Strukturgleichungsmodelle Eine Einführung

Kausalität und Korrelation X1 ist korreliert mit X2. X1 ist Ursache für X2. X2 ist Ursache für X1. X1 und X2 beeinflussen sich gegenseitig. X1 und X2 werden von X3 beeinflußt. X1 , X2 und X3 sind miteinander korreliert. X1 und X2 sind kausal für X3. X4 verursacht die Korrelation zwischen X1 und X2. X1 und X2 sind kausal für X3. X1 ist kausal für X2. X1 ist kausal für X2, X2 ist kausal für X3. .... X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 X3 X2 X1

Ein Strukturgleichungsmodell zurück

Syntax, Terminologie X manifeste Variable (gemessen) X latente Variable (Konstrukt), auch: Fehler Regression („kausale Beziehung“) (mit fixiertem Gewicht) 1 Korrelation (deskriptiv) endogene (abhängige) Variablen: mindestens ein gerichteter Pfeil zeigt auf sie exogene (unabhängige) Variablen: kein gerichteter Pfeil zeigt auf sie. Exogene Variablen sind immer korrelativ verknüpft. Kein Pfeil: r=0.

Messmodelle und Strukturmodell Messmodell: Verknüpfung zwischen latenter Variable und ihren (manifesten) Indikatoren Aptitude Verbal Analytic Quantitative r3 r4 r5 1 Performance in Grad School Knowledge Grades Skills r10 r11 r12 Social Support Family Friends r1 r2 Happiness Smiling 2 Laughing 2 Contentment 2 Satisfaction 2 r13 r14 r15 r16 Strukturmodell: Verknüpfung zwischen latenten Variablen Aptitude Performance in Grad School Happiness Social Support Previous Happiness

Modellparameter Diejenigen Größen, die durch das Modell festgelegt werden sollen: Alle exogenen Variablen (inkl. Fehler, Residuen) (endogene Variablen werden ja „erklärt“...) Alle (nicht fixierten) Pfade: Regressionen (sofern kein fixiertes Gewicht dransteht) Korrelationen (die man einzeichnet, der Rest ist auf 0 fixiert) Happiness

Daten Alle Varianzen von manifesten Variablen (Anzahl p) Alle Kovarianzen zwischen manifesten Variablen (Anzahl p · (p – 1) / 2) Alle Tripelvarianzen (Anzahl p · (p – 1) · (p – 2) / 6) zusammen: p · (p + 1) / 2 Happiness

Identifizierbarkeit Anzahl Daten < Anzahl Modellparameter: unteridentifiziert Modell nicht lösbar. X + Y = 1. Anzahl Daten = Anzahl Modellparameter: exakt identifiziert Modell lösbar, aber nicht prüfbar. X = 1. Anzahl Daten > Anzahl Modellparameter: überidentifiziert Modell lösbar und prüfbar. X = 1  X = 2.

Definitionsgleichungen Aptitude Performance in Grad School Social Support Previous Happiness d2 1 Jede endogene Variable wird per Regression erklärt: PGS = b1·A + b2·SS + b3·PH + d2 Die Korrelation zwischen jedem denkbaren Paar exogener Variablen wird festgelegt: rr6,r16 = R1, rr7,r15 = R1, rr8,r14 = R3, rr9,f13 = R4, rr6,r7 = rr6,r8 = rr6,r9 = ... = 0. r13 r14 r15 r16 r9 r8 r7 r6 Happiness

Strukturgleichungen Definitionsgleichungen für (p) manifeste Variablen auflösen, bis rechts nur noch exogene Variablen stehen. Alle (p · (p+1) / 2) Varianzen und Kovarianzen mit Hilfe der Definitionsgleichungen „erklären“: Z = aX + bY: VZZ = a²VXX + b²VYY + 2abVXY. W = cU + dV: VZW = acVXU + adVXV + bcVYU + bdVYV. zurück

Lineare Abhängigkeiten Manchmal reichen viele Gleichungen nicht, um viele unbekannte Größen zu bestimmen: X + Y = 10. 2X + 2Y = 20. 3X + 3Y = 30. ... Wenn alle fortführenden Pfade einer latenten Variable frei (nicht fixiert) sind, können Gewichte und Varianz gegeneinander ausgespielt werden. Previous Happiness Smiling 1 Laughing 1 Contentment 1 Satisfaction 1 1 Friends r2 1 Happiness zurück

Ein einfaches Meßmodell 1 was fehlt? Messung 1 Messung 2 Messung 3 1 Fehler 1 Fehler 2 Fehler 3 Konstrukt Identifizierbarkeit: exakt. 6 Modellparameter, 6 (Ko-)Varianzen. Definitionsgleichungen: M1 = 1 · K + F1 M2 = a · K + F2 M3 = b · K + F3 cor(F1,F2) = cor(F1,K) = cor(F1,F3) = cor(F2,K) = cor(F2,F3) = cor(F3,K) = 0 Strukturgleichungen VM1M1 = 1²·VKK + VF1F1 + 2·VKF1 VM2M2 = a²·VKK + VF2F2 VM3M3 = b²·VKK + VF3F3 VM1M2 = 1·a·VKK VM1M3 = 1·b·VKK VM2M3 = a·b·VKK

Weitere einfache Meßmodelle Konstrukt 1 Fehler 1 Fehler 2 Messung 1 Messung 2 1 Konstrukt Fehler 1 Fehler 2 Fehler 3 1 Messung 1 Messung 2 Messung 3 Fehler 4 Messung 4 1

Identifikationsgleichungen Konstrukt 1 Fehler 1 Fehler 2 Fehler 3 Messung 1 Messung 2 Messung 3 zurück Strukturgleichungen VM1M2 = 1·a·VKK VM1M3 = 1·b·VKK VM2M3 = a·b·VKK VM1M1 = 1²·VKK + VF1F1 VM2M2 = a²·VKK + VF2F2 VM3M3 = b²·VKK + VF3F3 umformen Identifikationsgleichungen VKK = VM1M2VM1M3 / VM2M3 a = VM2M3 / VM1M3 b = VM2M3 / VM1M2 VF1F1 = VM1M1 – VM1M2VM1M3 / VM2M3 VF2F2 = VM2M2 – VM2M3VM1M2 / VM1M3 VF3F3 = VM3M3 – VM2M3VM1M3 / VM1M2 lokal identifizierbar: Jede einzelne Unbekannte ist identifizierbar.

Identifikationsgleichungen Konstrukt Fehler 1 Fehler 2 Fehler 3 1 Messung 1 Messung 2 Messung 3 Fehler 4 Messung 4 9 Unbekannte, 10 Ko/Varianzen, ... aber nicht lokal identifizierbar: VKK ist nicht identifizierbar.

Identifikationsgleichungen dienen der Diagnostik (Identifizierbarkeit) Die unbekannten Parameter werden anders bestimmt! wäre ja auch zu peinlich, wenn für überbestimmte Variablen mehrere verschiedene Werte herauskommen

Kovarianzmatrizen Stichprobenkovarianzmatrix V21 V22 V31 V32 V33 Stichprobenkovarianzmatrix Vxy = <xy> – <x> <y> =  (x–<x>)·(y–<y>) / n geschätzte Populationskovarianzmatrix („beobachtete Kovarianzmatrix“) Sxy =  (x–<x>)·(y–<y>) / (n–1) = Vxy · n / (n–1) implizierte Kovarianzmatrix xy() ist eine Funktion des Vektors  der unbekannten Parameter S-Gl. / I-Gl.

Kovarianzmatrizen geschätzte Populationskovarianzmatrix Sxy S21 S22 S31 S32 S33 Kovarianzmatrizen 11 21 22 31 32 33 geschätzte Populationskovarianzmatrix Sxy implizierte Kovarianzmatrix xy() Diskrepanzfunktion F[S, ()] F[S,T]  0 F[S,T] = 0  S = T F[S,T] + F[T,U]  F[S,U] Iterativ  verändern, so daß F kleiner wird. Wenn F minimiert wurde, gilt  als geschätzt.

Diskrepanzfunktionen unweighted least squares: FULS[S, ()] = Sum [Sxy – xy()]² skaliert mit Wertebereich der manifesten Variablen S-Gl. / I-Gl. generalized least squares: FGLS[S, ()] = Sum [Sxy – xy()]² / ||S||² ist für große Stichproben df²-verteilt, mit df = m – p · (p+1) / 2 Freiheitsgraden.

Hypothesenprüfung Nullhypothese H0: S = () diesmal nicht theoriefreie Verneinung von H1, sondern theoriekonforme Vorhersage. Grund: Verteilung bekannt, testbar. Alternativhypothese H1: S  () theoriefreie Verneinung von H0. -Fehler-Niveau festlegen, z. B. p = 0.05 wenn p(²|H0)  p: Modell verwerfen wenn p(²|H0) > p: ???

Kausalität und Korrelation X1 ist korreliert mit X2. X1 ist Ursache für X2. X2 ist Ursache für X1. X1 und X2 beeinflussen sich gegenseitig. X1 und X2 werden von X3 beeinflußt. X1 X2 1 X1 X2 e2 1 e1 X1 X2 X1 X2 X3 1 1 1 1 e1 X1 X2 e2

SGM für eine einfache Korrelation X ist korreliert mit Y. X ist Ursache für Y. X Y 1 X Y e Definitionsgleichungen: y = a + b · x + e cor(x,e) = 0 Strukturgleichungen Vxx = Vxx Vyy = b²·Vxx + Vee + 2·Vxe Vxy = b·Vxx + Vxe Identifikationsgleichungen Vxx = Vxx b = Vxy/Vxx = rxy ·  (Vyy/Vxx) Vee = Vyy – b²·Vxx = Vyy · (1 – rxy²)