HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 1 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Vorlesung Sommersemester 2002 Algorithmische Grundlagen des Internets (VI) Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik AG Meyer auf der Heide

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 2 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Fairness und Effizienz von AIMD Das Modell on Teilnehmer, Rundenmodell oTeilnehmer i hat Datenrate x i (t) oAnfangsdatenrate x 1 (0), …, x n (0) gegeben oFeedback nach Runde t: y(t) = 0, falls y(t) = 1, falls oJeder Teilnehmer aktualisiert in Runde t+1: x i (t+1) = f(x i (t),y(t)) Increase-Strategie f 0 (x) = f(x,0) Decrease-Strategief 1 (x) = f(x,1) oWir betrachten lineare Funktionen:

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 3 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Fairness und Effizienz von AIMD Das Modell oWir betrachten lineare Funktionen: oInteressante Spezialfälle: MIMD: Multiplicative Increase/Multiplicative Decrease AIAD: Additive Increase/Additive Decrease AIMD: Additive Increase/Multiplicative Decrease

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 4 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Fairness und Effizienz oEffizienz Last: Maß oFairness: Für x=(x 1, …, x n ): 1/n F(x) 1 F(x) = 1 absolute Fairness Skalierungsunabhängig Kontinuierlich, stetig, differenzierbar Falls k von n fair, Rest 0, dann F(x) = k/n

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 5 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Konvergenz oKonvergenz unmöglich oBestenfalls Oszillation um Optimalwert Oszillations- amplitude A Einschwingzeit T

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 6 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer AIAD Additive Increase/Additive Decrease

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 7 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer MIMD Multiplicative Increase/Multiplicative Decrease

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 8 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer AIMD Additive Increase/Multiplicative Decrease

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 9 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Effiziente lineare Funktionen oX(t) > K a D 0 b D 1 a D > 0 b D < 0 oX(t) < K a I 0 b I 1 a I < 0 nicht möglich

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 10 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer oFairness von x(t) = (x 1 (0), …, x n (0)) konvergiert gegen 1, d.h. für oEs gilt für c=a/b: oBeweis? Fairness (I)

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 11 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Beweis! (1) oEs gilt: oSubstitution oDann ist: und

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 12 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Beweis! (2) oZu zeigen: oWarum gilt diese Gleichung?

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 13 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Beweis! (3) oWarum gilt diese Gleichung? wobei

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 14 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer oEs gilt: oD.h. Fairness nimmt mit c=a/b zu. Für c=0 ist F(x(t+1))= F(x(t)) Für c>0 ist F(x(t+1))> F(x(t)), falls F(x(t)) 1 Für c<0 ist F(x(t+1))< F(x(t)) oDaher a I /b I 0 und a D /b D 0 Also, a I,b I,a D,b D 0 oAus Effizienz: a D 0 b D 1, heißt also a D = 0 b D 1, a D > 0 b D < 0 entfällt. a I 0 b I 1, es muß a I > 0, da sonst Fairness nicht zunimmt (siehe MIMD) oFührt zu AIMD Fairness (II)

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 15 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Fairness (III)

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 16 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer TCP-Datenrate oAIMD-Probingstrategie verursacht Verlustrate o = verlorene Segmente / verschickte Segmente oMittlere Datenrate B = Bytes/Sek und Fehlerrate interagieren: Erhöhung der Datenrate erhöht die Verlustrate Höhere Verlustrate verringert die Datenrate oExperimente zeigen für Segmentlänge MSS und Umlaufzeit RTT:

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 17 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer TCP-Datenrate Der statische Fall oVerfügbare Bandweite = n oDurchschnittliche Datenrate: B = 3/4 n oNach n/2 Runden Verlust: 1 oErgibt: oalso

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 18 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer TCP-Datenrate Ein stochastische Modell oPaket geht mit Wkeit p verloren oAnzahl fehlerfreier übertragener Pakete X ist exponentiell verteilt: oErwartete fehlerfreie Paketmenge : O(1/p) Rundenanzahl bis Datenratenhalbierung: O(1/p ½ ) Erwartete Datenrate: O(1/p ½ ) Aber: Welcher konstanter Faktor? oExperimentell: (für verwandtes Modell bewiesen):

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 19 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer 2. Kapitel Der Web-Graph

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 20 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Eigenschaften des WWW oWWW: Speicher für Informationen Neues Medium Nicht geplant, unkoordiniert Im Gegensatz zu Stromnetz, Telefon, Straßen, Eisenbahn Trotzdem Gesetzmäßigkeiten Selbstorganisation Ändert sich dauernd oAnalyse der Webstruktur ermöglicht Bessere Suchmaschinen Automatisch erzeugte Webverzeichnisse Gezielte Suchdienste Filter

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 21 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Der Webgraph oG WWW : Statische HTML-Seiten sind Knoten Links sind gerichtete Kanten oAusgrad eines Knoten: Anzahl Links auf einer Webseite oEingrad eines Knoten: Anzahl der Links zu einer Webseite oGerichteter Pfad von Knoten u zu Knoten v: Folge der Webseiten, um von u zu v durch Links zu kommen oUngerichteter Pfad (u=w 0,w 2,…,w m-1,v=w m ) von Knoten u zu Knoten v: Für alle i: Von w i zu w i+1 existiert Link oder umgekehrt oStarke (schwache) Zusammenhangskomponente: Knotenmenge, in der (un-)gerichteter Pfad von jedem Knoten zu jedem anderen existiert

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 22 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Ein-/Ausgradverteilung oEin-/ und Ausgrade sind Paretoverteilt, d.h. Ein/Ausgrad i erscheint mit Häufigkeit ~ 1/i α oExperimentell überprüft von Kumar et al 97: 40 Mio Webseiten Barabasi et al 99: Domain *.nd.edu + Webseiten im Abstand 3 Broder et al 00: 204 Mio Webseiten (Scan Mai+Okt. 1999)

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 23 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Ein-/Ausgradverteilung von G n,p (I) oZufallsgraph G n,p : n Knoten Jede gerichtete Kante erscheint mit unabhängiger Wkeit p oKann der Webgraph durch G n,p beschrieben werden? oErwarteter Ein/Ausgrad in G n,p = (n-1)p Da durchschnittl. Grad in G WWW konstant, wähle Betrachte feste Webseite r Sei X die Anzahl der Links auf r Sei X i =1 wenn Link nach i existiert, sonst 0 Dann ist P[X i =1]=p und P[X i =0]=1-p

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 24 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Ein-/Ausgradverteilung von G n,p (II) oUntersuche Wkeit, dass mindestens k Links erscheinen 1.Versuch: Markovs Ungleichung Es gilt Dann ist: Kein Widerspruch zu Paretoverteilung

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 25 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Ein-/Ausgradverteilung von G n,p (III) oUntersuche Wkeit, dass mindestens k Links erscheinen 2.Versuch: Chebyshevs Ungleichung Es gilt, da alle X i unabhängig: Dann ist: Kein Widerspruch zu Paretoverteilung

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 26 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Ein-/Ausgradverteilung von G n,p (IV) 3.Versuch: Chernoff Schranke Für unabhängig Zufallsvariablen X i und mit Dann ist für Damit ist für die Wkeit Für alle n Knoten ist diese Wkeit damit Widerspricht Paretoverteilung

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 27 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Pareto-Verteilung (I) oDiskrete Paretoverteilung für x {1,2,3,…} mit konstanten Faktor Es gilt oHeavy-Tail-Eigenschaft: Nicht alle Momente E[X k ] sind definiert Erwartungswert existiert, gdw, α>2 Varianz und E[X 2 ] definiert, gdw. α>3 E[X k ] definiert, gdw. α>k+1 oDichtefunktion der kontinuierlichen Paretoverteilung für x>x 0

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 28 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Pareto-Verteilung (I) oBeispiele für Paretoverteilungen Pareto 1897:Privatvermögen in Bevölkerung Yule 1944:Wortlängen in Sprachen Zipf 1949:Größe von Städten Länge gewisser Molekülketten Dateilängen in Unix-Filesystem …. Zugriffshäufigkeit von Webseiten Besuchshäufigkeit einzelner Websurfer auf einer bestimmten Seite …

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 29 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Zusammenhangskomponenten oStarke und schwache Zus.-komponenten sind Paretoverteilt oRiesige schwache Zus.-Kompontente mit 91% aller Seiten oGrößte starke Zus.Komponente nur 28% Durchmesser 28 Wo ist der Rest?

HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 30 Algorithm. Grundlagen des Internets 27. Mai 2002 Christian Schindelhauer Ein Bild des Webgraphen Weberfassung durch Altavista Mai+Oktober 1999: