HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Christian Schindelhauer

2 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Radio Broadcasting Broadcasting –Ein Sender möchte eine Nachricht an alle n Stationen übermitteln Radio Broadcasting –Ungerichteter Graph G=(V,E) beschreibt mögliche Verbindungen Wenn Kante {u,v} existiert, kann u nach v senden und umgekehrt Wenn keine Kante, dann kein Empfang und keine Störung –Eine Frequenz, Funkstationen sind gleichgetaktet –Senden zwei benachbarte Stationen gleichzeitig, wird kein Signal empfangen (noch nicht einmal ein Störungssignal) Hauptproblem: –Graph G=(V,E) ist den Teilnehmern unbekannt –Verteilter Algorithmus zur Vermeidung von Konflikten

3 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Radio Broadcasting ohne ID Theorem Es gibt keinen deterministischen Broadcasting-Algorithmus für das Radio-Broadcasting-Problem (ohne ID) Beweis: Betrachte folgenden Graphen: 1.Blauer Knoten sendet (irgendwann) Nachricht an die Nachbarknoten 2.Sobald sie informiert sind, verhalten sie sich synchron (weil sie den gleichen Algorithmus abarbeiten) und senden (oder senden nicht) immer gleichzeitig 3.Roter Knoten erhält keine Nachricht.

4 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Modellerweiterung Modell bis jetzt zu restriktiv Deterministisches Modell: –Jeder der n Spieler kennt seine eindeutige Identifikationsnummer (ID) aus dem Bereich {1,..,n} Probabilistisches Modell: –Die Anzahl n der Spieler ist bekannt –Der maximale Grad Δ ist bekannt –Aber keine ID vorhanden

5 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Decay (I) Idee: Randomisierte Ausdünnung der Teilnehmber Decay(k,m) begin j 1 repeat j j + 1 Sende Nachricht m an alle Nachbarn r Ergebnis fairer Münzwurf (0/1 mit jeweils Wkeit 1/2) until r=0 oder j > k end

6 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Decay (II) d Nachbarknoten informiert Alle d Nachbarknoten starten gleichzeitig Decay(k,m) P(k,d):Wkeit, dass Nachricht wird von d Nachbarn in k Runden erhalten Lemma Für d2 gilt:

7 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X BGI-Broadcast [Bar-Yehuda, Goldreich, Itai 1987] Alle Informierten haben synchronisierten Rundenzähler –D.h. Time wird mit Nachricht weiter gegeben –Und in jeder Runde inkrementiert BGI-Broadcast( Δ, ) begin k 2 log Δ t 2 log (N/ ) wait until Nachricht kommt an for i 1 to t do wait until (Time mod k) = 0 Decay(k,m) od end

8 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Der Markov-Prozess der Informationsausbreitung Zeit p 1 p p p p p 1 1 p p Weg Lemma Für jedes α>1 und β 0 gilt: Wenn auf einem Pfad der Länge D eine Nachricht mit unabhängiger Wkeit p voranschreitet und mit Wkeit 1 p stehen bleibt, dann ist die Wkeit, dass die Information nach spätestens t Schritten mit nicht durchgelaufen ist, höchstens

9 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X BGI-Broadcast Analyse (I) Theorem BGI-Broadcast informiert alle Knoten mit Wahrscheinlichkeit 1-2 in Zeit O((D+log(n/ )) log Δ) Beweis: –Angenommen t ist bel. groß –Betrachte Zeit T U auf Pfad zu einem Knoten u mit Distanz D Wkeit, dass Knoten nicht informiert Falls –Setze α=2 und β = 2 log (n/ ) ergibt –

10 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X BGI-Broadcast Analyse (II) Wkeit, dass alle t Versuche von Decay an einem Knoten scheitern Wkeit, dass es einen Knoten gibt, der deswegen nicht informiert wird: Wkeit, dass es einen Knoten gibt, der auch bei ausreichend großen t nicht informiert worden wäre: Mit Wkeit sind alle Knoten informiert nach Runden.

11 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Das Modell Probabilistisches Modell: –Die Anzahl n der Spieler ist bekannt –Der maximale Grad Δ ist bekannt –Aber keine ID vorhanden Einschränkung: Was wenn, kein maximaler Grad bekannt? –Korollar (Beweis Übungsaufgabe) BGI-Broadcast informiert alle Knoten mit Wahrscheinlichkeit 1-2 in Zeit O((D+log(n/ )) log n) Deterministisches Modell: –Jeder der n Spieler kennt seine eindeutige Identifikationsnummer (ID) aus dem Bereich {1,..,n} und n

12 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Untere Schranke für det. Radio Broadcasting (I) Sei D der maximale Abstand eines Knotens zur Quelle. Theorem Für jeden verteilten deterministischen Radio-Broadcast-Algorithmus unter Verwendung von IDs gibt es einen Graphen mit D=2, dessen Knoten nicht in Zeit n 2 informiert werden können. Beweis: Idee: Gegeben det. Algorithmus Konstruiere Graph Weise nach, dass Zeit überschritten wird

13 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Untere Schranke für det. Radio Broadcasting (II) Für S {1,..,n} definiere G S als –V = {0,..,n+1} –E = {{0,i} | i {1,..n}} {{i,n+1} | i S} Deterministisches Modell: –Jeder der n Spieler kennt seine eindeutige Identifikationsnummer ID(i) aus dem Bereich {0,..,n+1} –Jeder Knoten führt einen festen Algorithmus A aus –A(i,t) = 1, wenn Spieler i in Runde t sendet –A(i,t) = 0, wenn Spieler i in Runde t nicht sendet

14 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Untere Schranke für det. Radio Broadcasting (III) Die Guten wählen den Algorithmus A Die Bösen (adversary) wählen S –Wir sind die Bösen und finden ein S für einen Algorithmus A (wir kennen also A) Zugeständnisse an A –Knoten i hat ID(i)=i (Vorteil für Algorithmus) –A darf in Runde 0 starten mit A(i,0) = 1 –Dann sind in Runde 1 alle Knoten {1,..,n} informiert Aufgabe für A ab Runde 1: –Informiere Knoten n+1 in höchstens n-1 Runden

15 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Das Trefferspiel (I) A(1,t) A(2,t) A(3,t) A(4,t) A(5,t) A(6,t) Gegeben n (n-1) -Matrix A trägt in jedes Feld 0 oder 1 ein B darf bis zu m=n-1 Zeilen streichen, d.h. auf 0 setzen A hat gewonnen, wenn es eine Spalte gibt, mit genau einer 1 B hat gewonnen, wenn jede Spalte nur 0er oder mindestens zwei 1er hat A gewinnt

16 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Das Trefferspiel (I) A(1,t) A(2,t) A(3,t) A(4,t) A(5,t) A(6,t) Gegeben n (n-1) -Matrix A trägt in jedes Feld 0 oder 1 ein B darf bis zu m=n-1 Zeilen streichen, d.h. auf 0 setzen A hat gewonnen, wenn es eine Spalte gibt, mit genau einer 1 B hat gewonnen, wenn jede Spalte nur 0er oder mindestens zwei 1er hat B gewinnt

17 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Das Trefferspiel (III) Gewinnstrategie für B B-gewinnt(A,n) begin S {1,…,n} while es existiert Spalte in A mit genau einer 1 do t Spalte mit genau einer 1 in A(1,t),A(2,t),…,A(n,t) i Zeile mit A(i,t) = 1 S S \ {i} A(i,t) 0, für alle t {1,..,n-1} od end A(1,t) A(2,t) A(3,t) A(4,t) A(5,t) A(6,t) B gewinnt

18 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Das Trefferspiel (IV) Gewinnstrategie für B B-gewinnt(A,n) begin S {1,…,n} while es existiert Spalte in A mit genau einer 1 do t Spalte mit genau einer 1 in A(1,t),A(2,t),…,A(n,t) i Zeile mit A(i,t) = 1 S S \ {i} A(i,t) 0 od end Lemma Für jede Matrix A gewinnt B- gewinnt. Beweis: 1.Nach Beendigung von while P do.. od gilt ¬P D.h. es existiert keine Spalte in A mit genau einer 1 2.S : While-Schleife wird höchstens (n 1)-mal durchlaufen, da jede Spalte nur einmal behandelt wird und #Spalten = n 1

19 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Untere Schranke für det. Radio Broadcasting (IV) Die Guten wählen den Algorithmus A Die Bösen (adversary) wählen S –Wir sind die Bösen und finden ein S für einen Algorithmus A (wir kennen also A) –Wir spielen B-gewinnt und erhalten S –Der Graph ist zusammenhängend, weil S –In jeder der n-1 Runden sendet keiner oder mindestens 2

20 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken X Determinismus versus Probabilismus Theorem Für jeden verteilten deterministischen Radio-Broadcast-Algorithmus unter Verwendung von IDs gibt es einen Graphen mit D=2, dessen Knoten nicht in Zeit n 2 informiert werden können. Theorem Der (probabilistische) BGI-Broadcast-Algorithmus informiert alle Knoten mit Wahrscheinlichkeit 1-2 in Zeit O((D+log(n/ )) log Δ)