer: 3-86025-480-4. Der Codierungsaspekt beinhaltet somit die organisatorische Unterscheidung und Bezeichnung von Objekten und Personen durch Zahlen.

7. Narrativer Aspekt Zahlen erzählen eine Geschichte, stehen symbolisch für etwas; z.B. 3 für die Dreifaltigkeit. (das Adjektiv narrativ = erzählerisch, von lat. „narrare“ = erzählen ist ein Fachterminus der Erzähltheorie)

8. Geometrische Formen Beispiel: Ein Sechseck (zweidimensional), ein Würfel hat 6 Flächen (dreidimensional)

Allerdings: Zahlaspekte überlagern sich teilweise und lassen sich nicht immer eindeutig zuordnen.

Beispiel für Zahlaspekte Gestern war ich zum zweiten Mal in meinem Leben allein (?) auf einer Hochzeit. Mit mir waren 72 Gäste anwesend (?). Ich saß mit mir unbekannten Menschen am zweiten Tisch (?). In seiner Rede schlug der Brautvater einen interessanten rhetorischen Haken vom Datum des 12. Dezember über die Geschichte der 12 Jünger Jesu (?) hin zu der erwartenden Kinderschar. Nachdem er 20 Minuten (?) gesprochen hatte, zählte er die Anzahl seiner bereits geleerten Getränke (1 Begrüßungssekt, + 2 Gläser Wein zum Essen + Bier und zwei Verdauungsschnäpse = 9?!?!) (?) und beschloss aufzuhören. Schnell tippte ich die Nummer 1234321 (?) in mein Handy, um meiner Frau, die zuhause die Kinder hüten musste, davon zu erzählen.

Beispiel für Zahlaspekte - Lösung Gestern war ich zum zweiten Mal in meinem Leben allein (Operatoraspekt) auf einer Hochzeit. Mit mir waren 72 Gäste anwesend (Kardinalzahlaspekt). Ich saß mit mir unbekannten Menschen am zweiten Tisch (Ordinalzahlaspekt). In seiner Rede schlug der Brautvater einen interessanten rhetorischen Haken vom Datum des 12. Dezember über die Geschichte der 12 Jünger Jesu (narrativer Aspekt) hin zu der erwartenden Kinderschar. Nachdem er 20 Minuten (Maßzahlaspekt) gesprochen hatte, zählte er die Anzahl seiner bereits geleerten Getränke (1 Begrüßungssekt, + 2 Gläser Wein zum Essen + Bier und zwei Verdauungsschnäpse = 9?!?!) (Rechenzahlaspekt) und beschloss aufzuhören. Schnell tippte ich die Nummer 1234321 (Codierungsaspekt) in mein Handy, um meiner Frau, die zuhause die Kinder hüten musste, davon zu erzählen.

Wiederholung: Welche Teilaspekte gehören zu einem umfassenden Zahlbegriff (am Beispiel der Zahl „6“)? Kardinalzahlaspekt: Beispiel: Das sind 6 Bücher bzw. 3 Stifte usw. (Anzahl) Ordinalzahlaspekt: Beispiel: Die Zahl 6 kommt vor der Zahl 7 und nach der Zahl 5 (Ordnung) Maßzahlaspekt: Beispiel: Die Mehlpackungen wiegen insgesamt 6 kg Operatorsaspekt: Beispiel: Man klatscht mit den Händen 6 mal Rechenaspekt: Beispiel: Man steht auf Feld 3 und würfelt eine 6. Somit darf man auf Feld 9 Codierungsaspekt: Beispiel: Telefonnummer oder ISBN Nummer Geometrische Formen: Beispiel: Ein Sechseck (zwei-dimensional), ein Würfel hat 6 Flächen (dreidimensional)

Literatur • Focke, Elke: Beobachtungsempfehlungen hinsichtlich elementarer pränumerischer und arithmetischer Grundlagen. Im Internet: http://www.learnline.de/angebote /schuleingang/pdf/beo_emp.pdf (Stand: 14.08.2008) • Hasemann, Klaus: Anfangsunterricht Mathematik. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 2003 • Jacob, Ursula; Isa, Katja: Grundlagen des Mathematik-Anfangsunterrichts. Im Internet: http://www.ak-grundschule.de/cms/front_content.php?idcat=501 (Stand: 14.06.2008) • Padberg, Friedhelm: Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 3. erw., völlig überarbeitete Aufl., München: Elsevier, 2005 • Werner, B. (2007) Diagnose und Förderung im Bereich der Zahlbegriffsentwicklung (In: Walter, J./Wember, F. (2007) (Hrsg.) Sonderpädagogik des Lernens (Band 2 Handbuch Sonderpädagogik): Göttingen: Hogrefe 571 – 590) Im Internet: http://www10.ph-heidelberg.de/org/allgemein/fileadmin/user-upload/wp/werner/Text_Zahlbegriffsentwicklung_Homepage_neu.pdf (Stand: 14.06.2008)

Noch Fragen?

Wann kann ein Kind zählen? Ein Kind kann zählen, wenn es die folgenden grundlegenden mathematischen Fähigkeiten beherrscht: Körperschema: Grundlage der räumlichen Orientierung  Erfahrung mit den ganzen Körpern als auch mit einzelnen Körperteilen. Klassifikation: Ist die Fähigkeit, Gleichheit, Ähnlichkeit und Verschiedenheit zwischen Gegenständen zu erkennen und sie entsprechend zu ordnen. Raumorientierung: Begriffe: vorne-hinten, rechts-links, oben-unten,… Seriation: Fähigkeit, Gegenstände gemäß einer bestimmten Regel in eine Reihe zu bringen. Gleichheit von Gegenstandsmengen: Baustein für ein Verständnis von Gleichungen und bereiten den Zahlenbegriff als Beziehungsbegriff vor. Stück-für-Stück-Zuordnung: Fähigkeit mit der sich feststellen lässt, ob zwei Mengen gleichmäßig sind oder nicht. Mengenvarianz: Grundsatz der Mengenerhaltung erkennen. Unabhängige von Größe, Anordnung, Verteilung bleibt eine Menge konstant. Gegenstandsvertreter: bahnen das Verständnis für die Zahl als abstrakte und Unabänderliche (Invariante) an. Gegenstände zerlegen und zusammensetzen: Begründen ein Verständnis und Unterscheidevermögen dieser Rechenoperation. Mengen vergrößern und verkleinern: Einsicht, dass Zahlen sich aus anderen zusammensetzen, aus anderen herstellbar sind, Strukturen haben, zerlegbar und ergänzbar sind.

Fehlende Zahlvorstellung Einseitig ordinales Zahlenverständnis: Die Zahl bezeichnet nicht die gesamte gezählte Menge, sondern den Rang-platz bzw. das letzte gezählte Element

Fehlende Zahlvorstellung Fehlendes Verständnis für Zahlzerlegungen

Zählendes Rechnen Zählendes Rechnen ist meist die erste Herangehensweise bei Vorschülern oder Schulanfängern, um Rechenaufgaben zu lösen. Es ist deshalb nicht zwangsläufig ein Problem, wenn Kinder zählend rechnen.

Zählendes Rechnen (2) ABER es lässt sich durchaus unterscheiden, ob das zählende Rechnen nur ein sich auswachsendes „Hilfsmittel“ ist, oder ob es die einzige Rechenstrategie des Kindes und somit eine Sackgasse ist.

Zählendes Rechnen (3) Verfestigtes zählendes Rechnen ist das zentrale Merkmal von Rechenschwäche.

Zählendes Rechnen (4) Nachteile des zählenden Rechnens: ● fehleranfällig ● zeitaufwändig ● nicht anschlussfähig

Zählendes Rechnen (5) Die Automatisierung wird erschwert, denn … durch den Zählprozess sind die Schüler so stark absorbiert, dass sie keine Verbindung mehr zwischen Aufgabe und Ergebnis herstellen … Zusammenhänge zwischen Analogieaufgaben werden nicht erfahrbar … es treten häufig Fehler auf

Zählendes Rechnen (6) ● Die Schlussfolgerung daraus kann nicht sein, den Schülern das Zählen mit Hilfe der Finger einfach zu verbieten. ● Heimliches Zählen im Kopf ist nicht sinnvoller, sondern nur anstrengender und zudem fehleranfälliger.

Zählendes Rechnen (7) Ziel der Förderung sollte vielmehr sein, innere Vorstellungsbilder aufzubauen und Strategien zu vermitteln, die das Zählen nach und nach überflüssig machen. Denken Sie bitte also immer an die Ausführungen von Herrn Becker und Herrn Nothelfer . . .