Prädikatenlogik First-Order Logic

Überblick Warum Prädikatenlogik (PL) ? Syntax und Semantik von PL Anwendung Wumpus-Welt in PL Wissensrepräsentation in PL KI 8-Prädikatenlogik

Vor- und Nachteile der Aussagenlogik  Aussagenlogik ist deklarativ  Aussagenlogik erlaubt unvollständige / disjunkte / negierte Information (im Gegensatz zu den meisten Databasen) Aussagenlogik ist kompositional: Bedeutung von B1,1  P1,2 wird abgeleitet von der Bedeutung von B1,1 und P1,2  Bedeutung ist in Aussagenlogik kontext-unabhängig (im Gegensatz zu natürlicher Sprache)  Aussagenlogik hat sehr begrenzte Möglichkeiten, Wissen zu repräsentieren Z.B. kann nicht ausgedrückt werden „Falltüren verursachen Luftzug in angrenzenden Feldern“ (außer durch explizites Aufstellen der Sätze für jedes Quadrat) KI 8-Prädikatenlogik

Prädikatenlogik Während Aussagenlogik voraussetzt, dass die Welt aus Fakten besteht, basiert Prädikatenlogik (wie natürliche Sprache) darauf, dass die Welt folgendes enthält: Objekte: Leute, Häuser, Zahlen, Farben, Baseballspiele, … Relationen: Rot, rund, prim, Bruder von, größer als, Teil von, steht zwischen, … Funktionen: Vater von, Freund von, einer mehr als, plus, … KI 8-Prädikatenlogik

Syntax von FOL: Grundelemente Konstanten KingJohn, 2, Stuttgart, ... Prädikate Bruder, >, ... Funktionen Sqrt, LinkesBeinVon, ... Variable x, y, a, b,... Verknüpfungen , , , ,  Gleichheit = Quantoren ,  KI 8-Prädikatenlogik

Syntax Satz  AtomarerSatz | (Satz Verknüpfung Satz) | Quantor Variable, … Satz |  Satz AtomarerSatz  Prädikat(Term, …) | Term = Term Term  Funktion(Term, …) | Konstante | Variable Verknüpfung   |  |  |  |  Quantor   |  Konstante  A | Wumpus | John | … Variable  a | x | s | … Prädikat  Vor | HatFarbe | EsRegnet | … Funktion  Mutter | LinkesBein | …

Atomare Sätze AtomarerSatz = Prädikat (Term1,...,Termn) oder Term1 = Term2 Term = Funktion (Term1,...,Termn) oder Konstante oder Variable Beispiele: Bruder(KingJohn, RichardTheLionheart) > (Länge(LinkesBeinVon(Richard)), Länge(LinkesBeinVon(KingJohn))) KI 8-Prädikatenlogik

Komplexe Sätze Komplexe Sätze entstehen aus atomaren durch Verknüpfungen: S, S1  S2, S1  S2, S1  S2, S1  S2, Geschwister(KingJohn,Richard)  Geschwister(Richard,KingJohn) >(1,2)  ≤ (1,2) >(1,2)   >(1,2) KI 8-Prädikatenlogik

Wahrheit Sätze sind wahr in Bezug auf ein Modell und eine Interpretation. Modelle enthalten Objekte (Domänenelemente) und Relationen zwischen diesen. Interpretation spezifiziert den Bezug für Konstantensymbole → Objekte Prädikatssymbole → Relationen Funktionssymbole → Funktionale Relationen Ein atomarer Satz Prädikat(Term1,...,Termn) ist wahr wenn die Objekte, auf die sich Term1,...,Termn beziehen, in der Relation stehen, auf die sich Prädikat bezieht. KI 8-Prädikatenlogik

Beispiel KI 8-Prädikatenlogik

Logik - Allgemeines Ontologische Bindungen: Voraussetzungen über die Realität Aussagenlogik: Es gibt nur Fakten. Prädikatenlogik: Es gibt Objekte, Beziehungen, Funktionen. Epistemologische Bindungen: Mögliche „Wissenszustände“ des Agenten Aussagen- und Prädikatenlogik: Wahr, falsch, unbekannt. Wahrscheinlichkeitstheorie: Glaubensgrad zwischen 0 und 1. KI 8-Prädikatenlogik

Logik - Allgemeines Sprache Ontologische Bindung Epistemologische Bindung Aussagenlogik Fakten1 Wahr / falsch / unbekannt Prädikatenlogik Fakten1, Objekte, Relationen Temporale Logik Fakten1, Objekte, Relationen, Zeiten Wahrscheinlichkeits-theorie Glaubensgrad 0 …1 Fuzzy Logik Fakten mit Wahrheitsgrad 0 … 1 Intervallwert 1… und die Fakten sind in der Welt wahr oder falsch. KI 8-Prädikatenlogik

Logik - Allgemeines Prädikatenlogik: Logik erster Stufe Logik höherer Stufe: Relationen und Funktionen sind selbst Objekte KI 8-Prädikatenlogik

Allquantor <Variable> <Satz> Jeder in Stuttgart ist schlau:  x In(x, Stuttgart)  Schlau(x)  x P ist wahr für ein Modell m, wenn der logische Ausdruck P wahr ist für jedes Objekt x des Modells m. Vereinfacht gesagt:  x P ist äquivalent zur Konjunktion der Instantiatiierungen von P: In(KingJohn, Stuttgart)  Schlau(KingJohn)  In(Richard, Stuttgart)  Schlau(Richard)  In(Stuttgart, Stuttgart)  Schlau(Stuttgart)  ... KI 8-Prädikatenlogik

Allquantor Achtung: Meist ist  die wichtigste Verknüpfung mit . Häufiger Fehler: Gebrauch von  als Verknüpfung mit :  x In(x,Stuttgart)  Schlau(x) heißt: „Jeder ist in Stuttgart und jeder ist schlau”. KI 8-Prädikatenlogik

Existenzquantor  <Variable> <Satz> Irgendjemand in Stuttgart ist schlau:  x In(x,Stuttgart)  Schlau(x)  x P ist wahr in einem Modell m, wenn der logische Ausdruck P wahr ist für jedes Objekt x des Modells m. Vereinfacht gesagt:  x P ist äquivalent zur Disjunktion der Instantiatiierungen von P: In(KingJohn,Stuttgart)  Schlau(KingJohn)  In(Richard,Stuttgart)  Schlau(Richard)  In(Stuttgart,Stuttgart)  Schlau(Stuttgart)  ... KI 8-Prädikatenlogik

x In(x,Stuttgart)  Schlau(x) Existenzquantor Meist ist  die wichtigste Verknüpfung mit  Häufiger Fehler: Gebrauch von  als Verknüpfung mit  : x In(x,Stuttgart)  Schlau(x) ist wahr, wenn es irgendjemand gibt, der nicht in Stuttgart ist! KI 8-Prädikatenlogik

Eigenschaften der Quantoren x y ist dasselbe wie y x x y ist dasselbe wie y x x y ist nicht dasselbe wie y x x y Liebt(x,y) „Es existiert ein x, so dass für alle y …“ „Es gibt eine Person, die jeden auf der Welt liebt.” y x Liebt(x,y) „Für jedes y existiert ein x so dass …“ „Jeder auf der Welt wird von mindestens einer Person geliebt”. Dualität der Quantoren: Quantoren können durch den jeweils anderen ausgedrückt werden  x IsstGerne(x,Eis)  x IsstGerne(x,Eis)  x IsstGerne(x,Broccoli)  x IsstGerne(x,Broccoli) KI 8-Prädikatenlogik

Gleichheit Term1 = Term2 ist bei gegebener Interpretation genau dann wahr, wenn Term1 und Term2 sich auf dasselbe Objekt beziehen. Z.B. Definition von Geschwister mittels Elter:  x,y Geschwister(x,y)  [ (x = y)   m,v  (m = v)  Elter(m,x)  Elter(v,x)  Elter(m,y)  Elter(v,y) ] KI 8-Prädikatenlogik

Anwendung der Prädikatenlogik Verwandtschafts-Domäne: Brüder sind Geschwister: x,y Bruder(x,y)  Geschwister(x,y) Mutter ist weiblicher Elternteil: m,k Mutter(k) = m  ( Weiblich(m)  Elter(m,k)) “Geschwister” ist symmetrisch:  x,y Geschwister(x,y)  Geschwister(y,x) KI 8-Prädikatenlogik

Anwendung der Prädikatenlogik Mengen-Domäne: m Menge(m)  (m = { } )  ( x,m2 Menge(m2)  m = {x | m2}) (Menge ist leer oder entsteht durch Hinzufügen eines Elements zu einer Menge)  x,m {x | m} = { } (Leere Menge ist nicht zerlegbar)  x,m x  m  m = {x | m} (Hinzufügen vorh. Elements wirkungslos) x,m x  m  [  y,m2 (m = {y | m2}  (x = y  x  m2))] (Nur Elemente drin, die hinzugefügt wurden)  m1,m2 m1  m2  (x x  m1  x  m2) (Teilmenge) (Gleichheit) (Schnittmenge)  x,m1,m2 x  (m1  m2)  (x  m1  x  m2) (Vereinigung) KI 8-Prädikatenlogik

Knowledge Engineering in PL Aufgabe verstehen! Erforderliches Wissen sammeln. Vokabular von Prädikaten, Funktionen, und Konstanten festlegen. Allgemeines Domänenwissen kodieren. Beschreibung des speziellen Problems kodieren. Anfragen an WB stellen, Antworten prüfen. WB debuggen. KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Ein-bit Volladdierer Summanden Übertrag Summe Übertrag KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Ein-bit Volladdierer Summanden 1 Übertrag Summe 1 Übertrag KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Ein-bit Volladdierer Summanden 1 Übertrag Summe 1 Übertrag KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Ein-bit Volladdierer Summanden 1 Übertrag Summe 1 Übertrag KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Ein-bit Volladdierer Summanden 1 Übertrag Summe 1 Übertrag KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Ein-bit Volladdierer Summanden 1 Übertrag Summe 1 Übertrag KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Ein-bit Volladdierer Summanden 1 Übertrag Summe 1 Übertrag KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Ein-bit Volladdierer Summanden 1 Übertrag Summe 1 Übertrag KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Aufgabe verstehen: Addiert der Schaltkreis richtig? (Verifikation des Schaltkreises) Relevantes Wissen sammeln: Besteht aus Drähten und Gattern Typen der Gatter: AND, OR, XOR, NOT Irrelevant: Größe, Form, Farbe, Kosten der Gatter Vokabular festlegen Alternativen: Typ(X1) = XOR Typ(X1, XOR) XOR(X1) KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Kodiere allgemeines Domänenwissen (Unterscheide: Logisches wahr/falsch vs. Signal 0/1)  p Signal(p) = 1  Signal(p) = 0  p1,p2 Verbunden(p1, p2)  Signal(p1) = Signal(p2)  p1,p2 Verbunden(p1, p2)  Verbunden(p2, p1)  g Typ(g) = NOT  Signal(Ein(1,g)) ≠ Signal(Aus(1,g))  g Typ(g) = OR  ( n Signal(Ein(n,g)) = 1  Signal(Aus(1,g)) = 1)  g Typ(g) = AND  ( n Signal(Ein(n,g)) = 0  Signal(Aus(1,g)) = 0)  g Typ(g) = XOR  (Signal(Ein(1,g)) ≠ Signal(Ein(2,g))  Signal(Aus(1,g)) = 1) KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Kodiere spezifisches Problem Typ(X1) = XOR Typ(X2) = XOR Typ(A1) = AND Typ(A2) = AND Typ(O1) = ODER Verbunden(Aus(1,X1), Ein (1,X2)) Verbunden(Ein(1,C1), Ein(1,X1)) Verbunden(Aus(1,X1), Ein (2,A2)) Verbunden(Ein(1,C1), Ein(1,A1)) Verbunden(Aus(1,A2), Ein (1,O1)) Verbunden(Ein(2,C1), Ein(2,X1)) Verbunden(Aus(1,A1), Ein (2,O1)) Verbunden(Ein(2,C1), Ein(2,A1)) Verbunden(Aus(1,X2), Aus(1,C1)) Verbunden(Ein(3,C1), Ein(2,X2)) Verbunden(Aus(1,O1), Aus(2,C1)) Verbunden(Ein(3,C1), Ein(1,A2)) KI 8-Prädikatenlogik

Domäne der elektronischen Schaltkreise Stelle Anfragen Was sind die erlaubten Wertemengen aller Ein- und Ausgänge des Schaltkreises C1?  e1,e2,e3,a1,a2 Signal(Ein(1,C_1)) = e1  Signal(Ein(2,C1)) = e2  Signal(Ein(3,C1)) = e3  Signal(Aus(1,C1)) = a1  Signal(Aus(2,C1)) = a2 WB debuggen Z.B. 1 ≠ 0 wird leicht vergessen! KI 8-Prädikatenlogik

Wissensbasis für die Wumpus-Welt in PL Perzeption  z,g,t Perzept([Gestank,z,g],t)  Gestank(t)  s,g,t Perzept([s,Zug,g],t)  Zug(t)  s,z,t Perzept([s,z,Glitzern],t)  Bei(Agent,Gold,t) Ortseigenschaften:  x,y,t Bei(Agent,x,y,t)  Gestank(t)  Stinkig(x,y)  x,y,t Bei(Agent,x,y,t)  Zug(t)  Zugig (x,y) Geometrie  x,y,u,v Neben([x,y],[u,v])  [u,v]  {[x+1,y], [x-1,y],[x,y+1],[x,y-1]} s – Gestank, z – Zug, g – Glitzern, t – time, (x,y), (u,v) – Orte. KI 8-Prädikatenlogik

Erschließen versteckter Eigenschaften Quadrate sind zugig nahe einer Falltür: Diagnostische Regel – schließe Ursache aus Wirkung  x,y Zugig(x,y)   u,v Neben(x,y,u,v)  Falltür(u,v) Kausale Regel – schließe Wirkung aus Ursache  u,v Falltür(u,v)  ( x,y Neben(u,v,x,y)  Zugig(x,y)) Definition Prädikat Zugig(.,.):  x,y Zugig(x,y)  [  u,v Neben(x,y,u,v)  Falltür(u,v) ] Beachte: Regeln sind unvollständig, denn sie sagen nichts über weiter entfernte Felder aus. KI 8-Prädikatenlogik

Aktionen Reflex  t Bei(Agent,Gold,t)  BesteAktion(Greifen,t) Reflex mit innerem Zustand  t Bei(Agent,Gold,t)   Hat(Gold,t)  BesteAktion(Greifen,t) Beachte: Hat(Gold,t) kann nicht beobachtet werden! Daher: Veränderungen speichern! KI 8-Prädikatenlogik

Repräsentation von Veränderungen Fakten gelten für bestimmte Situationen, aber nicht immer. Z.B. Hat(Agent,Gold,Jetzt) statt Hat(Agent,Gold) Situationskalkül repräsentiert Veränderungen in PL: Fluents: Prädikate und Funktionen, die sich mit der Situation ändern. Füge zu jedem Fluent-Prädikat ein Situations-Argument hinzu, z.B. Jetzt in Hat(Agent,Gold,Jetzt) Situationen werden durch Funktion Resultat verbunden: Result(a,s) ist die Situation, die aus Situation s durch Aktion a entsteht.

Repräsentation von Veränderungen Zwei komplementäre Möglichkeiten, Effekte von Aktionen zu beschreiben: Effekt-Axiome: Beschreibe Veränderung durch Aktionen  s Bei(Agent,Gold,s)  Hat(Agent,Gold,Resultat(Greifen,s)) Frame-Axiome: Beschreibe, was Aktion unverändert lässt  s Hat(Agent,Pfeil,s)  Hat(Agent,Pfeil,(Resultat(Greifen,s)) KI 8-Prädikatenlogik

Frame-Problem Gegeben: A Aktionen F Fluent-Prädikate E Effekte pro Aktion (maximal), T Aktionen nacheinander Frame-Problem: Beschreibe alles in der Welt, was sich nicht ändert. Repräsentation erfordert O(AF) Axiome Berechnung der Effekte einer Aktionsfolge aus T Schritten erfordert Aufwand O(FT). Repräsentationelles Frame-Problem ( nächste Folie): Eigentlich wären nur O(AE) Axiome nötig, wobei meist E<<F (denn eine Aktion beeinflusst meist nur wenige Prädikate). Inferentielles Frame-Problem ( später): Reduziere Berechnung der Effekte einer Aktionsfolge auf O(ET). KI 8-Prädikatenlogik

Nachfolgezustand-Axiome Nachfolgezustand-Axiome lösen repräsentationelles Frame-Problem. Idee: Stelle Axiome auf für die Fluent-Prädikate statt Axiome für die Aktionen. Nachfolgezustand-Axiome haben die Form Aktion ist möglich  [ Fluent ist im Nachfolgezustand wahr  Effekt der Aktion hat ihn wahr gemacht  (Er war schon vorher wahr  Er wurde durch die Aktion nicht verändert) ] Damit wird Folgezustand vollständig aus dem aktuellen Zustand abgeleitet. KI 8-Prädikatenlogik

Nachfolgezustand-Axiome: Beispiele a – Aktion, s – Situation, x, y, z – Orte „Agent ist bei y, nachdem er entweder dorthin gegangen ist oder schon dort war und die letzte Aktion ihn nicht bewegt hat“: Möglich(a,s)  [ Bei(Agent,y,Resultat(a,s))  a = Gehe(x,y)  (Bei(Agent,y,s)  a ≠ Gehe(y,z)) ] „Agent hat Gold, nachdem er gegriffen hat oder es bereits hatte und nicht losgelassen hat“:  a,s Hat(Agent,Gold,Resultat(a,s))  (a = Greifen  Bei(Agent,Gold,s)  (Hat(Agent,Gold,s)  a ≠ Loslassen) (Beachte: Greifen immer möglich) KI 8-Prädikatenlogik

Repräsentation von Veränderungen: Probleme Qualifikations-Problem: Beschreibung realer Aktionen erfordert immensen Aufwand: Gold ist glitschig (genaue Beschreibung des Greifvorgangs), Agent stolpert (genaue Beschreibung des Gehens), Wumpusbauch zu dick + Pfeil bricht ab (genaue Beschreibung des Zielens). Ramifikations-Problem: Reale Aktionen haben viele Nebeneffekte, z.B. Gehen macht Geräusch und alarmiert Wumpus, gegen Wand laufen gibt Beule am Agentenkopf, Greifen zerreißt Handschuhe. KI 8-Prädikatenlogik

Interaktion mit WB Ein Agent in der Wumpus-Welt verwendet eine WB in PL. Er nimmt Gestank und Luftzug wahr (aber kein Glitzern) zur Zeit t=4: Tell(WB, Perzept([Stench,Breeze,Nix],4)) Ask (WB,  a BesteAktion(a,4)) D.h. folgt aus der WB eine beste Aktion zur Zeit t=4 ? Antwort: Ja, {a / Schießen} ← Ersetzung Notation: Gegeben sei ein Satz S und eine Ersetzung σ, dann bezeichnet Sσ das Result des Einsetzens von σ in S; z.B. S = Schlauer(x,y) σ = {x / Hillary, y / Bill} Sσ = Schlauer(Hillary,Bill) Ask(WB,S) gibt einige / alle σ zurück, so dass WB╞ σ.

Planen Anfangsbedingung in WB: Bei(Agent,(1,1),S0) Bei(Gold, (1,2),S0) Anfrage: „In welcher Situation s wird Agent Gold haben?“ Ask(WB,  s Hat(Agent,Gold,s)) Antwort: „Gehe vorwärts, greife Gold“ {s / Resultat(Greifen, Resultat(Vorwärts, S0))} Es wurde angenommen, dass S0 die einzige in der WB bekannte Aktion ist und der Agent von S0 aus plant. KI 8-Prädikatenlogik

Planen Repräsentiere Pläne als Aktionsfolgen: [a1, a2, a3, … an] PlanResultat(p,s) ist die Situation, die aus der Ausführung von Plan p in Situation s resultiert. Anfrage: Ask(WB,  p Hat(Agent, Gold, PlanResultat(p,S0)) Antwort: {p / [Vorwärts,Greifen]} Definition von PlanResultat durch Resultat:  s PlanResultat([], s) = s  a,p,s PlanResultat([a1,a2,…an], s) = PlanResultat([a2,…an], Resultat(a1,s)) Planungssysteme sind spezialisierte Algorithmen, die diesen Typ der Inferenz effizienter ausführen als general-purpose Inferenzmaschinen. KI 8-Prädikatenlogik

Zusammenfassung Prädikatenlogik: Syntax: Konstanten, Funktionen, Prädikate, Gleichheit, Quantoren Objekte und Relationen sind semantische Primitive Erheblich mächtiger als Aussagenlogik: Wumpus-Welt kann repräsentiert werden! Zum Planen sind spezielle Algorithmen erforderlich. KI 8-Prädikatenlogik