Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen WS 08/09 Friedhelm Meyer auf der Heide Vorlesung 4, 21.10.08

Neue Übungsgruppe, Di 16-18, F2 211 Organisatorisches Neue Übungsgruppe, Di 16-18, F2 211 Zusätzlicher Übungsgruppenleiter: Ralf Petring wird durch Adrian Ogiermann unterstützt 30% der Punkte der Ü-Blätter sind Voraussetzung zur Zulassung zur mündlichen Prüfung.

Greedy Algorithmen

Greedy Algorithmen

Greedy-Algorithmen für z.B. 0-1 Rucksack ist sehr schlecht. Wir wissen: Greedy-Algorithmen für z.B. Bruchteil Rucksack und Minimale Spannbäume sind optimal. Greedy-Algorithmen für z.B. 0-1 Rucksack ist sehr schlecht. Greedy-Algorithmen für z.B. Bin Packing (First Fit, Best Fit) sind 2-Approximationen, also gut, wenn auch nicht optimal. Kann man einem Problem “ansehen”, ob der zugehörige Greedy-Algorithmus optimal ist?

Wann sind Greedy-Algorithmen optimal?

Beispiele für Teilmengensysteme

Teilmengensysteme und der kanonische Greedy-Algorithmus Der kanonische G.A. für Rucksack ist sehr schlecht (haben wir gezeigt) Der kanonische G.A. für MST ist optimal, haben sie in DuA gezeigt: Kruskals Algorithmus Kann man dem Teilmengensystem “ansehen”, ob der kanonische G.A. eine optimale Lösung liefert?

Greedy-Algorithmen und Matroide Bem: Alle maximalen Mengen eines Matroids sind gleich groß. Bew: Übungsaufgabe Das Teilmengensystem für Rucksackproblem ist kein Matroid. Das Teilmengensystem für MST ist ein Matroid!

Satz: Das Teilmengensystem für MST ist ein Matroid. Das MST-Matroid Satz: Das Teilmengensystem für MST ist ein Matroid. Beweis: (i)  2 U (klar) (ii) B 2 U, A µ B ) A 2 U (klar) Wir müssen die Austauscheigenschaft nachweisen.

Die Austauscheigenschaft des MST-Matroids Z.z: Bew:

Matroide und der Kanonische Greedy-Algorithmus ! siehe Tafel B\A ! siehe Tafel

Noch ein interessantes Matroid: Matching für links-knotengewichtete bipartite Graphen Gegeben sei ein bipartiter, gewichteter Graph G=(L [ R, K, w) mit positiven Knotengewichten w(e) für die Knoten aus L. Ein Matching in G ist eine Menge von paarweise disjunkten Kanten. Ein maximales Matching ist eins mit maximalem Gewicht (seiner linken Knoten.)

Das bipartite-Matching Matroid Wähle E=L. Bµ L ist in U, falls es ein Matching mit “linker Seite” B in G gibt. Satz: (E,U) ist ein Matroid. Bew: (i)  2 U (klar) (ii) B 2 U, Aµ B ) A 2 U (klar) Wir müssen die Austauscheigenschaft nachweisen.

Beweis der Austauscheigenschaft Wähle E=L. Bµ L ist in U, falls es ein Matching mit “linker Seite” B in G gibt. Z.z.: Bew: Betrachte die Kantenmengen X und Y, die zu den Matchings für A und B gehören. Betrachte den durch X [ Y induzierten Graphen H. H besteht aus isolierten Kanten, die rot, blau oder rot/blau sein können. disjunkten Wegen, die aus abwechselnd roten und blauen Kanten bestehen. H hat mehr rote als blaue Kanten Also: Es gibt rote isolierte Kante (mit linkem Knoten v 2 B\A) oder Weg der Länge > 1 mit mehr roten als blauen Kanten.

Beweis der Austauscheigenschaft Also: Es gibt rote isolierte Kante (mit linkem Knoten v 2 B\A) oder Weg P der Länge > 1 mit mehr roten als blauen Kanten. Im ersten Fall: A [ {v} 2 U Im zweiten Fall: P hat ungerade Länge, beginnt und endet mit roter Kante v 2 B\A A [ {v} 2 U, da die roten Kanten ein Matching bilden.

Übungsaufgabe Nutzen sie obige Überlegungen, um einen effizienten Algorithmus zur Berechnung eines maximalen Matchings in einem (links Knoten-)gewichteten bipartiten Graphen anzugeben. Bem: Es ist auch nicht zu schwierig, maximale Matchings bzgl. Kantengewichten zu berechnen. (Augmenting Paths Methode; wir kommen darauf später zurück, wenn wir über Flussprobleme reden.) Die zugrunde liegende Struktur ist dann der “Durchschnitt zweier Matroide.”

Thank you for your attention! Friedhelm Meyer auf der Heide Heinz Nixdorf Institute & Computer Science Department University of Paderborn Fürstenallee 11 33102 Paderborn, Germany Tel.: +49 (0) 52 51/60 64 80 Fax: +49 (0) 52 51/62 64 82 E-Mail: fmadh@upb.de http://www.upb.de/cs/ag-madh