Einführung in die Informationsverarbeitung Teil Thaller Stunde VI: Wege und warum man sie geht Graphen. Manfred Thaller, Universität zu Köln Köln 17. Dezember 2009

I. Einführung 2 Anknüpfungspunkte aus früheren Stunden.

Das Problem 3

A* Algorithmus: Schluß 4

A* formell A = Stapel verwendbarer Felder; B Stapel geprüfter Felder (1) Füge den Startknoten in A ein (2) Wiederhole: (2.1) Wähle den Knoten n mit den niedrigsten Kosten F (n) aus A aus und verschiebe ihn in B (2.2) Für jeden an n direkt angrenzenden Knoten m: (2.2.1)Wenn m nicht betretbar (Hindernis, Wasser, etc.) oder bereits in B ist, ignoriere ihn (2.2.2) Füge m in A ein, wenn er noch nicht enthalten ist (2.2.3) Trage die Kosten F (m) und G(m) ein und vermerke als Vorgänger n bzw. aktualisiere sie wenn m schon enthalten war und ein Weg über n mit kleinerem G(m) gefunden wurde (3) Wenn der Zielknoten in A eingefügt wurde, ist ein Weg gefunden worden. Wenn A leer geworden ist, ohne den Zielknoten zu finden, existiert kein Weg 5

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Ausgangspunkt I Möglichkeit möglichst vieler derartiger Probleme auf eine einzige Klasse von Vorgehensweisen zurück zu führen. 7

Ausgangspunkt II: 8

Königsberger Brückenproblem Frage: Möglichkeit, alle 7 Brücken hintereinander so zu überqueren, dass jede genau einmal – also nicht mehrmals – überquert wird. Leonhard Euler (1707 bis 1783). 9

Abstraktion I 10

Abstraktion II 11

Abstraktion III B A C D 12

Abstraktion IV 13

Ein Graph Knoten (Vertex, Nodes) Kanten (Edges) 14

Definition des Problems Ein Graph G heißt Eulerscher Graph, falls es einen geschlossenen einfachen Kantenzug gibt, der jede Kante von G enthält. Ein solcher Kantenzug heißt dann Eulerscher Kantenzug. 15

Lösung des Problems Sei G ein zusammenhängender Graph. Genau dann ist G ein Eulerscher Graph, wenn jeder Knoten von G geraden Grad hat. 16

Ziele der Graphentheorie in der Informatik (1) Erlaube Aussagen über auf Graphen zurückführbare inhaltliche Probleme. 17

Kopf: (2) Beschreibe direkt die Eigenschaften von Listen, die wir am Tag 2 als eine der grundlegenden Datenstrukturen kennengelernt haben. Schwanz: Ziele der Graphentheorie in der Informatik Atom 1 Atom 2 Atom 3 18

Definitionen I Einfacher, ungerichteter Graph. Auch schlichter Graph. 19

Definitionen … Ist G ein Graph, so sagt man allgemein v ist Knoten (bzw. Ecke) von G, wenn v zu V(G) gehört. Ferner sagt man, falls G ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten ist und e zu E(G) gehört, e ist eine ungerichtete Kante von G, gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten ist und e zu E(G) gehört, e ist eine gerichtete Kante von G, ungerichteter Graph mit Mehrfachkanten ist und E(G)(e) > 0, e ist eine ungerichtete Kante von G, gerichteter Graph mit Mehrfachkanten ist und E(G)(e) > 0, e ist eine gerichtete Kante von G. 20

Definitionen II Einfacher, gerichteter Graph. Kanten hier: gerichtete Kanten, Bögen oder Dikanten. 21

Definitionen III Ungerichteter Graph mit Mehrfachkanten, auch Multigraph. 22

Definitionen IV Knotengefärbter Graph. 23

Definitionen V Kantengefärbter Graph. 24

Definitionen VI Ein verbundener - oder zusammenhängender - Graph. 25

Definitionen VII Ein unverbundener - oder unzusammenhängender - Graph. 26

Definitionen VIII Ein Graph mit einer Schleife 27

Definitionen IX Ein Graph mit einem Zyklus. 28

Definitionen IX Ein Graph mit einem Zyklus. 29

Beziehung: Graphen und Matrizen K1K1 K3K3 K4K4 K1K1 30

Beziehung: Graphen und Matrizen K2K2 K3K3 K4K4 K1K

Konzept Isomorphie I 32

Konzept Isomorphie II 33

Konzept Isomorphie III 34

Konzept Isomorphie IV Zwei Graphen G 1 und G 2 sind isomorph, wenn es eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Ecken von G 2 gibt derart, dass die Anzahl der Verbindungskanten zweier Ecken von G 1 gleich der Anzahl von Verbindungskanten der entsprechenden Ecken von G 2 ist. 35

Anwendung Isomorphie Nachteil: Überschneidungen, Diagramm daher potentiell verwirrend. 36

Anwendung Isomorphie Vorteil: Keine Überschneidungen, Diagramm daher klarer. 37

Weitere Begriffe Grade: Anzahl der Kanten von und zu einem Knoten / allen Knoten. Eingangsgrade und Ausgangsgrade. Maximale / Minimale Eingangsgrade / Ausgangsgrade. 38

Weitere Begriffe Verbundenheit: Ein Graph ist n-verbunden, wenn n Kanten entfernt werden können, ohne dass er unzusammenhängend wird. 39

Beispiel 40

Weitere Begriffe Durchmesser: Ein Graph hat den Durchmesser n, wenn der längste nicht- zyklische Kantenzug zwischen zwei Knoten n Knoten durchläuft. 41

Weitere Begriffe 42 Ein ungerichteter, zusammenhängender Graph ohne Zyklen heisst Baum. D.h., die schwarzen Pfeile im nebenstehenden Diagramm definieren Zeiger nach unserer früheren Definition. Die roten Linien repräsentieren die Kanten im repräsentierten Graphen.

Anwendungen … 43 Semantisches Netz

Anwendungen … 44 P2P Netzwerk

Literatur Im empfohlenen Lehrbuch (Gumm / Sommer, Einführung in die Informatik, Oldenbourg, ) Kapitel 4. Dazu gehörige Programme (Kapitel 4) zum Download. 45

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