13 2. Eine Anwendung der Spline-Glättung in der Versicherungsmathematik: Geographische Prämienschätzung durch räumliche Whittaker-Glättung 2.1 Vorbemerkungen Daten, deren Risiko ortsbedingt variiert (wie z.B. Diebstahl-Raten in der Hausratsversicherung) können fehlerhaft sein. Um eine Zuverlässige Schätzung dieser Daten zu erlangen, muss eine räumliche Glättung vorgenommen werden. Hierzu wird in der Versicherungs-Mathematik Whittaker-Graduation angewandt.

14 Unterteilung des Beobachtungsfensters in Postleitzahlengebiete. Fehler in den beobachteten Daten Unterschiede des Risikos in benachbarten Postleitzahlengebieten Diese Fehler müssen geglättet werden um den Einfluss des zugrundeliegenden geographischen Merkmals realistisch zu schätzen. 1989: Taylor wandte 2-dimensionale Spline-Funktionen auf dieses Problem an 1994: Boskow und Verall: Glättung der Daten benachbarter Regionen, die Fehler berücksichtigt. Hier wird nun ein ähnliches, aktuariell anerkanntes Verfahren vorgestellt, das einen Kompromiss zwischen Glätte und genauer Anpassung an die Beobachtungsdaten schließt.

Modell und Notation Wir betrachten eine Zufallsvariable X t 1,...t n, die durch n (n N) Parameter charakterisiert wird. Dabei bezeichne ein Parameter (z.B. t 1 )die räumlichen Koordinaten (x 1,x 2 ). Sei (n N) (Bei diesem Modell stellt die Zufallsvariable X t 1,...t n beispielsweise die Forderungs-Häufigkeit dar, und die Koordinaten ( x 1,x 2 ) repräsentieren das Zentrum einer Postleitzahlenregion)

16 Wir beschränken uns nun hier auf 3 Parameter i, j, k; Sei i = t 1, j = t 2, k = t 3, wobei i die räumlichen Koordinaten (x 1,x 2 ) der Postleitzahlenregion, und j und k andere, ortsunabhängige Einflussfaktoren (z.B.:Alter, Geschlecht einer Person) bezeichnen. Durch spezifische Werte von i, j, k wird nun eine Menge von Daten definiert. (Dabei seien die N ijk deterministische Größen; z.B. Dauer der Prämienzahlungen) Sei

17 Wir nehmen nun an, dass man den Erwartungswert folgendermaßen zerlegen kann: Dabei gehen wir davon aus, dass die jk aus früheren Schätzprogrammen bekannt sind und die i zu schätzen sind.

18 Definiere: (Dabei können die Y i als normierte Summe von Beobachtungen in der Region i aufgefasst werden.) Es gilt ==> Y i isoliert den Einfluss räumlicher Faktoren. Es wird angenommen, dass gilt Wobei ²>0 und

19 Beispiel: Seien N ijk X ijk unabhängig und Poisson-Verteilt: N ijk X ijk ~ Poi(N ijk ijk ) (dabei bezeichne X die Forderungs-Häufigkeit) Dann gilt: Wobei Wir werden nun i = (x i ), und Y i = Y(x i ) (x i R²) schreiben; da,Y: R² R Funktionen der räumlichen Koordinaten darstellen.

Whittaker-Glättung Historisches Whittaker entwickelte 1923 die Whittaker-Graduation 1932 wurde sie von Henderson in die aktuarielle Literatur eingeführt; anfangs nur 1-dimensionale Glättung; McKay und Wilkin verallgemeinerten das Verfahren auf 2 Dimensionen

21 Wir betrachten nun Punkte x i R²; Ziel der Whittakerglättung ist es glatte Schätzer f(x i ) für Y(x i ) zu finden. Wir Definieren ein Maß des Fehlers der beobachteten Daten: Die Menge{N i } als Menge von Gewichten zu verwenden ist dabei durchaus sinnvoll, da Var[Y i ]= ²/N i. (verallgemeinerte Methode der kleinsten Quadrate Gewichte w i =1/Var(x i ) )

22 Definiere: F = D +pJ Wobei J ein passendes Maß der Glätte von f(·) ist und p (p>0) eine Relativitätskonstante. vgl. Minimierungsproblem der Spline-Glättung Diese Konstante wird oft erfahrungsgemäß gewählt, obwohl es auch analytische Methoden gibt (Taylor (1992) und Verall (1993)) Kern der Whittaker-Glättung ist also {f (x i )} so zu wählen, daß F minimiert wird.

23 J hat dabei folgende Form: Mit f=f(x 1,x 2 ) Näherungsweise gilt dann mit und wobei e 1 =(1,0) und e 2 =(0,1)

Anwendung Wir sind bisher davon ausgegangen, dass die Punkte x i, an denen Werte vorliegen, in einem gleichmäßigen Gitter angeordnet sind. In der Realität sind die Punkte aber (meist) unregelmäßig verteilt, es lässt sich also keine Struktur erkennen. Problem: Wie sollen die Differenzen ² pq f(x i ) berechnet werden? Im Gitter-Modell waren sechs Werte von Y erforderlich, um die 3 Terme ² pq f(x i ) an einem festen x zu bestimmen. Wir brauchen also 6 Punkte, um f lokal durch eine quadratische Form Q x i (·) zu approximieren.

25 Eine mögliche Lösung wäre 5 Punkte nahe bei einem festen x i zu wählen, um eine quadratische Form an diese 6 Punkte anzupassen. Problem dabei: Hohe Sensibilität gegenüber Messfehlern an diesen Punkten große Unterschiede zwischen Funktionen Q x i (·), die durch verschiedene Punkte definiert werden. Alternative: Q x i (·) wird durch mehr als 6 Punkte bestimmt; sei m (m>6) die Anzahl dieser Punkte.

Anpassen einer quadratischen Funktion an m Punkte Betrachte eine quadratische Funktion Q: R² R. Seien x 1,...x m R² und y 1,...,y m R die beobachteten Werte : Explizit ausgeschrieben: mit x=(x 1,x 2 ), und gilt:

26 Also Durch Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate erhält man den folgenden Schätzer q^ von q: ^ q^=Ay, Wobei A=(X T X) -1 X T, y=( y 1,...,y m ) T und X ist eine m 6 Matrix, die den Vektor [x j ] T in der j-ten Zeile hat.

Berechnen des Glättemaßes J Sei Mit x=(x 1,x 2 ) T, Koeffizientenvektor q und mit Seien x x i 1,...x x i m die m Punkte, die x i am nächsten liegen, mit x x i 1 = x i, und sei f x i =[f(x x i 1 ),...,f(x x i m )] T Vorher haben wir gesehen, dass q x i =A x i f x i, wobei A=(X x i T X x i ) -1 X x i T und X x i eine m 6 Matrix, die den Vektor [x j ] T in der j-ten Zeile hat.

29 Nun muss q x i =A x i f x i, anders geschrieben werden: q x i =B x i f Wobei f=[f( x 1 ),...,f(x n )] der Vektor ist, der alle beobachteten Werte Y(x i ) enthält, i=1,...,n; Und B x i ist die 6 n Matrix, die die m Spalten von A x i an derselben Stelle enthält, an der die m Komponenten von f x i in f vorkommen, und in allen anderen Spalten den Nullvektor stehen hat. Nun können die ² pq f(x) näherungsweise durch die entsprechenden Differenzen der Q x (x) berechnet werden, welche durch die ersten drei Komponenten von q x gegeben sind: (~ steht hier für nimm die ersten 3 Zeilen von)

30 Nun lässt sich J(x i ) als Quadratische Form von q x i ausdrücken: mit C=diag(1,2,1) Mit : Also ist J= J(x i ):

Whittaker-Glättung Das Whittaker-Kriterium F=D+pJ kann man auch in Matrix-Form schreiben: mit Durch Differenzieren nach f und Gleichsetzen der Ableitung mit Null, erhält man den glatten Vektor

32 Da F quadratisch ist in Y und f, löst eine Skalenveränderung in Y dieselbe Skalenveränderung in f aus, vorausgesetzt, p wird passend geändert. Dies erlaubt das nützliche Hilfsmittel, Y i durch zu ersetzen, wobei der Gesamtdurchschnitt aller i ist. Dadurch werden die Beobachteten Werte von Y i um die 1 verschoben, und für Erwartungswert und Varianz gilt nun:

Beispiel Beispiel Die folgenden Karten zeigen Residuenverhältnisse einer Regression. Die Residuenverhältnisse sind wie folgt definiert: Modell: X ijk : Forderungshäufigkeit Die Y i wurden wie oben beschrieben verändert, so dass sie alle um die 1 verteilt liegen. Die Legende zeigt die Residuenverhältnisse r in Prozent. m=10.

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