Dynamik komplexer Systeme Deterministisches Chaos

Zeitverlaufs- diagramm Dynamische Systeme Der Systemzustand x(t) kann durch einen oder mehrere Parameter beschrieben werden. Phasenraum: Raum der Zustandsparameter Der zukünftige Systemzustand hängt allein vom jetzigen Systemzustand ab. kontinuierlich: Differentialgleichungen in t d/dt x(t) = F(x(t)) d/dt x(t) = k  x(t) limt0 (x(t+t)  x(t)) / t = F(x(t)) diskret: Iterationsgleichungen in t x(t+t)  x(t) = F(x(t)) · t x(t+1) = G(x(t)) x(t+1) = c  x(t) Gleichungs- diagramm Zeitverlaufs- diagramm x · x x t xt+1 x xt t

Zeitverlaufs- diagramm Phasendiagramme Der Systemzustand x(t) kann durch einen oder mehrere Parameter beschrieben werden. Phasenraum: Raum der Zustandsparameter - kontinuierlich: d/dt x(t) = F(x(t))  )) diskret: t x(t+1) = G(x(t))  Gleichungs- diagramm Zeitverlaufs- diagramm Phasen- diagramm x x · x x t xt+1 x xt t

Phasendiagramme Der Systemzustand x(t) kann durch einen oder mehrere Parameter beschrieben werden. Phasenraum: Raum der Zustandsparameter - kontinuierlich: d/dt x(t) = F(x(t))  )) zweidimensionales Phasen- diagramm x2 x1 z. B. Pendel oder Feder mit Auslenkung a Gleichungs- diagramm Zeitverlaufs- diagramm Phasen- diagramm x · x x x t

Zeitverlaufs- diagramm Lineare Systeme Wenn x(t) eine mögliche Abfolge von Systemzuständen ist, dann ist auch x(t) eine mögliche Abfolge. - kontinuierlich: Differentialgleichungen in t d/dt x(t) = F(x(t)) d/dt x(t) = k  x(t) limt0 (x(t+t)  x(t)) / t = F(x(t)) diskret: Iterationsgleichungen in t x(t+t)  x(t) = F(x(t)) · t x(t+1) = G(x(t)) x(t+1) = c  x(t) Gleichungs- diagramm Zeitverlaufs- diagramm x · x x t xt+1 x xt t

Lineare Systeme verschieben Wenn ein lineares System nicht ursprungslinear ist, kann man es verschieben: Man definiert eine neue Variable u(t) = x(t)  xS, wobei F(xS) = 0 bzw. G(xS) = x. Wenn u(t) eine mögliche Abfolge von Systemzuständen ist, dann ist auch u(t) eine mögliche Abfolge. kontinuierlich: diskret: x · u · x u xt+1 ut+1 xt ut

Iterieren im Gleichungsdiagramm xt+1 Steigung > 1 Systemzustand entfernt sich exponentiell vom Schnittpunkt xS. x1 t x xS x0 xs x0 xt

Iterieren im Gleichungsdiagramm xt+1 Steigung < 1 aber > 0 Systemzustand nähert sich exponentiell an den Schnittpunkt xS. t x xS x0 xs xt

Abhängigkeit von der Steigung x(t+1) = G(x(t)) Steigung von G bei xS > 1: x entfernt sich exponentiell von xS. Steigung > 0 und < 1: x nähert sich exponentiell an xS. Steigung +0.5 +1.5 t x xS t x xS

Linear versus nichtlinear Viele reale Systeme sind lokal linear global nichtlinear 20 Heuschrecken erzeugen im nächsten Jahr eine doppelt so starke Population wie 10 Heuschrecken 200000000 Heuschrecken...

Die Nichtlinearität linear: Polynom erster Ordnung, a + b·x Geraden, mit positiver (b>0) oder negativer (b<0) Steigung nichtlinear: Polynom zweiter Ordnung, a + b·x + c·x² Parabeln, nach oben offen (c>0) oder nach unten offen (c<0) Eine nach unten offene Parabel schneidet die x-Achse zweimal. Eine Parabel mit den Schnittstellen 0 und 1 kann man auch wie folgt schreiben: r · x · (1x)

logistische Gleichung Demographisches Modell (Pierre-François Verhulst, 1837) Fortpflanzung: k1 · x Aushungern: k2 · (1x) (Maximalgröße der Population: 1) Proportionalität: r = k1 · k2 xt+1 = r · xt · (1xt) r = 4 xt+1 1 r = 3 r = 2 r = 1 r = 0 1 xt

Abhängigkeit von der Steigung x(t+1) = G(x(t)) Steigung von G bei xS > 1: x entfernt sich exponentiell von xS. Steigung > 0 und < 1: x nähert sich exponentiell an xS. xt+1 = r · xt · (1xt) Steigung r = 4 +0.5 +1.5 xt+1 1 r = 3 t x xS t x xS r = 2 r = 1 r = 0 1 xt

Iterieren im Gleichungsdiagramm xt+1 Steigung < 0 aber > 1 Systemzustand nähert sich „exponentiell oszillierend“ an den Schnittpunkt xS. xt+1 = r · xt · (1xt) r = 4 xt+1 1 r = 3 t x xS r = 2 r = 1 x0 xs xt r = 0 1 xt

Iterieren im Gleichungsdiagramm xt+1 Steigung < 1 Systemzustand entfernt sich „exponentiell oszillierend“ vom Schnittpunkt xS. xt+1 = r · xt · (1xt) r = 4 xt+1 1 r = 3 t x xS r = 2 r = 1 x0 xs xt r = 0 1 xt

Abhängigkeit von der Steigung x(t+1) = G(x(t)) Steigung von G bei xS > 1: x entfernt sich exponentiell von xS. Steigung > 0 und < 1: x nähert sich exponentiell an xS. Steigung aus > 1 und < 0: x nähert sich exponentiell oszillierend. Steigung < 1: x entfernt sich exponentiell oszillierend. xt+1 = r · xt · (1xt) Steigung r = 4 1.5 0.5 +0.5 +1.5 xt+1 1 r = 3 t x xS r = 2 r = 1 r = 0 1 xt

Das Bifurkationsdiagramm Bifurkation = qualitative Zustandsänderung asymptotisches Phasendiagramm als Funktion von r langfristige Entwicklung der Population x Phasen- diagramm x r xt+1 = r · xt · (1xt) Steigung r = 4 1.5 0.5 +0.5 +1.5 xt+1 1 r = 3 t x xS r = 2 r = 1 r = 0 1 xt

Das Bifurkationsdiagramm Bifurkation = qualitative Zustandsänderung asymptotisches Phasendiagramm als Funktion von r langfristige Entwicklung der Population x xt+1 = r · xt · (1xt) Steigung r = 4 1.5 0.5 +0.5 +1.5 xt+1 1 r = 3 t x xS r = 2 r = 1 r = 0 1 xt

Das Bifurkationsdiagramm xt+1 = r · xt · (1xt) Steigung r = 4 1.5 0.5 +0.5 +1.5 xt+1 1 r = 3 t x xS r = 2 r = 1 r = 0 1 xt

Das Bifurkationsdiagramm Attraktor Bifurkation xt+1 = r · xt · (1xt) Steigung r = 4 1.5 0.5 +0.5 +1.5 xt+1 1 r = 3 t x xS r = 2 r = 1 r = 0 1 xt

Die Feigenbaumkonstanten M. J. Feigenbaum, Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Stat. Phys. 21, 669 (1978) Der Abstand in r von aufeinander folgenden Bifurkationen nimmt asymptotisch ab im Verhältnis 1 : 4.66920160910299067185320382... Die Größe von aufeinander folgenden Gabelungen in x nimmt asymptotisch ab im Verhältnis 1 : 2.50290787509589282228390287...

zwei Zeitverläufe Fixpunkte: a=0.333333; b=1/3; for i=1:50; 0.75: instabil 0.00: stabil 0.50  1.00  0.00: letztendlich stabil 0.50 hat zwei Vorläufer Menge aller letztendlich stabilen Fixpunkte: fraktal a=0.333333; b=1/3; for i=1:50; a(i+1)=a(i)*(1-a(i))*4; b(i+1)=b(i)*(1-b(i))*4; end xt+1 = r · xt · (1xt) r = 4 xt+1 1 1 xt

Pendel und Doppelpendel Das einfache Pendel ist deterministisch, nonlinear (es gibt eine lineare Idealisierung), nicht chaotisch (langfristig vorhersagbar) Das Doppelpendel ist deterministisch nonlinear chaotisch

Zwei- und Dreikörperproblem Das Zweikörperproblem (zwei Massen bewegen sich in ihrer gegenseitigen Gravitation) ist analytisch lösbar. deterministisch, nonlinear, nicht chaotisch (langfristig vorhersagbar) Das Dreikörperproblem kann bis auf Spezialfälle nicht analytisch gelöst werden. deterministisch, nonlinear, chaotisch eingeschränktes Dreikörperproblem: dritte Masse verschwindend klein Demo: J002E3

Billard Rechteckiger Tisch, keine Reibung, eine Kugel: linearer Anstieg der Änderung mehrere Kugeln: zu kompliziert. konvexe Reflektoren an den Banden: exponentieller Anstieg der Änderung Chaos mehrere Kugeln in gerader Reihe Radius R, Abstand (Rand zu Rand) D: ein winziger Winkelfehler vergrößert sich mit jedem Stoß in etwa um D/R. Billard: Einfluß der Gravitation eines Zuschauers D = 60mm, R = 30mm  D/R = 2, Mensch 60 kg 6 m entfernt: a = 1010 m/s2 v=1m/s, t=.06s, x = ½ a t² = 1,8·10 13m, nach 37 Stößen x30 mm (R). N2 1bar 300 K: Gravitation Elektron (1030kg) in 14·109 LJ D = 7·108m, R = 5·1011m  D/R = 1400 a = 8·1093 m/s2 , t = 1.4·1010s, x = 8·10 113m, nach 32 Stößen x5·1011m (R). D R

Deterministisches Chaos Voraussetzungen (notwendig, nicht hinreichend) Deterministisch Nichtlinear Kennzeichen Aperiodisch Empfindliche Abhängigkeit von den Startbedingungen Abhängigkeit von Kontrollparameter Bifurkationen meist: Periodenverdoppelungen als Weg ins Chaos Attraktoren  „seltsame Attraktoren“