HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Christian Schindelhauer

2 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Abschlußveranstaltungen 1.Prüfungstermine –Mo, –Mo/Di 10/ –Mo/Di 17/ Abschlußbesprechung am Mi :30 Uhr a)Essen&Trinken (in´ner gemütlichen Kneipe)

3 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Call-control in Zellularen Netzwerken (I) Zellulares Netzwerk und Interferenzgraph G=(V,E) –Relaisstationen V={1,..,n} mit Frequenzen {1,…,c} –Interferenz (u,v) E heißt, dass u und v nicht gleichzeitig dieselbe Frequenz verwenden dürfen Rufanforderungen (Request) r 1,r 2,r 3,… mit r i = (v i,t i,d i,b i ) mobiler Teilnehmer (sortiert nach t i ) –v i V: (zuständige) Relaisstation –t i IN: Zeitpunkt der Rufanforderung –d i IN {1}: Dauer der Übertragung –b i IN: Belohnung (Gewinn des Netzwerkbetreibers, wenn Anforderung r i bedient wird) Calls können abgelehnt oder bedient werden

4 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Call-control in Zellularen Netzwerken (II) Requests können abgelehnt oder bedient werden –Entscheidung muß zum Zeitpunkt t i getroffen werden –Ist im Moment keine Frequenz verfügbar, muß Request abgelehnt werden –Wird ein Request abgelehnt, geht der Betrag b i verloren Wird ein Call angenommen, –dann wird dem Call eine Frequenz für den Zeitraum [t i,t i +d i –1] zugewiesen Diese Frequenz steht in dieser Zeit v i und allen Nachbarn von v i im Interferenzgraph G nicht mehr zur Verfügung –muß der Call vollständig bedient werden Sinneswandel nicht möglich –erhält man die Belohnung b i

5 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Beispiel Interferenzgraph: 3 Frequenzen: Call: r 1 =(2,1,100,1) –Akzeptiert auf Frequenz 1 –Blockierte Frequenzen: –Belohnung:1 Call: (1,2,3,1) –Abgelehnt (warum auch immer)

6 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Online-Probleme Optimale Lösung ist nur a-posteriori möglich: 1.Fall –Sei V={1} und betrachte Anfragesequenz: (1,1,10,2), (1,1,1,1), (1,2,1,1), (1,3,1,1), (1,4,1,1),…,(1,10,1,1) –Beste Lösung: Verwerfe (1,1,10,2) und akzeptiere alle anderen –Belohnung: 10 2.Fall –Sequenz besteht nur aus (1,1,10,2), (1,1,1,1) –Beste Lösung: Akzeptiere (1,1,10,2) –Belohnung: 2 Problem: Entscheidung muß zum Zeitpunkt t=1 geschehen!

7 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Das Leihski-Problem Klassisches Problem der Analyse von Online-Algorithmen: Wie lange bleibt der Schnee liegen? –Skier kaufen: Kosten 100 (einmalig) –Skier leihen: 10 /Tag Skier leihen oder kaufen 1.Skier leihen –Der Schnee bleibt bis April liegen, Kosten > 1000 –Aber Skier kaufen kostet nur Skier kaufen –Der Schnee ist morgen weg, Kosten 100 –Aber Skier leihen kostet nur 10 –Idee: Erst Skier leihen und dann kaufen!

8 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Das Kompetitive Verhältnis Optimale Offline-Lösung –Hinterher ist man klüger: –Berechne optimale Strategie im Sommer (hinterher) Online-Algorithmus –Entscheidet sich jeden Tag online, ohne die Zukunft zu kennen Kompetitives Verhältnis (competitive ratio) –(Kosten online-Alg)/(optimale offline-Kosten) Adversary –Frau Holle beobachtet, ob wir Skier kaufen oder mieten –Sie versucht das kompetitive Verhältnis zu maximieren Online-Algorithmus –minimiere komp. Verhältnis für jede Strategie des Adversary

9 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Die Lösung des Leihski- Problems Klassisches Problem der Analyse von Online-Algorithmen: Wie lange bleibt der Schnee liegen? –Skier kaufen: Kosten 100 (einmalig) –Skier leihen: 10 /Tag –Online-Alg.: 10 Tage Skier leihen und dann kaufen! –Liegt t 10 Tage Schnee, dann entstehen Kosten 10 t –Ist optimal! –Kompetitives Verhältnis = 1 –Liegt t > 10 Tage Schnee, entstehen Kosten 200 –Optimale Offline-Strategie: sofort kaufen Kosten 100 –Kompetitives Verhältnis = 2 –Algorithmus hat kompetitives Verhältnis 2

10 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Flatrate ohne Auflegen Vereinfachte Annahme (für den Anfang) –Einheitskosten, d.h. b=1 –Für immer, d.h. d=1 Greedy-Algorithmus A begin for i=1 to do if Frequenz in Knoten v i frei then Bediene Request r i mit beliebiger freier Frequenz fi od end

11 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Beispiel Interferenzgraph: 3 Frequenzen: A=(2,1,1,1) B=(3,2,1,1) C=(2,3,1,1) D=(1,4,1,1) E=(1,5,1,1) –abgelehnt F=(4,5,1,1) t=1 F B A C D 5E 2 3 4

12 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Ablehnungsgraph (Rejection graph) Ablehnungsgraph R=(V,E) –Knotenmenge V = Requests, |V| = m V A = akzeptierte Requests, m A = |V A | V R = abgelehnte Requests, m R =|V R | –beschränkt auf c Requests pro Knoten (mehr geht auch offline nicht) V A V R = V, m A +m R = m –Gerichtete Kanten E, (u,v) E, gdw. Akzeptierter Call u V A blockiert eine der c Frequenzen für abgelehnten Call v V R –Eingrad von R Anzahl Frequenzen = c –Ausgrad in R c (G) = Grad des Interferenzgraphen

13 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Theorem Der Greedy-Algorithmus hat kompetitives Verhältnis (G)+1 für Calls mit Belohnung 1 und unendlicher Dauer. Beweis Beobachtungen –Eingrad von Ablehnungsgraph R c –Anzahl Kanten in E(R) c m R –Anzahl Kanten in E(R) c (G) m A Folgerung c m R |E(R)| c (G) m A m A c (G) + m A c m c, weil m R = m-m A m/m A (G) + 1 Offline-Lösung kann im besten Fall m Requests bearbeiten Effizienz von Greedy für Flatrate ohne Auflegen

14 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Theorem Der Greedy-Algorithmus hat mindestens kompetitives Verhältnis (G) für Calls mit Belohnung 1 und unendlicher Dauer. Beweis Betrachte folgenden Graph mit Knoten 1 in der Mitte Starte mit c Requests –r 1 =r 2 =…= r c = (1,1,1,1) Dann erfolgen c Requests (i,2,1,1) auf jedem der anderen n–1= (G) Knoten Optimale (offline) Strategie: Belohnung c (G) Greedy-Strategie: Belohnung c Untere Schranke

15 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Klassifizieren und Auswählen Algorithmus: Classify-and-Randomly-Select (CRS) begin Bestimme unabhängige Knotenmengen V 1,V 2,…,V k Wähle uniform Zufallszahl j {1,…,k} for i=1 to do if v i V j und Frequenz in v i verfügbar then Akzeptiere und bediene Request r i else Lehne Request r i ab fi od end

16 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Der Adversary legt die Ereignisfolge –am Anfang fest –Ohne Kenntnis interner Zustände des On-line-Algorithmus Der On-line-Algorithmus –Kennt die Ereignisfolge nicht Beispiel Skiverleih: –Wir mieten 5 Tage –Dann werfen eine Münze, ob wir noch 5 Tage mieten oder sofort kaufen –Nach 10 Tagen kaufen wir, wenn wir noch nicht gekauft haben Kompetitives Verhältnis: < 2 –Geht es besser? (Übung) Oblivious Adversary

17 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV (G) : Färbungszahl von G Theorem Der Classify-and-Randomly-Select-Algorithmus hat erwartetes kompetitives Verhältnis (G) für Calls mit Belohnung 1 und unendlicher Dauer. Beweis: … Effizienz von CRS für Flatrate ohne Auflegen

18 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XV Theorem Jeder p-kompetitive Algorithmus für das Call-Control-Problem mit einer Frequenz kann in einen (p+1)-kompetitiven Algorithmus für das Call-Control-Problem mit c>1 Frequenzen umgewandelt werden. Probabilistischer Algor.für eine Frequenz ohne Auflegen: Block-and-Random-Serv (BaRS) begin for i=1 to do if Frequenz in v i nicht verfügbar, weil Nachbar gefärbt then Blockiere v i else d Anzahl blockierter und gefärbter Nachbarn von v i Mit Wkeit 1/d bediene Request r i fi od end Reduktion auf eine Frequenz