The Dynamic Single File Allocation Problem Martina Terbahl

Single FAP / Dynamic FAP primale Heuristik Branch & Bound Inhalt Einführung Single FAP / Dynamic FAP primale Heuristik Branch & Bound Berechnungsergebnisse The Dynamic Single File Allocation Problem

Dynamic Single File Allocation Problem in Verteilten Rechensystemen Einführung Dynamic Single File Allocation Problem in Verteilten Rechensystemen Informationen müssen nicht zentral gespeichert werden Problem: Wo werden die Dateien am kostengünstigsten gespeichert? The Dynamic Single File Allocation Problem

Single FAP (1) gegeben: gesucht: Netzwerk-Topologie Wege zwischen 2 Knoten liegen eindeutig fest gesucht: Anzahl der Kopien einer Datei im System Platz, an dem jede Kopie plaziert werden soll, um die Gesamtoperationskosten zu minimieren The Dynamic Single File Allocation Problem

Operationskosten bestehen aus: Single FAP (2) Operationskosten bestehen aus: Kosten einer Anfrage Kommunikationskosten zwischen Benutzer- und Dateiknoten Aktualisierung einer Datei Zugriff und Aktualisierung jeder Kopie der Datei Aktualisierungskosten können für jede Kopie einer Datei festgelegt werden Abspeicherung einer Datei The Dynamic Single File Allocation Problem

Bedingung: Anfragen und Aktualisierungen treten regelmäßig auf Single FAP (3) Bedingung: Anfragen und Aktualisierungen treten regelmäßig auf Die meisten heutigen Systeme sind aber dynamisch Anfrage- und Aktualisierungsraten ändern sich während der Zeit The Dynamic Single File Allocation Problem

Unterscheidung von 3 unterschiedlichen Systemen Dynamische Systeme Unterscheidung von 3 unterschiedlichen Systemen Wachstum und Rückgang der Anfragen bzw. Aktualisierungen sind voraussagbar Wachstum und Rückgang sind saisonbedingt: Änderungen wiederholen sich in gleichen Intervallen Jedes Intervall ist aufgeteilt, wobei jeder Teil unterschiedliche Anfrage- und Aktualisierungsraten hat anhand historischer Daten sind hier Wachstum und Rückgang voraussagbar Wachstum und Rückgang sind zufällig und damit nicht voraussagbar The Dynamic Single File Allocation Problem

Für jede Periode werden die Dateien neu zugewiesen Dynamic FAP (1) Hier: Betrachtung von saisonbedingten Wachstum und Rückgang Betrachtung einer einzelnen Datei Für jede Periode werden die Dateien neu zugewiesen Operationskosten werden über einen ausgedehnten Zeitraum minimiert The Dynamic Single File Allocation Problem

Anfrage- und Aktualisierungskosten sind vor jeder Saison bekannt Dynamic FAP (2) Anfrage- und Aktualisierungskosten sind vor jeder Saison bekannt beinhaltet Startkosten optimal über den betrachteten Zeitraum deterministisch The Dynamic Single File Allocation Problem

Startkosten Kosten, die in einer Periode auftreten, wenn eine Kopie an einen Knoten kopiert wird, in der in der Vorperiode keine Kopie war besteht aus: Setup-Kosten Übertragungskosten, wenn die Datei von einer anderen Stelle verschoben oder kopiert wird werden als fixe Kosten für jeden Knoten angenommen und sind vorher bekannt. The Dynamic Single File Allocation Problem

DFAP Zielfunktion gesamte Update-/Speicher-Kosten: fit: gesamte fixe Kosten in i in Periode t 1 falls Kopie in i existiert 0 sonst min gesamte Anfrage-Kosten: Cijt: Anfrage-Übertragungs-Kosten von i nach j in Periode t xijt: Anteil der Anfrage von j, den i erfüllt gesamte Start-Kosten: Fi: Start-Kosten in i 1 falls Start-Kosten in i 0 sonst The Dynamic Single File Allocation Problem

Anfrage jedes Benutzers muß komplett erfüllt werden. Nebenbedingungen (1) (1) Anfrage jedes Benutzers muß komplett erfüllt werden. (2) Wenn ein Knoten keine Datei bzw. Kopie enthält, kann er auch keine Anfrage erfüllen. The Dynamic Single File Allocation Problem

Nebenbedingungen (2) (3a) (3b) stellt die Start-Kosten in t sicher, wenn in t-1 keine Datei-Kopie vorhanden war (4) (5) The Dynamic Single File Allocation Problem

Überblick primale Aufgabe (P) duale Aufgabe (D) Unterproblem (SD) Hauptproblem (MD) (SD1) (SD2) ... (SDs) The Dynamic Single File Allocation Problem

Zu einer gegeben primalen Aufgabe: Minimiere Zp=cTx u.d.N. Ax=b; x0 Exkurs: Dualität (1) Definition: Zu einer gegeben primalen Aufgabe: Minimiere Zp=cTx u.d.N. Ax=b; x0 heißt die dazugehörige duale Aufgabe: Maximiere Zd=bT u.d.N. AT   cT Speziell gilt für die optimale Lösung: cTx = bT Satz vom komplementären Schlupf: x ist optimal, wenn (cT - TA)x = 0 Vorteil: weniger Restriktionen The Dynamic Single File Allocation Problem

Exkurs: Dualität (2) ZP LPP ZD LPD The Dynamic Single File Allocation Problem

Primales DFAP Model (Wdh.) min (1) (2) (3a) (3b) (4) (5) u.d.N. The Dynamic Single File Allocation Problem

Duales DFAP Model max u.d.N. aus (1) abgeleitet aus (2) abgeleitet aus (3a), (3b) abgeleitet The Dynamic Single File Allocation Problem

Überblick primale Aufgabe (P) duale Aufgabe (D) Unterproblem (SD) Hauptproblem (MD) (SD1) (SD2) ... (SDs) The Dynamic Single File Allocation Problem

Unterproblem - Hauptproblem u.d.N. Unterproblem max u.d.N. u.d.N. max Hauptproblem The Dynamic Single File Allocation Problem

Überblick primale Aufgabe (P) duale Aufgabe (D) Unterproblem (SD) Hauptproblem (MD) (SD1) (SD2) ... (SDs) The Dynamic Single File Allocation Problem

Aufteilung des Unterproblems Sei p die Anzahl der Perioden Das Unterproblem (SD) wird in ein einzelnes Problem (SDt) für jede Periode aufgeteilt p Probleme, die sich schnell lösen lassen The Dynamic Single File Allocation Problem

Überblick primale Aufgabe (P) duale Aufgabe (D) Unterproblem (SD) Hauptproblem (MD) (SD1) (SD2) ... (SDs) The Dynamic Single File Allocation Problem

Hauptproblem (MD) (1) max u.d.N. IPP LPD ZP ZD()  The Dynamic Single File Allocation Problem

Ziel: finde optimales  Hauptproblem (MD) (2) Ziel: finde optimales  Führe push-flow durch, falls die komplementären Schlupfbedingungen nicht erfüllt sind. The Dynamic Single File Allocation Problem

i verletzt die komplementären Schlupfbedingungen Push-Flow i-1 i it sit i verletzt die komplementären Schlupfbedingungen ausgehend von i wird ein Knoten it mit positiven Schlupf gesucht Der Schlupf bzw. ein Teil vom Schlupf wird von it wird nach i geschoben und damit die ‘s verkleinert bzw. erhöht The Dynamic Single File Allocation Problem

Nested Dual Ascent Procedure (1) a) it  0 b) führe das Unterproblem für jede Periode aus und berechne { } und und daraus { } und . ; Falls STOP   1 a) Für jeden Knoten Falls der komplementäre Schlupf nicht erfüllt ist, dann führe einen push-flow aus. The Dynamic Single File Allocation Problem

Nested Dual Ascent Procedure (2) b) Falls ein verbesserndes  gefunden wurde gehe zu 4 sonst zu 5 a) Führe das Unterproblem (SD) aus und berechne { } und und daraus { } und neu. b) Falls dann The Dynamic Single File Allocation Problem

Nested Dual Ascent Procedure (1) c) Falls dann STOP Falls   p dann   +1 und gehe zu 3 sonst, falls in den letzten p Perioden keine Verbesserung gefunden wurde dann STOP sonst gehe zu Schritt 2 The Dynamic Single File Allocation Problem

Überblick primale Aufgabe (P) duale Aufgabe (D) Unterproblem (SD) Hauptproblem (MD) (SD1) (SD2) ... (SDs) The Dynamic Single File Allocation Problem

Verbesserung des Ergebnisses durch Add-Drop Heuristik Add-Prozedur Primale Heuristik Verbesserung des Ergebnisses durch Add-Drop Heuristik Add-Prozedur falls in i komplementäre Schlupfbedingungen verletzt werden, wird an i-1 eine Kopie eingefügt Drop-Prozedur falls in i komplementäre Schlupfbedingungen verletzt werden, wird an i eine Kopie gelöscht Beide Prozeduren werden auf jeden Knoten ausgeführt. Diejenige, die das bessere Ergebnis liefert, wird übernommen. The Dynamic Single File Allocation Problem

untere Schranke liefert das duale Problem Branch & Bound DFS untere Schranke liefert das duale Problem obere Schranke liefert dementsprechend das primale Problem der Baum entwickelt sich anhand der yit-Variablen, die den komplementären Schlupf am meisten verletzen Der Zweig, für die yit = 0 gesetzt wird, wird als erstes betrachtet The Dynamic Single File Allocation Problem

Berechnungsergebnisse (1) implementiert in FORTRAN gerechnet auf IBM 3090-600E getestet wurden Beispiele zwischen 10 und 30 Knoten mit 2 bis 6 Perioden Die Differenz zwischen primalem und dualem Ergebnis lagen zwischen 2,3 % und 14,2 % Die Differenz zwischen dualem Ergebnis und optimalen Ergebnis lag zwischen 0,3 % und 2,3 % The Dynamic Single File Allocation Problem

Berechnungsergebnisse (2) Die Berechnung mit primaler Heuristik benötigte zwischen 0,011 und 1,39 Sekunden Vergleich mit dem bekannten Algorithmus MPSX/MIP/370 bis zu 100 mal schneller als MPSX Jedes Problem in max. 110 Sekunden gelöst, während MPSX bei größeren Problemen mehr als 20 Minuten brauchte Fazit: Das Verfahren löst das DSFAP in einer Zeit, die auch in der Praxis anwendbar ist. The Dynamic Single File Allocation Problem

Ende