Lösung 2.1 Information Wieviele Fragen benötigen Sie beim „Zahlenraten“ 7 nächste_ganze_Zahl_größer( ld n) Eine Nachrichtenquelle sendet Zeichen aus dem Alphabet X = {a,b,c,d} mit den Wahrscheinlichkeiten p(a)=1/4, p(b)=p(c)=1/8 H(x) = p(x) *h(x) = ((1/4*2)+(1/8*3)+(1/8*3)+(1/2*1)) bit = 1,75 bit (2+3+3+1) bit = 9 bit 4 * 1,75 bit = 7 bit 1000 * 1,75 bit = 1750 bit 1000 * H(x) = 1000 * (4 * (1/4 * 2 bit)) = 2000 bit

Lösung 2.2 Huffmann siehe Tabelle rechts: h(x) p(x)(in %) h(x) (in Bit) p(x) * h(x) a 6,51 3,94 0,2566 b 1,89 5,73 0,1082 c 3,06 5,03 0,1539 d 5,08 4,30 0,2184 e 17,40 2,52 0,4390 f 1,66 5,91 0,0982 g 3,01 5,05 0,1521 h 4,76 4,39 0,2091 j 7,55 3,73 0,2814 j 0,27 8,53 0,0230 k 1,21 6,37 0,0771 l 3,44 4,86 0,1672 m 2,53 5,30 0,1342 n 9,78 3,35 0,3280 o 2,51 5,32 0,1334 p 0,79 6,98 0,0552 q 0,02 12,29 0,0025 r 7,00 3,84 0,2686 s 7,27 3,78 0,2749 t 6,15 4,02 0,2474 u 4,35 4,52 0,1967 v 0,67 7,22 0,0484 w 1,89 5,73 0,1082 x 0,03 11,70 0,0035 y 0,04 11,29 0,0045 z 1,13 6,47 0,0731 Lösung 2.2 Huffmann siehe Tabelle rechts: h(x) mittlerer Informationsgehalt: H(x) = 4,06 bit Redundanz bei 8bit-Kodierung (z.B. ASCII mit Parity-Bit): R = L-H = 8 bit - 4,06 bit = 3,94 bit r = R/L = 0,49

Lösung 2.2 Huffmann c) Beispiele: a 0101 b 000010 c 01000 d 1111 e 001   p(x) (in %) a 6,51 b 1,89 c) Beispiele: a 0101 b 000010 c 01000 d 1111 e 001 f 000001 ... c 3,06 q x o w m g d 5,08 e 17,40 qx (0,05) y ow (4,40) u gm (5,54) t h d f 1,66 g 3,01 qxy (0,09) j ouw (8,75) n gmt (11,69) dh (9,84) h 4,76 ... ... ... ... i 7,55 jqxy (0,36) v nouw (18,53) dghmt (21,53) j 0,27 o 1 k 1,21 jqvxy (1,03) p z k dghmntouw (40,06) l 3,44 jqpvxy (1,82) f b kz (2,34) m 2,53 n 9,78 fjqpvxy (3,48) bkz (4,23) c l o 2,51 p 0,79 bfjkqpvxyz (7,71) i cl (6,50) a r s 1 q 0,02 ... o r 7,00 bfijkqpvxyz (15,26) e acl (13,01) rs (14,27) s 7,27 o ... ... ... t 6,15 befijkqpvxyz (32,66) aclrs (27,28) u 4,35 o 1 v 0,67 abcefijklqprsvxyz (59,94) o w 1,89 x 0,03 Die Bezeichnung der Kanten mit 0 oder 1 ist willkürlich y 0,04 z 1,13

Lösung 2.2 Huffmann H(x) = 4.,06 bit L = 4,1 bit R = L-H = 0,04 bit p(x) (in %) l(x) p(x)*l(x) a 6,51 4 0,2604 b 1,89 6 0,1134 c 3,06 5 0,1530 d 5,08 4 0,2032 e 17,40 3 0,5220 f 1,66 6 0,0996 g 3,01 5 0,1505 h 4,76 4 0,1904 j 7,55 4 0,3020 j 0,27 9 0,0243 k 1,21 7 0,0847 l 3,44 5 0,1720 m 2,53 5 0,1265 n 9,78 3 0,2934 o 2,51 5 0,1255 p 0,79 7 0,0553 q 0,02 11 0,0022 r 7,00 4 0,2800 s 7,27 4 0,2908 t 6,15 4 0,2460 u 4,35 4 0,1740 v 0,67 8 0,0536 w 1,89 5 0,0945 x 0,03 11 0,0033 y 0,04 10 0,0040 z 1,13 7 0,0791 Lösung 2.2 Huffmann H(x) = 4.,06 bit L = 4,1 bit R = L-H = 0,04 bit r = R/L = 0,01

Lösung 2.3 Hamming Hamming-Distanz bei ASCII-Code Hamming-Codierung für 0000 - 1111 D=3 (durch Vergleich der Distanz zwischen allen Codes) 2-bit Fehler können erkannt werden 1-bit Fehler können korrigiert werden 0000000 1001011 0000111 1001100 0011001 1010010 0011110 1010101 0101011 1100001 0101100 1100110 0110011 1111000 0110100 1111111

Lösung 2.3 Hamming Betrachten Sie den mit der Hamming-Methode codierten Code für „1000“ 1001011 P-Bits falsch => Fehler bei bit 1001010 1 1 1001001 2 2 1001111 1,2 3 1000011 4 4 1011011 1,4 5 1101011 2,4 6 0001011 1,2,4 7 Kippen von Bit 1 und Bit 6: 1101010 1,2,4 7 es wird ein Fehler erkannt (gut !). Allerdings wird der Fehler bei Bit 7 erkannt, wobei der Code bei der Korrektur also fälschlicherweise zu 0101010 korrigiert wird, statt zu 1001011

Lösung 3.1 Zahlensysteme Die Duodezimalindianer haben zwölf Finger Berechnen Sie nach dem Zahlensystem der Duodezimalindianer die wichtigsten Werte des täglichen Lebens: 21012g Pizza Eine Flasche Bier (0,612 bzw. ca. 0,3B62A68781B05912 Liter) ALDI ca. 2,B4972497249724 € Bin: 100101100 0,1 0,01010100011110101110000 10,111100 Okt: 454 0,4 0,25075341217270243 2,74631 Hex: 12C 0,8 0,547AE147AE145 2,F333333

Lösung 3.1 Zahlensysteme Grundrechenarten 568110 : 1910 = 299 1011000110001 : 10011 = 100101011 38 10011 188 00011001 171 10011 171 0011010 171 10011 000 11100 10011 10011 10011 00000 100101011 * 10011 100101011 100101011 100101011 1011000110001

Lösung 3.1 Zahlensysteme 0,110 2 · 0,1 = 0,2 --> Ziffer: 0 2 · 0,2 = 0,4 --> Ziffer: 0 2 · 0,4 = 0,8 --> Ziffer: 0 2 · 0,8 = 1,6 --> Ziffer: 1 2 · 0,6 = 1,2 --> Ziffer: 1 2 · 0,2 = 0,4 --> Ziffer: 0 2 · 0,4 = 0,8 --> Ziffer: 0 2 · 0,8 = 1,6 --> Ziffer: 1 ... Also: 0,000110011001100... 44 65 72 20 42 61 6C 6C 20 69 73 74 20 72 75 6E 64 2E ASCII: Der Ball ist rund. LongInt 1147499040 1113681004 543781748 544372078 1680736256 (mit 0en aufgefüllt) ......

Lösung 3.1 Zahlensysteme Subtraktion durch Addition des Zweierkomplementes 0 -1 -2 -3 0000 1111 1110 1101 4 0100 0100 (1)0011 (1)0010 (1)0001 3 0011 0011 (1)0010 (1)0001 (1)0000 2 0010 0010 (1)0001 (1)0000 1111 1 0001 0001 (1)0000 1111 1110 0 0000 0000 1111 1110 1101 -1 1111 1111 (1)1110 (1)1101 (1)1100 -2 1110 1110 (1)1101 (1)1100 (1)1011 -3 1101 1101 (1)1100 (1)1011 (1)1010 -4 1100 -5 1011 -6 1010

Lösung 3.2 Gebrochene Zahlen  = 3,14159265358979311...10 = 11,00100100001111110110101010001000100001011010001100...2 Mantisse Exponent 0,1100100100001111110110102 * 22 VEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM 01000000010010010000111111011010 Maximalwerte (bei bias = 126): größte negative 1 11.10 111...11  - 1 * 2127 kleinste negative 1 00..0 000...01 = - 2-23 * 2-126 = - 2-149 kleinste positive 0 00..0 000...01 = 2-23 * 2-126 = 2-149 größte positive 0 11.10 111...11  1 * 2127 Number sign exponent mantissa normalized number 0/1 01 to FE any value denormalized number 0/1 00 any value

Lösung 3.3 IEEE 754