Taylorreihen und Fourierreihen Im Vergleich (Referent: Andreas Luft)

Übersicht Wiederholung der Taylorreihe Beispiel Fourierreihe vorstellen Vergleich

Taylor Brook, Taylor 18 August 1685 Middlesex - 29. Dezember 1731 London Britischer Mathematiker Entwickelte 1708 eine Lösung zum Problem der Oszillation 1715 „Direct and Indirect Methods of Incrementation“ bildete eine Einführung in die Berechnung der Finiten Differenzen. Dadurch konnte die vibrierende Saite auf Basis der Mechanik berechnet werden 1772 entdeckte Lagrange, dass in der Taylorformel die Basis zur Differenzialrechnung steckt

Taylorreihe - Taylorreihe und Taylorpolynom - In der Analysis verwendet man Taylorreihen, um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen Taylor-Formel, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch die sogenannten Taylor-Polynome anzunähern. Taylorreihe = unendliche Summen Nachteil = können nicht in endlicher Zeit errechnet werden, deshalb T-Polynom = endliche Summen (Näherung)

Zur Wiederholung Taylorreihe Instrument um Potenzreihen zu finden aus bel. Funktionen durch simples einsetzen näherungsweise Berechnung von Funktionswerten Allg. Formel: Unsere Formel: f(x)= f(0)+ f′ (o)∙x + f″ (o) ∙x² + ... 2! _ Wozu noch? ->Integration von Funktionen, indem Potenzreihenentw. und anschließend gliedweise Integriert

Taylorreihe Aufgabe: Die Funktion soll in Umgebung der Stelle x0=0 durch eine Parabel ersetzt werden.

Taylorreihe Bild 1

Fourier Jean Baptiste Joseph de Fourier frz. Mathematiker zur Zeit Napoleons Geb. 21. März 1768 bei Auxerre Gest. 16. Mai 1830 in Paris Sohn eines Schneiders Wurde in einer Kriegsschule erzogen und mit 18 Jahren zum Professor ernannt Ging Ende 18. Jhd. mit Napoleon nach Ägypten und übernahm das Sekretariat des Institut d'Egypte Kehrte nach Frankreich zurück wurde zum Baron ernannt und sorgte für die Trockenlegung der Sümpfe von Lyon Seit 1815 in Paris Sekretär auf Lebenszeit der Akademie der Wissenschaften

Fourier Beschäftigte sich auch mit der Wärmeausbreitung in Festkörpern

Fourierreihe Um eine periodische Funktion als Summe von Sinus und Cosinusfunktionen zu schreiben

Fourierreihe Funktion muss nur stückweise stetig sein Erleichterung wenn bekannt ist ob eine Funktion achsensymetrisch (nur cos) oder Punktsymetrisch (nur sin) ist Hauptsächliche Anwendung in der Elektrotechnik Kippschwingung (Kippspannung), Sinusimpuls (Sinushalbwellen eines Einweggleichrichters) Anwendung: CD – Player (A/D), überall wo Musikinstrumente elektronisch nachgebildet werden sollen – also zur digitalen Klangerzeugung

Fourierreihe dabei ist = der Gleichanteil, die Koeffizienten

Fourierreihe Einige Beispiele

Vergleich Taylor versagt wenn die Funktion nicht stetig ist Fourierreihen können nur symmetrische Funktionen berechnen Taylor - kann die Funktion bis ins unendliche darstellen Taylor – Funktion muss differenzierbar sein

Quellen Wikipedia Mathematik A.Fetzer H.Fränkel Mathematik für Ingeneure und ….. Lothar Papula Mathematik für Ingeneure Reißinger