Multidimensionale Skalierung (..., Shepard, 1962, ...) Christian Kaernbach

Explorative MDS N Items N ∙ (N–1) / 2 Paare weil sie interessant sind weil der Raum, in dem sie liegen, interessant ist N ∙ (N–1) / 2 Paare für (idealerweise) jedes Paar ordinale Daten erheben: „Fechnerskalierung“: Präferenz erheben Unterstellung einer eindimensionalen Präferenzskala Präferenz nahe 50/50: sehr ähnlich Präferenz eindeutig (100/0 oder 0/100): sehr unähnlich Richtung der Präferenz unerheblich Ähnlichkeit (mehrere Dimensionen möglich) oder Unähnlichkeit (mehrere Dimensionen möglich)

Shepard-Diagramm Wählen einer multidimensionalen „Konfiguration“ jedem Item wird ein Ort in einem m-dimensionalen (typischerweise euklidischen) Raum zugeordnet Für jedes Itempaar gibt es nun zwei Werte: experimentell erhobene Unähnlichkeit Abstand in der Konfiguration Forderung: je unähnlicher, desto weiter entfernt. (schwach) monoton linear (evtl.: durch Ursprung) insbesondere bei Gefahr einer „Entartung“ (Clusterbildung, stufenförmige Shepard-Funktion) kumulativ normal (positiv beschleunigt) häufig bei eindimensionaler Fechnerskalierung, law of comparative judgment, LCJ Anforderung „monoton“ führt (bei großen N) oft zu einer positiv beschleunigen Funktion (LCJ) Präferenz

Stress Abweichung der tatsächlichen Shepard-Daten von der Anforderung S =  ( i<j (aij – f(uij))² / i<j aij² ) Konfiguration gleichmäßig strecken oder stauchen, drehen, spiegeln, verschieben: S bleibt gleich Konfiguration so ändern, daß Stress minimiert wird Alternativen RSQ, R²: quadrierte Korrelation von Abstand zu Unähnlichkeit maximieren ...

Kriterium absolute Kriterien in S (0.1 ausreichend, 0.05 gut, 0,025 exzellent) sind fragwürdig abhängig von Itemzahl und Dimensionszahl je höher die Dimensionszahl, desto mehr Items werden benötigt Scree plot (scree = Halde) keine Verbesserung durch Hinzunahme einer Dimension bei realen Daten fast immer weitere Verbesserung simulated data Number of assumed dimensions Stress

Kriterium absolute Kriterien in S (0.1 ausreichend, 0.05 gut, 0,025 exzellent) sind fragwürdig abhängig von Itemzahl und Dimensionszahl je höher die Dimensionszahl, desto mehr Items werden benötigt Scree plot (scree = Halde) keine Verbesserung durch Hinzunahme einer Dimension bei realen Daten fast immer weitere Verbesserung Vergleich mit Zufallsdaten randomisierte Ähnlichkeit p  0.001 p  0.005 p > 0.1 classroom data basic emotions after Plutchik

Interpretation der Konfiguration explorativ (post-hoc) potentielle Dimensionen aus der Konfiguration erschließen konfirmatorisch (post-hoc oder vorab angenommen) Einzeldaten pro Item zu unterstellten Dimensionen z. B. Rating-Werte zu diesen Dimensionen oder bestimmte soziologische/physikalische/... Parameter der Items Achslagen für unterstellte Dimensionen anhand der Daten festlegen (s. nächste Folie) Beste Achsen auswählen Achsen sollten  orthogonal aufeinander stehen und hoch korrelieren

Korrelationen und Koordinaten Einzeldaten pro Item zu unterstellten Dimensionen Achsen willkürlich in die Konfiguration legen Korrelation der Einzeldaten mit Itemposition entlang der Achse (orthogonale Projektion auf Achse) Achse drehen bis maximale Korrelation erreicht ist „Achse der besten Korrelation“  Basis des Koordinatensystems Koordinatenbasis steht orthogonal auf jeweils anderen Achsen andere Dimensionen sind „Störvariablen“ für zu korrelierende Dimension Achsen bester Korrelation Orthogonalitätsprinzip Koordinatenbasis