Die Analyse von Proportionen: c2 und Logistic Regression Jonathan Harrington Befehle: proportion.txt

Kontinuierlich und kategorisch Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass: F2 von [i:] höher ist als von [I] (t-test) F1 und Dauer von [a] miteinander korreliert sind (Regression)? Kategorisch Eine steigende Melodie in Aussagen von jugendlichen im Vergleich zu aelteren Personen verwendet wird? Ein [r] statt [R] in Bayern im Vergleich zu Schleswig-Holstein verwendet wird? Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass:

In einer kategorischen Analyse werden meistens 2 Proportionen miteinander verglichen. Die tests dafür: c2 und Logistic Regression. zB wir zählen wie oft steigende Melodien in Aussagen bei jugendlichen (35%) und älteren Leuten (11%) vorkommen. Sind diese Proportionen (35%, 11%) signifikant unterschiedlich?

Solche Methoden haben insbesondere in der Soziolinguistik/phonetik eine Anwendung, in der sehr oft auditiv die Proportionen wahrgenommener Allophone miteinander als Funktion von Alter, Dialekt usw. verglichen werden, ohne unbedingt die kontinuierlichen akustischen (oder artikulatorischen) Parameter (Dauer, Formanten usw.) zu analysieren. (In der Soziolinguistik: Logistic Regression = VARBRUL)

Terminologie: Klassen (Gruppen) und Ebenen (levels) Eine Gruppe Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein silbenfinaler /t/ gelöst wird? Gruppe = silbenfinaler /t/ mit 2 Ebenen: gelöst oder nicht gelöst. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein silbenfinaler /t/ gelöst, nicht-gelöst oder lenisiert wird? Gruppe = silbenfinaler /t/ mit 3 Ebenen (gelöst, nicht-gelöst, lenisiert)

Zwei Gruppen Wird ein silbenfinaler /t/ häufiger in Bayern als in Hessen gelöst? Gruppe 1: /t/ mit 2 Ebenen (gelöst, nicht-gelöst) Gruppe 2: Dialekt mit 2 Ebenen (bayerisch, hessisch). Ist die Verteilung der /t/ Realisierungen – ob sie gelöst, lenisiert oder nicht-gelöst werden – dieselbe in Bayern, Hessen, und Sachsen? Zwei Gruppen ( /t/ und Dialekt) jeweils mit 3 Ebenen.

Drei Gruppen Unterscheidet sich die Häufigkeit der /l/-Vokalisierungen zwischen Männern und Frauen in Bayern und Hessen? Gruppe 1: /l/ mit 2 Ebenen (vokalisiert oder nicht) Gruppe 2: Geschlecht mit 2 Ebenen: (M, F) Gruppe 3: Dialekt mit 2 Ebenen (Bayern, Hessen).

Die statistische Analyse von Proportionen Eine oder zwei Gruppen Analyse von Proportionen c2-test = prop.test() chisq.test() (aber prop.test() kann nicht eingesetzt werden, wenn beide Gruppen mehr als 2 Ebenen haben) Mehr als 2 Gruppen** Logistic Regression (kann auch bei 2 Gruppen eingesetzt werden**, und gibt fast das gleiche Ergebnis wie ein c2-test). glm() = generalized linear model (der Name soll an lm() erinnern – da sie miteinander viele Ähnlichkeiten haben) **eine Gruppe muss 2 Ebenen haben

1. Eine Gruppe, zwei Ebenen (Gruppe = Münze, Ebenen = Kopf, Zahl) Ich werfe eine Münze 20 Mal und bekomme 5 Mal Kopf. Ist die Münze gezinkt? d.h. weicht die Proportion 5/20 = ¼ signifikant von 10/20 = ½ ab? prop.test(5, 20, .5) data: 5 out of 20, null probability 0.5 X-squared = 4.05, df = 1, p-value = 0.04417 alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5 95 percent confidence interval: 0.0959326 0.4941155 sample estimates: p 0.25 Die Münze ist gezinkt: c2(1) = 4.05, p < 0.05

2 Gruppen jeweils 2 Ebenen Die Anzahl der glottalisierten silbenfinalen /t/s ist in einem englischen Dialekt getrennt fuer Männer und Frauen gemessen worden. Silbenfinaler /t/ n 200 190 Genauer: sind 110/200 und 82/190 voneinander signifikant unterschiedlich? Geschlecht glottalisiert nicht-glottalisiert Männer 110 90 Frauen 82 108 Kommt die Glottalisierung häufiger bei Männern vor? Die Frage in eine Proportion umsetzen: unterscheiden sich die Proportionen der Glottalisierungen zwischen M und F?

Silbenfinaler /t/ Geschlecht glottalisiert nicht-glottalisiert n Männer 110 90 200 Frauen 82 108 190 prop.test(c(110, 82), c(200, 190)) data: c(110, 82) out of c(200, 190) X-squared = 5.0034, df = 1, p-value = 0.0253 alternative hypothesis: two.sided 95 percent confidence interval: 0.01473134 0.22211077 sample estimates: prop 1 prop 2 0.5500000 0.4315789 Männer und Frauen dieses Dialekts unterscheiden sich in der Häufigkeit der silbenfinalen /t/-Glottalisierung c2(1) = 5.00, p < 0.05.

2 Gruppen, eine Gruppe mit 2 Ebenen, die andere mit mehr als 2 Ebenen Die Verteilung der /l/ Vokalisierungen in einem Dialekt in 4 Altersgruppen ist wie folgt: lvoc Alter /l/ A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 58 55 62 38 nicht-vok 34 49 84 59 Hat Alter einen signifikanten Einfluss auf /l/-Vokalisiertung?

und vergleichen dann miteinander 58/92, 55/104, 62/146, 38/97 lvoc A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 58 55 62 38 nicht-vok 34 49 84 59 In Proportionen umwandeln – und dazu brauchen wir die jeweiligen Gruppensummen apply(lvoc, 2, sum) prop.test(c(58, 55, 62, 38), c(92, 104, 146, 97)) A20min A20bis30 A31bis40 A41plus 92 104 146 97 und vergleichen dann miteinander 58/92, 55/104, 62/146, 38/97

Das gleiche mit chisq.test() prop.test(c(58, 55, 62, 38), c(92, 104, 146, 97)) data: c(58, 55, 62, 38) out of c(92, 104, 146, 97) X-squared = 14.0959, df = 3, p-value = 0.002778 alternative hypothesis: two.sided sample estimates: prop 1 prop 2 prop 3 prop 4 0.6304348 0.5288462 0.4246575 0.3917526 Alter hat einen signifikanten Einfluss auf /l/-Vokalisierung, c2(3) = 14.10, p < 0.01 Das gleiche mit chisq.test() chisq.test(lvoc) Pearson's Chi-squared test data: lvoc X-squared = 14.0959, df = 3, p-value = 0.002778

Wie wird c2 berechnet? c2 ist die Abweichung der tatsächlich vorkommenden (Observed) von den zu erwartenden (Expected) Verteilungen, unter der Annahme (Null Hypothese) dass die Verteilungen pro Gruppe gleich sind. A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 58 55 62 38 nicht-vok 34 49 84 59 Null Hypothese: die Proportion der vokalisierten /l/s ist in allen 4 Gruppen gleich. [1] 0.4851936 Proportion der vok /l/s unabhängig vom Alter = sum(lvoc[1,])/sum(lvoc) Anzahl der vokalisierten /l/s dividiert durch Anzahl aller /l/s. d.h. unter der Null-Hypothese müssten 0.4851936 der /l/s in jeder Altersgruppe vokalisiert sein. zB für A20min: 0.4851936 * sum(lvoc[,1]) [1] 44.63781

Observed 0.4851936 * sum(lvoc[,1]) Expected A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 58 55 62 38 nicht-vok 34 49 84 59 0.4851936 * sum(lvoc[,1]) Expected A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 44.63781 nicht-vok 47.36219 (1- 0.4851936) * sum(lvoc[,1]) oder sum(lvoc[,1])- 44.63781 r = chisq.test(lvoc) r$expected A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 44.63781 50.46014 70.83827 47.06378 nicht-vok 47.36219 53.53986 75.16173 49.93622

Wie wird c2 berechnet? Wir wollen die Größe der Abweichung, d, zwischen Observed und Expected prüfen (die Null Hypothese: d = 0). O = lvoc E = r$expected d = (O - E)^2/E d <20 30s 40s >41 mitvok 3.999928 0.4084483 1.102723 1.745549 ohnevok 3.769844 0.3849535 1.039292 1.645141 Je größer die Abweichung von 0 (Null) umso mehr trägt eine Zelle zum signifikanten Ergebnis bei. c2 ist dann einfach die Summe der Abweichungen: sum(d) 14.0959

c2-Test für einen Trend pfad = "das Verzeichnis der gespeicherten Datei lost.txt" lost = as.matrix(read.table(paste(pfad, "lost.txt", sep="/"))) In der Standardaussprache von England, RP, wurde von einer vornehmeren Schichte der Gesellschaft vor 50 Jahren 'lost' mit einem hohen Vokal gesprochenen (auch 'often'). Hier ist die Häufigkeit der Verwendung von /lo:st/ (Vokal = high) oder /lOst/ (Vokal = low) in Sprechern, die in 6 verschiedenen Jahren aufgenommen wurden (hypothetische Daten). high low 1950 30 5 1960 18 21 1971 15 26 1980 13 20 1993 4 32 2005 2 34 Gibt es einen Trend? d.h. nimmt die Proportion der /lOst/ Erzeugungen zu? In 1950 produzierten 30 Sprecher /lo:st/ und 5 /lOst/.

Abbildung Wir standardisieren die Jahre, sodass 0 = 1950. jahr = as.numeric(rownames(lost)) jahr = jahr - 1950 # Proportion von /lo:st/ berechnen p = lost[,1]/apply(lost, 1, sum) plot(jahr, p, type="b") Proportionen von /lo:st/ über 55 Jahre 10 20 30 40 50 0.2 0.4 0.6 0.8 jahr Proportion Test: prop.trend.test(x, n, score) x: die Anzahl von /lo:st/ n: Gesamtanzahl pro Jahr score: die X-Achsen Werte, für die wir einen linearen Trend berechnen wollen.

# Spalte 1 hat die Anzahl von /lo:st/ x = lost[,1] # Summe lo:st + lOst getrennt pro Jahr n = apply(lost, 1, sum) prop.trend.test(lost[,1], n, jahr) data: lost[, 1] out of n , using scores: 0 10 21 30 43 55 X-squared = 54.506, df = 1, p-value = 1.550e-13 Die Proportion von /lo:st/ nimmt in späteren Jahren signifikant ab (c2(1) = 54.5, p < 0.001)

1. Logistic Regression: allgemeine Einführung Literatur Baayen, R.H. Analyzing Linguistic Data: A practical introduction to Statistics. S. 213-234 D. Cook, P. Dixon, W. M. Duckworth, M.S. Kaiser, K. Koehler, W. Q. Meeker and W. R. Stephenson. Binary Response and Logistic Regression Analysis. http://www.faculty.sbc.edu/bkirk/Biostatistics/course%20documents%20for%202006/Logistic%20Regression%20Analysis.doc Dalgaard, P. (2002) Introductory Statistics with R. Insbesondere Kap. 11 Johnson, Keith (in press). Quantitative Methods in Linguistics. Blackwell. Kapitel 5. Verzani, J. (2005). Using R for Introductory Statistics (Ebook ueber die LMU UB). Kapitel 12

1. Logistic Regression: allgemeine Einführung Mit logistic Regression wird eine Regressionslinie an Proportionen angepasst werden. Aus verschiedenen Gründen kann jedoch die lineare (least-squares) Regression nicht auf Proportionen angewandt werden. Vor allem liegen Proportionen zwischen 0 und 1 während lineare Regression keine solchen Grenzen kennt (und daher könnte ein lineares Regressionsmodell Proportionen unter 0 oder über 1 vorhersagen). Außerdem wird in der linearen Regression eine konstante Varianz angenommen; jedoch kann beweisen werden, dass je höher der Proportionsdurchschnitt, umso größer die Varianz.

1. Logistic Regression: allgemeine Einführung Diese (und andere) Probleme können überwunden werden: 1. wenn log-odds statt Proportionen modelliert werden y = mx + b logodds(y) = mx + b Least-squares Regression Logistic Regression 2. Wenn anstatt die Regressionslinie durch den kleinsten Abstand der Linie zu den Werten (=least squares regression) zu berechnen, die Methode der 'maximum likelihood' eingesetzt wird. Es wird nicht angenommen, dass die Werte Stichproben aus einer Normalverteilung sind. Ein Vorteil von logistic Regression:

Log-odds p: Proportion 'Erfolg'. p lo:st lOst n 32 8 40 0.8 (prop. lo:st) (prop. lOst) p q=1-p Odds = p/q Log-Odds = log(p/q) 4 bedeutet 4:1 (wie im Pferderennen). Die Wahrscheinlichkeit vom Erfolg (p) ist 4 Mal so groß wie Scheitern (q) 0.8 0.2 log(4) = 1.39 0.5 1

Log-odds Log-odds haben Werte zwischen ±∞ Log-odds also log (p/q) als Funktion von p

2. Anwendung der logistic Regression in R: glm() Das Ziel: nach der Anwendung von logistic Regression geben wir einen beliebigen Jahrgang ein, und das Modell soll uns die Proportion von /lo:st/ vorhersagen zB Eingabe 1962, Proportion (lo:st) = ?. Jahr ist daher in diesem Fall die unabhängige Variable, Proportion von /lo:st/ die abhängige Variable. In logistic Regression ist die abhängige Variable immer ein kategorialer Wert von 2 Möglichkeiten: ja oder nein, rot oder grün, 0 oder 1, weiblich oder männlich, wach oder eingeschlafen, /lo:st/ oder /lOst/, Erfolg oder Scheitern, usw.

Ergebnis: ein Log-Odd pro Jahr unabhängige Variable (der Jahrgang) g = glm(lost ~ jahr, binomial) wird modelliert durch Abhängige Variable Eine 2-spaltige Matrix: Anzahl von 'ja' und 'nein' (hier /lo:st/ und /lOst/) lost high low 1950 30 5 1960 18 21 1971 15 26 1980 13 20 1993 4 32 2005 2 34 bedeutet: logistic Regression ('binomial' weil wie in der binomialen Verteilung wir mit 2 Werten (ja/nein, Erfolg/Scheitern zu tun haben).

3. Abbildung der Regressionslinie Da die Ausgabe der Regression in log-odds ist, müssen wir die Proportionen ebenfalls umwandeln, wenn wir die Regressionslinie sehen wollen. Eine Abbildung der Daten in diesem Raum: # Proportion von /lo:st/ berechnen p = lost[,1]/apply(lost, 1, sum) # log-odds lodd = log(p/(1-p)) plot(jahr, lodd, type="b") # Regressionslinie ueberlagern abline(g, col=2) Die vorhergesagten Werte überlagern text(jahr, predict(g), "x", col=3)

Abbildung der Regression Wir können durch die Transformation (2) die Regressionslinie auch in einem Raum von Jahr x Proportionen abbilden. Von Proportionen in log-odds L = log(p/(1-p)) log(0.8/0.2) (1) [1] 1.386294 Von log-odds zurück in Proportionen (2) p = exp(L)/(1+exp(L)) exp(1.386294)/(1+ exp(1.386294)) [1] 0.8

Abbildung der Regressionslinie Die Regressionslinie in log-odds logodds(y) = mx + k Die entsprechende Regression in Proportionen coef(g) (Intercept) jahr 1.10432397 -0.07026313 k = coef(g)[1] m = coef(g)[2] plot(jahr,p) p = lost[,1]/apply(lost, 1, sum) curve(exp(m*x + k)/(1+ exp(m*x+k)), xlim=c(0, 60), add=T, col=2)

Abbildung der Regression und die vorhergesagten Werte liegen wieder auf der Linie: vorher = predict(g) text(jahr, exp(vorher)/(1+exp(vorher)), "x", col=3)

4. Signifikanz-Test Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Proportion von /lo:st/ durch den Jahrgang vorhergesagt werden kann? Lineare Regression: R2 oder adjusted R2 und ein F-test Logistic Regression: G2 und ein c2-test. G2 = Null deviance – residual deviance wenn dieser Wert 0 wäre, dann wären alle Proportionen in allen Jahren gleich (und die Regressionslinie wäre horizontal) je höher dieser Wert, umso unwahrscheinlicher ist es, dass die Werte überhaupt durch die Regression modelliert werden können. Für ein signifikantes Ergebnis wollen wir daher, dass Null deviance hoch und Residual deviance klein ist.

G2 = Null deviance - residual deviance summary(g) Null deviance: 69.3634 on 5 degrees of freedom Residual deviance: 8.2422 on 4 degrees of freedom … 69.3634 - 8.2422 [1] 61.1212 Der Test mit anova() ist ob G2 signifikant von 0 abweicht: anova(g, test="Chisq") Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL 5 69.363 jahr 1 61.121 4 8.242 5.367e-15 Die Proportionen folgen einem Trend (c2(1)=61.2, p < 0.001)

5. Zwei unabhängige Variablen. Hier sind genau dieselben Daten aber zusätzlich nach männlich-weiblich aufgeteilt. female lost 1950 1960 1971 1980 1993 2005 n n 16 9 8 8 4 1 y n 14 9 7 5 0 1 n y 0 6 10 7 10 15 y y 5 15 16 13 22 19 In 1971 waren 26 Tokens [lost] und 15 [lo:st] lost high low 1950 30 5 1960 18 21 1971 15 26 1980 13 20 1993 4 32 2005 2 34 von diesen 26 waren 10 von Männern und 16 von Frauen erzeugt. 8M, 7F (a) Gibt es einen Trend? Also weniger [lo:st] in späteren Jahren? (b) Ist die Proportion [lost]/[lo:st] in M und F unterschiedlich verteilt?

Dies ist ein Problem der mehrfachen Logistic Regression: female lost 1950 1960 1971 1980 1993 2005 n n 16 9 8 8 4 1 y n 14 9 7 5 0 1 n y 0 6 10 7 10 15 y y 5 15 16 13 22 19 Dies ist ein Problem der mehrfachen Logistic Regression: (also in diesem Fall eine Linie im 3D-Raum) logodds (lo:st) = b0 + b1year + b2Geschlecht logodds(lo:st) (b0 ist das Intercept, b1 und b2 die Neigungen) Geschlecht Und eine gerade Linie in einem 3D-Raum Year

} } Daten-Vorbereitung pfad = "das Verzeichnis wo ich lost2.txt gespeichert habe" lost2 = as.matrix(read.table(paste(pfad, "lost2.txt", sep="/"))) high low 0.0 16 0 10.0 9 6 21.0 8 10 30.0 8 7 43.0 4 10 55.0 1 15 0.1 14 5 10.1 9 15 21.1 7 16 30.1 5 13 43.1 0 22 55.1 1 19 } 1950 1960 1971 1980 1993 2005 high = Spalte 1 = /lo:st/ M low = Spalte 2 = /lOst/ } 1950 1960 1971 1980 1993 2005 J = c(jahr, jahr) G = c(rep("m",6), rep("f", 6)) J G [1] 0 10 21 30 43 55 0 10 21 30 43 55 [1] m m m m m m f f f f f f W

Zuerst eine Abbildung… p = lost2[,1]/apply(lost2, 1, sum) Nimmt die Proportion von /lo:st/ in späteren Jahren ab? (Die Unterschiede zwischen m und f ignorieren). Ja Nein Vielleicht Unterscheiden sich m und f in der Proportion von /lo:st/? (Die Unterschiede in den Jahrgängen ignorieren). interaction.plot(J, G, p) 0.0 0.4 0.8 J mean of p 10 21 30 43 55 G m f

mehrg = glm(lost2 ~ J + G, binomial) Modell berechnen… mehrg = glm(lost2 ~ J + G, binomial) g2 = glm(lost2 ~ J, binomial) anova(g2, test="Chisq") Analysis of Deviance Table Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL 11 89.557 year 1 61.121 10 28.436 5.367e-15 Wenn wir übrigens G weglassen, dann müssten wir trotz der anderen Aufteilung der Daten das gleiche Ergebnis wir vorhin bekommen:

mehrg = glm(lost2 ~ J + G, binomial) mehrg Coefficients: (Intercept) J Gm 0.67472 -0.07524 1.20282 Degrees of Freedom: 11 Total (i.e. Null); 9 Residual Null Deviance: 89.56 Residual Deviance: 15.61 AIC: 51.51 logodds(lo:st) = 0.67472 - 0.07524J+ 1.20282G anova(mehrg, test="Chisq") Df Deviance Resid.Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL 11 89.557 J 1 61.121 10 28.436 5.367e-15 G 1 12.822 9 15.613 3.425e-04 M und F unterscheiden sich in der Proportion von lo:st/lOst, c2(1) = 12.82, p < 0.001 Die Proportion von 'lo:st' nimmt in späteren Jahren ab, c2(1) = 61.12, p < 0.001.

6. Die Interaktion zwischen 2 Variablen Mit 2 oder mehr Variablen soll auch geprüft werden, ob sie miteinander interagieren. Eine Interaktion zwischen den unabhängigen Variablen – in diesem Fall Geschlecht und Jahrgang – liegt vor, wenn sie eine unterschiedliche Wirkung auf die abhängige Variable ausüben wie in 1 und 2, aber nicht in 3 und 4 1950 2000 prop(lo:st) 1 2 3 4 m f

Die Interaktion zwischen 2 Variablen Wenn eine Interaktion vorliegt, dann können signifikante Ergebnisse in einer der unabhängigen Variablen nicht uneingeschränkt akzeptiert werden. zB wenn eine Interaktion vorkommt, gibt es vielleicht eine Wirkung von Jahrgang auf die Proportion von /lo:st/ nur in Männern aber nicht in Frauen usw. dies scheint aber hier nicht der Fall zu sein.

Die Interaktion zwischen 2 Variablen Die Interaktion zwischen 2 unabhängigen Variablen, A und B, kann in R mit A:B geprüft werden. Daher in diesem Fall g = glm(lost2 ~ J + G + J:G, binomial) Eine Abkürzung dafür (und mit genau demselben Ergebnis) g = glm(lost2 ~ J * G, binomial) anova(g, test="Chisq") Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL 11 89.557 J 1 61.121 10 28.436 5.367e-15 G 1 12.822 9 15.613 3.425e-04 J:G 1 0.017 8 15.596 0.896 d.h. die Interaktion ist nicht signifikant und J:G kann aus dem Regressionsmodell weggelassen werden.

Dies wird auch durch stepAIC() bestätigt: library(MASS) stepAIC(g) AIC wird kleiner wenn wir J:G weglassen Start: AIC= 53.49 lost2 ~ J * G Df Deviance AIC - J:G 1 15.613 51.506 <none> 15.596 53.489 Df Deviance AIC <none> 15.613 51.506 - G 1 28.436 62.328 - J 1 80.018 113.910 Wir bleiben also bei Call: glm(formula = lost2 ~ J + G, family = binomial) Residual Deviance: 15.61 AIC: 51.51

7. Logistic Regression und zwei Ebenen Aus dem vorigen Beispiel wird auch klar, dass ähnlich wie c2 Logistic Regression angewandt werden kann, auch wenn die Gruppe nur aus 2 Ebenen besteht. Gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen M und F? gmf = glm(lost2 ~ G, "binomial") anova(gmf, test="Chisq") Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL 11 89.557 G 1 9.539 10 80.018 0.002 M und F unterscheiden sich in der Proportion von lo:st/lOst (c2(1) = 9.5, p < 0.002).

Wir bekommen dasselbe Ergebnis wenn Logistic Regression auf die entsprechende Tabelle angewandt wird: m = apply(lost2[1:6,], 2, sum) f = apply(lost2[7:12,], 2, sum) mf = rbind(m, f) rownames(mf) = c(0, 1) colnames(mf) = c("high", "low") mf lost2 high low 0.0 16 0 10.0 9 6 21.0 8 10 30.0 8 7 43.0 4 10 55.0 1 15 0.1 14 5 10.1 9 15 21.1 7 16 30.1 5 13 43.1 0 22 55.1 1 19 high low 0 46 48 1 36 90 = (kodiert nur nach M und F) l.mf = c(0,1) gmf2 = glm(mf ~ l.mf, "binomial") anova(gmf2, test="Chisq")

und man bekommt dann fast das gleiche Ergebnis mit einem c2-Test, der direkt auf die Tabelle angewandt wird: chisq.test(mf) Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: mf X-squared = 8.6985, df = 1, p-value = 0.003185 Ein c2-Test kann jedoch nicht verwendet werden, bei einer Gruppenanzahl von > 2 …

3 Gruppen jeweils 2 Ebenen lost3 = as.matrix(read.table(paste(pfad, "alter.txt", sep="/"), header=T)) high low alt.0 43 35 alt.1 30 15 jung.0 3 13 jung.1 6 75 lost3 Hier sind dieselben Daten aufgeteilt in 2 Altersgruppen sowie M/F Gruppe 1 = Vokal = high/low Gruppe 2 = Geschl = M/F (=0/1) Gruppe 3 = Alter = alt/jung Haben (a) Alter und (b) Geschlecht einen Einfluss auf die Proportion von /lo:st/?

Zuerst eine Abbildung high low alt.0 43 35 alt.1 30 15 jung.0 3 13 jung.1 6 75 # Alter kodieren A = c(0, 0, 1, 1) # Geschlecht kodieren G = c(0, 1, 0, 1) prop = lost3[,1]/apply(lost3, 1, sum) interaction.plot(A, G, prop)

Signifikanter Einfluss auf lo:st/lOst? 0.6 1 0.5 0.4 mean of prop 0.3 0.2 0.1 A 1 Signifikanter Einfluss auf lo:st/lOst? ja nein vielleicht im Alter? im Geschlecht? ja nein vielleicht Interaktion zwischen A und G? ja nein vielleicht

g = glm(lost3 ~ A * G, binomial) anova(g, test="Chisq") Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL 3 67.758 A 1 64.452 2 3.306 9.893e-16 G 1 0.398 1 2.908 0.528 A:G 1 2.908 0 -4.441e-16 0.088 Es gab einen signifikanten Einfluss vom Alter (c2(1)=64.2, p < 0.001) aber nicht vom Geschlecht auf die Proportion von /lo:st/. Die Interaktion zwichen Alter und Geschlecht war nicht signifikant (p > 0.05).