Das Rechnen frühzeitig fördern Annemarie Fritz-Stratmann

Rechenschwäche/-störung Diskussion jeweiliger subjektiver Theorien Was “fasziniert” Sie an dem Thema? Welche Erfahrungen haben Sie mit Rechenstörungen? Anhand welcher Kriterien vermuten Sie Rechenstörungen?

Plan für die drei Tage Vorkenntnisse für´s Rechnen lernen Entwicklung mathematischer Kompetenzen 2. Tag diagnostische Konzepte 3. Tag Was fördern? Wie fördern?

Stand der Forschung Beschäftigung mit LRS - lange Forschungstradition (Ranschburg, 1916) Forschung zum Rechnenlernen „hinkt hinterher“

Vorkommenshäufigkeit Prävalenz von Rechenschwächen (ICD): 3 - 6% Aber: Diskrepanz zwischen Intelligenz und Leistung im Rechnen wird zunehmend in Zweifel gezogen Grund: LRS- mit Diskrepanzkriterium und LRS mit niedriger Intelligenz kein Unterschied in kognitiven Merkmalen und in Sensitivität auf Fördermaßnahmen (Marx et al., 2001)

Iglu: Leistungsschwache STARK GEFÄHRDETE RISIKOGRUPPE Wissen entspricht etwa dem 2. Schuljahr! Mathematik: 20% der Schüler auf Kompetenzstufe I oder II Lesen: 25 % auf Kompetenzstufe I und II Orthographische Kompetenzen: 28.8% auf Stufe I und II

Vergleich: Iglu - Pisa Iglu: andere Länder Pisa: Ende der Sek. I Bis zu 80 Punkte Schlechtere Leistungen Pisa: Ende der Sek. I Fast alle Länder besser „Was auf der Ebene der Grundschule nicht gelingt, lässt sich auf der Ebene der Sekundarstufe I nicht mehr kompensieren. Die auf der Ebene der Grundschule nicht befriedigend gelösten Probleme werden auf der Ebene der Sekundarstufe weiter verschärft" (S.300, Iglu).

Was können Schüler zum Schuleingang?

Studie zu Vorkenntnissen von Schulanfängern Ziffernkenntnis 91% Menge zu einer vorgegebenen Anzahl angeben 77% Vorwärtszählen im Zehnerraum 80% Rückwärtszählen 59% Anzahl bestimmen und angeben 91% Addition 80% (bzw. 64% mit Zählmöglichkeit, 55% ohne) Subtraktion 92% (mit Z., 55% ohne) Halbieren 65% Verdoppeln 33% Anzahlen schätzen 31%

Schulanfang - keine Stunde Null Schulanfänger verfügen bereits über beachtliche arithmetische Kenntnisse ein Mythos? Große Leistungsheterogenität

Vorkenntnisse von Schulanfängern Untersuchungsbefunde: Schulanfänger verfügen über umfangreiche arithmetische Kenntnisse Die mathematischen Kompetenzen von Schulanfängern werden in der Regel von Experten unterschätzt Mythos! Studien geben nur Auskunft über die Prozentsätze richtiger Lösungen, über die Streuung der Leistungen dagegen nicht Interpretation der Untersuchungsergebnisse nur hinsichtlich möglicher Unterforderung Filmausschnitt Mathias

Stabilität von Rechenleistungen Numerische Kompetenzen am Ende der Vorschulzeit Vorhersage Für Rechenleistung bis Ende vierte Klasse (Längsschnittstudie Krajewski, 2003; Stern, 1995) Zählstrategien werden beibehalten von „schlechten“ Erst-, Dritt-, Fünft- und Siebtklässlern (Ostad, 1997) Schwache Rechner weisen Defizite in den Grundkenntnissen auf

Prädiktoren für Mathematik Scholastik-Studie: (Längsschnitt über 14 Jahre) Textaufgabe in Klasse 2 Sagt vorher Matheleistungen im 11. Schuljahr

Stabilität der Matheleistungen

Was sind die einzelnen Komponenten? Wann beginnt das Rechnen lernen in der Entwicklung? Was sind die einzelnen Komponenten?

Erste Vorstellungen von Mengen und Zahlen: intuitive Mathematik Säuglinge (3 Wochen) können Mengen von 2 - 3 Objekten voneinander unterscheiden Säuglinge (6 Monate) zeigten Sinn für Additions- und Subtraktionsaufgaben (Wynn, 1992)

Zahlwortreihe Lu - la - ba - by - lol - li- pop- ta - boo

Aufgaben - Zählen Sie in 2er-Schritten vorwärts - welche Zahl ist größer: pop oder lol - Zählen Sie von by an um ba-Schritte weiter - Zählen Sie von lol an rückwärts Lol Mäuse haben sich in der Burg versteckt. Auf der Flucht Vor der Katze kommen noch by Mäuse hereingestürzt. Wie viele Mäuse befinden sich jetzt in der Burg? Li Mäuse sind in der Burg versteckt. La Mäuse beschließen, sich rauszuschleichen und nachzusehen, ob die Katze noch da ist. Wie viele Mäuse bleiben in der Burg zurück?

Wie sind Sie vorgegangen? Welche Probleme hatten Sie? Kennen Sie ähnliche Probleme bei den Kindern? Welche Teilfertigkeiten gehören also zum Rechnen lernen? (Gruppenarbeit)

Verständnis mehr/weniger größer/kleiner Kenntnis der Zahlwortreihe Verständnis mehr/weniger größer/kleiner Wissen, dass Zahlen in Zahl- wortreihe immer größer werden Verständnis Vermehren/vermindern Wissen, dass Zahl in Zahlwortreihe auch die Menge der vorhergehenden Zahlen umfasst Wissen, dass Mengen zerlegbar sind

Frühindikatoren Rechnen Vorschulalter Schulalter

Grundlegende (kognitive) Als Voraussetzungen für das Rechnen bzw. Indikatoren für Störungen kommen infrage? Grundlegende (kognitive) Fähigkeiten Spezifische Fertigkeiten

Grundlegende kognitive Fähigkeiten Intelligenz visuelle Wahrnehmung Auditive Wahrnehmung Arbeitsgedächtnisleistungen: Wie viel Information kann für kurze Zeit bereitgehalten werden? Präzise Speicherung, schneller Abruf weitere: Konzentration, Arbeitsweisen, Sprache, Motive, metakognitive, selbstregulative, emotionale Prozesse, Begriffsbildung

Lorenz

Bedeutung der unspezifischen Voraussetzungen Argumente: unspezifische Voraussetzungen sind begleitende Bedingungen für verschiedene Störungen Unspezifische Bedingungen

Wirkung spezifischer Voraussetzungen Befund mathematische Leistungen (Krajewski, 2003, auch Lorenz, 2005) Intelligenz Mengen- Vorwissen .69 p = .09 Arbeits- speicher .80 Zahlen- Vorwissen .59 .72 letztes Kindergartenjahr Zahlen- speed .47 .49 Mathe 4. Klasse 52%

Spezifische Voraussetzungen im mathematischen Bereich Erworbenes Wissen im Vorschulalter Wie verknüpfen sich die Teilleistungen?

Entwicklung des Rechnen lernens Anders als beim Schriftspracherwerb existiert kein Entwicklungsmodell über die Stufen der Aneignung beim Rechnen und über die zugrunde liegenden Prozesse

Entwicklung der Zahlwortreihe Entwicklungsstufe Entwicklung der Zahlwortreihe Erwerb der Zahlwortreihe (noch kein Zählen) Lulababylolipoptaboo Aufsagen der Zahlwortreihe zum Auszählen von Objekten Lu - la - ba - by - lol - li - pop - ta - boo

Rechnen ein Umgang mit Mengen Aussagen über Mengenoperationen werden vorgenommen, ohne dass Kinder die Mengen exakt benennen können (=Protoquantitative Schemata) (Resnick & Greeno (1990)

Protoquantitative Schemata ... des Vergleichs Viel, wenig, mehr, größer kleiner ... des Vermehrens / Verminderns Dazukommen, wegnehmen, größer/kleiner werden ... der Teil-Ganzes-Relation Gehört zu ..., ist Teil von

Ausgangspunkt: 2 grundlegende, voneinander unabhängige Schemata Verbal-sequentielles Schema Zählen 1234567 Auszählen 1-2-3-4-5-6 Räumlich-analoge oder protoquantitative Schemata: Vergleichen viel, wenig, größer, kleiner, höher... Vermehren - Vermindern (bei Veränderungen)

Komponenten des Rechenerwerbs Kenntnis der Zahlwort- reihe Verständnis der Seriation Kenntnis der Zahlwortreihe Verständnis der Seriation Verständnis der Begriffe Vergleichen Vermehren/vermindern Mengenvergleiche zählend möglich Additionen und Subtraktionen zählend

Niveau 2: Auszählen von Mengen Lukas hat 2 Bausteine. Paul gibt ihm noch zwei dazu. Wie viele hat er jetzt?

= mentaler Zahlenstrahl (Vergleich von Positionen) Mentaler Zahlenstrahl - ordinaler Strahl Neue Struktur durch Integration von Zahlwortreihe und protoquantitavem Schema des Vergleichs: Aufbau eines mentales Zahlenstrahls (4 Jahre) lu la ba by lol = mentaler Zahlenstrahl (Vergleich von Positionen)

Ordinaler Zahlenstrahl erlaubt Vorstellung der geordneten Zahlwortfolge Objekte auszählen, 1 zu 1 Zuordnung größer oder kleiner was kommt nach 7 und vor 5 Filmausschnitt D.

Erste Addition und Subtraktion Integration von Zahlwortreihe und protoquan-titativem Schemata des Verminderns - Vermehrens Additions- und Subtraktionsaufgaben lösbar,durch Vorwärts- und Rückwärtsgehen auf der verbalen Zahlwortreihe (Fuson 1992, Resnick, 1983). Auszählen jeweils von 1 an ba + lol = ? li - la = ?

Aufgabentypen für Sachaufgaben Anna hat 5 Bausteine. Dann gab ihr Jan noch 2 Bausteine. Wie viele Bausteine Hat Anna nun? Anna hat 5 Bausteine. Jan hat 3 Bausteine. Sie möchten zusammen damit spielen. Wie viele Bausteine haben sie zusammen? Jan hat 7 Bausteine. Er gibt Anna 2 Bausteine ab. Wie viele Bausteine hat Jan dann noch?

Aufbau von Verständnis Zählfertigkeiten und protoquantitative Schemata zunächst voneinander unabhängige Wissenssysteme, die im weiteren Entwicklungsverlauf miteinander verbunden werden müssen (Resnick (1992). Durch die Verbindung entsteht Verständnis über die Beziehungen zwischen Zahlen

Kardinalzahl Elaboration der Zählkompetenz geht dem Verfügen über Mengenaspekt voraus Mit der Integration von Zahlwort und Teile-Ganzes-Schema wird Kardinalzahl entdeckt Übertragung von der Zähl- zur Kardinalzahl (5 Jahre) Last-word-rule Übertragung von der Kardinal- zur Zählzahl Deutlich schwieriger, Übergang setzt das Verstehen voraus, das eine Menge eine bestimmte Mächtigkeit hat, die aus einzelnen Elementen besteht, aus der sie zusammengesetzt ist und in die sie wieder zerlegt werden kann.

Kardinalität - Verstehen der Mächtigkeit by ba la lu la enthält lu ba enthält la, lu.

Fehler durch mangelnde Kardinalität 8 – 4 = ? Antwort: „7“ Begründung: 1 2 3 4 5 6 7 8 Abb. Zu order-irrelevance principle

Kardinalität führt zur Entwicklung eines metrischen Strahls das erlaubt: - Weiter- und Rückwärtszählen, - Welche Zahl ist um 1 größer als 6? - Zähle bis 4, - Gib mir 4 Bonbons aus der Tüte

Abb. Entwicklung kardinaler Zählbedeutung Ebene 2 Ebene 1 Anwendung der Zahlwortreihe auf Objekte Übergang von der Zähl- zur Kardinalzahl: Prozess: Auszählen Kardinalzahl-Prinzip (meistens mechanische Ebene; 4 getrennte Objekte) eins zwei drei vier Zählzahl Kardinalzahl Ebene 3 Übergang von der Kardinal- zur Zählzahl Prozess: Abzählen Erstes Verständnis von Teilmenge Menge von 4 ~ 4 beinhaltet 4 einzelne Elemente + Menge mit der Anzahleigenschaft ‚vier’ = 4 „Gib mir vier“ Abb. Entwicklung kardinaler Zählbedeutung

Mentaler Zahlenstrahl - metrischer Strahl Neue Struktur durch gleiche Abstände lu (+1) la (+1) ba (+1) by (+1) lol = mentaler Zahlenstrahl Gleichabständigkeit)

Integration Zählzahl und Kardinalzahl Zahlenstrahl hat gleiche Abstände Zahlangabe sicher als Mengen Info interpretiert Kinder zählen von einer Menge an die nächste dazu, zählen dies vorwärts und rückwärts Aufgaben: Abzählen – gib mir aus einer Menge 4 Objekte oder auch welche Zahl ist um 1 größer als 4 Filmausschnitt D.

~ gleichmäßiger Aufbau der Zahlreihe: Zahlwortreihe als Anzahl von Zählschritten 4 5 6 vermindern vermehren ~ gleichmäßiger Aufbau der Zahlreihe: immer 1 mehr,

Zahlen werden zählbare Einheiten 3 ist 1,2,3 3 ist auch 4,5,6 Die Affen im Zoo schaukeln. Es gibt 3 Schaukeln und 5 Affen. Wie viele Schaukeln gibt es weniger als Affen?

Relationaler Begriff 3= 1,2,3 auch 4,5,6 auch 7,8,9

Verständnis relationaler Zahlbeziehungen Das Verstehen der Zahlwortreihe als Anzahl von Zählschritten ermöglicht das Verständnis relationaler Zahlbeziehungen: „Hans hat 5 Murmeln mehr als Peter“ 5 als Abschnitt auf dem Zahlenstrahl, der die Relation zwischen zwei anderen Zahlen markiert (zwischen 2 und 7; 4 und 9) (vgl. Stern 1997)

Aufbau weiterführender Strategien: Mengen sind zerlegbar 6 Autos auf 2-3 Flächen aufteilen.

Aufbau weiterführender Strategien durch Teil-Ganzes Protoquantitatives - Schema: Teile-Ganzes 10 9+1 5+3+2 8+2 2+3+2+3 7+3 1+4+2+3 6+4 4+4+1+1 Einsicht, dass Zahlen zerlegbar und aus Teilen zusammensetzbar sind Zunahme von Verständnis über die Beziehungen zwischen Zahlen

Teil-Teil-Ganzes Konzept

Vertiefung des Teile-Ganzes-Konzepts Verständnis der triadischen Struktur Das Teile-Ganzes-Schema spezifiziert die Beziehung zwischen "Zahlentripeln“ 7 2 5 Diese Beziehung bleibt bestehen, egal ob das Problem als 5 + 2 = ?; 7 - 5 = ?; 7 - 2 = ?; 2 + ? = 7; ? + 5 = 7; gegeben wird (vgl. Resnick, 1983).

Begründung Wissen über Zahlstrukturen und -beziehungen entsteht aus der Einsicht, dass Zahlen zerlegbar, bzw. aus Teilen zusammensetzbar sind Beispiel: 25 x 36 = Wie gehen Sie vor? - Was ist ihre spontane Zugriffsweise?

Fortschritt im mathematischen Verständnis Zahlen nicht nur Zählinstrumente oder Instrumente zur Abbildung konkreter Mengen, sondern als Möglichkeit zur Modellierung von Beziehungen zwischen Zahlen

Sachaufgabe Auf dem Spielplatz sind 6 Kinder. 4 davon sind Jungen, der Rest Mädchen. Wie viele Mädchen spielen auf dem Spielplatz?

Sachaufgaben Auf Teile-Ganzes-Schema aufbauend Vorgabe anspruchsvoller TA, die Relationen zwischen Mengen abbilden: Michel und sein Freund Alfred spielen Murmeln. Alfred hat 2 Murmeln mehr als Michel. Zusammen haben sie 10 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Michel? In Evas Regal stehen 168 Bücher. Das Regal hat 3 Fächer. In jedem Fach stehen 10 Bücher mehr als im darunter liegenden. Wie viele Bücher stehen in jedem Fach?

Spezifische Voraussetzungen im mathematischen Bereich Integration von Zählzahl und Menge Zerlegbarkeit von Mengen

Hypothesen: Entwicklungsprobleme beginnen auf Stufe 3: Kinder verknüpfen Mengen und Zahlwortwissen nicht, zählen von 1 an Auffällig rechenschwache Kinder haben noch in der 2. Klasse Stufe 5 nicht erreicht, also nur unzureichendes Wissen über Zerlegung von Mengen

Wählen Sie ein Kind in der Klasse aus, von Arbeitsauftrag Wählen Sie ein Kind in der Klasse aus, von dem Sie annehmen, dass es Schwierigkeiten Beim Rechnen lernen hat. Versuchen Sie so genau wie möglich zu beschreiben was das Kind kann - was es noch nicht kann.

Was ist mathematische Grundbildung? Zur mathematischen Grundbildung gehört nicht nur das Beherrschen von Rechenroutinen. Es geht auch um mathematische Kompetenzen wie: mathematisieren und modellieren Probleme erkennen und lösen Mathematische Darstellungen verstehen über den Einsatz von Mathematik reflektieren

Wissenserwerb als Konstruktionsprozeß Rechnen lernen nicht sukzessiver Erwerb allgemein gültigen Regelwissens; Sondern allmähliche Zunahme von Verständnis über die Beziehungen, die zwischen Zahlen bestehen als aktives Konstruieren von Sinnzusammenhängen durch das jeweilige individuelle menschliche Subjekt (konstruktivistisch-individuelle Rahmung)

Fortschritt im mathematischen Verständnis Zahlen nicht nur Zählinstrumente oder Instrumente zur Abbildung konkreter Mengen, sondern als Möglichkeit zur Modellierung von Beziehungen zwischen Zahlen

Inhalte - Formate - Größe des Zahlen- raums (Anforderungen von Aufgaben) Format: a + b = c Zerlegen von Mengen Beziehungen zwischen Zahlen verstehen Inhalte: Algorithmus Sachaufgaben (z.B. mit lebensweltlichem Bezug)

Aufgabenbeispiel aus VERA Eine Tüte mit Sammelkarten kostet 2.50 Euro. In einer Tüte sind 6 Karten. Tom hat sich schon 30 Karten gekauft. Er kauft noch 8 Tüten. A) Wie viele Tüten hat Tom insgesamt gekauft? B) Wie viel Geld hat Tom für die Sammelkarten ausgegeben?

Aufgabenbeispiel aus PISA Wie kannst Du einen Geldbetrag von genau 31 Cent hinlegen, Wenn Du nur 10 Cent, 5 Cent und 2 Cent Münzen zur Verfügung hast? Schreibe alle Möglichkeiten auf. 7 Brötchen kosten 3.15 Euro. Was kosten 11 Brötchen?

Welche Anforderungen enthält die nachfolgende Aufgabe? Auf einer kleinen Malediveninsel reicht der Frischwasservorrat für 150 Personen 21 Tage. Wie lange reicht der Vorrat, wenn 450 Personen auf der Insel leben? Auf einer Strecke von 900 km verbraucht Herr Fröhlichs neues Auto 54 l Benzin. Wieviel Benzin verbraucht es bei gleichem Verbrauch auf einer Strecke von 300 km?

Welche Anforderungen enthält die nachfolgende Aufgabe? Lukas und seine Schwester Anna sammeln Mangas. Zusammen haben sie 136 Bände. Lukas hat 12 weniger als Anna. Wie viele Mangas hat Lukas, wie viele Anna?