Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-17

Themen der Woche Einführung in die Wahrscheinlichkeitslehre Begriff der Wahrscheinlichkeit Axiomatische Definition und Folgerungen aus den Axiomen

Wahrscheinlichkeitslehre Anfänge Mitte des 17. Jh. (Huygens, Pascal, Fermat, Bernoulli). Aufgaben des Glücksspiels. Nur arithmetische und kombinatorische Methoden. Weiterentwicklungen im Jh. durch LaPlace, Gauss und Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Bevölkerungsstatistik. Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der W-theorie, Fundament in axiomatischen Aufbau (Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse (Wiener, Markoff, Chintchin), Partikelphysik. Heute zentraler Bestandteil wiss. Betätigung: Informations- und Kommunikationstheorie,Teilchenphysik, Bevölkerungsstatistik, Populationsdynamik,Epidemiologie, Dosis-Wirk-Diagnostik, Materialprüfung, Statik, Personalauswahl, psychologische Testung, Versuchsplanung und Stichprobentheorie.

Wahrscheinlichkeitslehre Die Wahrscheinlichkeitslehre befasst sich mit zufälligen Ereignissen Für diese Zufallsereignisse gilt: 1.Sie sind wiederholbar. 2.Sie besitzen eine Stabilität in der relativen Häufigkeit ihres Auftretens.

Wahrscheinlichkeitslehre Beispiel: Relative Häufigkeit für das Würfeln einer 6 in Abhängigkeit Von der Anzahl der Würfelversuche:

Begriffe: Stichprobenraum Zwei Ereignisse heissen paarweise unvereinbar (disjunkt), wenn gilt: Gilt: Und sind die B i paarweise unvereinbar, so lässt sich A in die Teilereignisse B i zerlegen. Wenn stets mindestens eines der B i eintritt, d.h. So bilden die B i ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse (Elementarereignisse), den Stichprobenraum. (unmögliches Ereignis) (sicheres Ereignis)

Begriffe: Ereignisalgebra Zu einem Stichprobenraum kann man eine sog. Ereignisalgebra konstruieren, die ein abgeschlossenes System von Ereignissen darstellt. Regel: Jedem Ereignis A, welches der Algebra U angehört, kann dann eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. Die Wahrscheinlichkeit ist also eine auf der Ereignisalgebra U definierte Funktion P(A). Bilde eine Menge U aus dem sicheren Ereignis, dem unmöglichen Ereignis und allen Ereignissen, die sich in Elementarereignisse zerlegen lassen. Beispiel: Zufallsdreieck mit 3 Seiten B 1,B 2,B 3

Die Kolmogoroff - Axiome Die auf U definierte Funktion P(A) besitzt folgende Eigenschaften: 1.Für jedes Ereignis A der Algebra U gilt : P(A) 0 2.Für das sichere Ereignis gilt: P( ) = 1 3.Läßt sich das Ereignis A in die unvereinbaren Teilereignisse B und C zerlegen und gehören alle 3 Ereignisse der Algebra U an, so gilt P(A) = P(B) + P(C) (Additionssatz der Wahrscheinlichkeiten). [Tafelbeispiele und Vertiefungen]

Folgerungen aus den Axiomen (Wahrscheinlichkeit des Komplements ist 1 minus die WK des Ereignisses) Es gilt ja für den Stichprobenraum : Und mit Axiom 2 folglich: Und mit Axiom 3 (Additionstheorem) dann: Woraus der Satz folgt.

Folgerungen aus den Axiomen Gilt A B, so folgt B lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A und B\A (B ohne A) schreiben: B = A B\A Da P(B\A) 0 Folgt der Satz. B\A A

P(A\B) = P(A) – P(A Folgerungen aus den Axiomen A lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A\B und A B schreiben: A = (A\B) (A B) Wegen des Additionstheorems folgt sofort Und hieraus folgt der Satz. A\B A B P(A) = P(A\B) + P(A B)

Folgerungen aus den Axiomen A B lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A\B und B schreiben: A B = (A\B) B Wegen des Additionstheorems folgt Wir zeigten aber vorher: P(A\B) = P(A) – P(A B). Einsetzen gibt: A\B B P(A B) = P(A\B) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) (allgemeiner Additionssatz) Und dies ist der allgemeine Additionssatz. P(A B) = P(A) – P(A B)+ P(B)