Clustermodell Monte-Carlo-Simulationen zum des Penrose-Pentagon-Tilings

Gliederung Penrose-Pentagon-Tiling Monte-Carlo-Algorithmus Clusterdichte Clusterüberlapps Entropic Sampling

Penrose-Pentagon-Tiling

Penrose-Pentagon-Tiling Rhombus Schiff Stern Cluster Pentagon

Cluster Zusammenhang mit dem Gummelt-Dekagon Tile-Cluster

Flips flipbare Vertexkonfigurationen Einzelflip

Monte-Carlo-Algorithmus

Metropolis-Algorithmus I System im stationären Gleichgewicht detailliertes Gleichgewicht Ex E Ey x y DE w(x ® y) w(y ® x)

Metropolis-Algorithmus II Besetzungswahrscheinlichkeit im kanonischen Ensemble (Boltzmann-Statistik) Sprungwahrscheinlichkeit (Sprungrate) für einen Prozess mit Energieaufwand DE: Mittelwertberechnung:

Clusterdichte

Clusterenergie Energie pro Cluster = –1 maximale Clusterzahl  energetischer Grundzustand Abkühlen Die Cluster-zahl skaliert mit der Systemgröße. Die Cluster-dichte ist eine universelle Größe.

• Clusterzentren Supertile Random Tiling Bei maximaler Cluster-dichte bilden die Cluster-zentren ein vollständiges Supertiling. Alle Supertilings haben dieselbe Energie (dieselbe Clusterzahl).  Es handelt sich um Random Tilings. • Clusterzentren

Spezifische Wärme I spezifische Wärme:

Spezifische Wärme II spezifische Wärme:

Spezifische Wärme III

Clusterüberlapps

Dipolmodell Clusterorientierung Es werden nur solche Flips ausgeführt, die die Clusterzahl nicht ändern (Flips im Supertiling). Dabei müssen allerdings die Dipole konsistent mitgeändert werden.

Clusterüberlapps B-Überlapp: orientiert Random-Tiling-Überlapp A(1,6) A-Überlapps: nicht orientiert

A-Überlapps beim Gummelt-Dekagon Überlapps, die die Matching Rules erfüllen Random-Tiling-Überlapp A(1,6)

Energetische Überlappregel verbotener Überlapp A(1,6) mit der Energie +1 minimale A(1,6)-Zahl  energetischer Grundzustand

perfekter Approximant Minimale Defektzahl Die minimale Zahl der A(1,6)-Defekte hängt nicht mit von der Systemgröße ab, sondern von der Geometrie des Appro-ximanten. perfekter Approximant ? minimale Defektzahl tn = 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, ...

Energierenormierung Energierenormierung: minimale Defektenergie als Energienullpunkt Die renormierte Defektenergie skaliert mit der Systemgröße. Energierenormierung: minimale Defektenergie als Energienullpunkt

Spezifische Wärme I spezifische Wärme:

Spezifische Wärme II spezifische Wärme:

Spezifische Wärme III

Entropic Sampling

Entropic Sampling I Besetzungswahrscheinlichkeit p für einen einzelnen Zustand x mit Energie Ex: b Ex F(Ex) Entropie S und Zahl W der Zustände mit Energie Ex = E: Besetzungswahrscheinlichkeit P für die Energie E (alle Zu-stände mit Ex = E): b E F(E)

Entropic Sampling II Besetzungswahrscheinlichkeit P für die Energie E (alle Zu-stände mit Ex = E): P(E) = exp{S(E) – F(E)} S(Ex) F(E) = S(E) P(E) = const Sampling mit Übergangs-ratenverhältnis

Entropic Sampling III (iterative) Bestimmung der Entropie-Funktion S(E) aus dem Energie-Histogramm W(E): Berechnung der Zustandssumme Z(b) bei verschiedenen Werten für b: Ist die Entropie-Funktion und damit die Zustandssumme bekannt, können alle anderen thermodynamischen Größen des Systems bestimmt werden (z. B. die spezifische Wärme).

Zusammenfassung Clusterdichte-Maximum  Supertile Random Tiling A(1,6)-Überlapp-Minimum  Ordnung des Approximanten