Sicherheitsäquivalent der Lotterie L sicheres Vermögen CE(L), das dem Haushalt genauso lieb ist wie die Lotterie L, d.h. L ~ [CE(L), 1] falls die Präferenzen des Entscheiders eine Darstellung durch eine vNM-Nutzenfunktion u besitzen EL(u) = u(CE(L))

Risikoprämie der Lotterie L Differenz von Erwartungswert EL und Sicherheitsäquivalent CE(L) RP(L) = EL - CE(L) Zahlungsbereitschaft für eine faire Vollversicherung (p = g, d.h. Budgetgerade ist die Kurve gleichen Erwartungswertes)

Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie, graphisch Vermögen ohne Schaden, x2 RP(L) CE(L) EL Vermögen im Schadensfall, x1

Aufgabe: Ermitteln Sie für die unten stehende Lotterie L und die skizzierte vNM-Nutzenfunktion u graphisch Erwartungs- wert, Sicherheitsäquivalent, Risikoprämie, den erwarteten Nutzen und den Nutzen des Erwartungswertes! u(x) u(x) 10 100 Vermögen x

Lösung: Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie u(x) u(x) u(EL) EL(u) = u(CE(L)) RP(L) 10 CE(L) EL =70 100 Vermögen x

Aufgabe: Wert der Information Sarah steht vor der Entscheidung entweder Kinderärztin zu werden oder aber Angestellte der Rentenversicherung. Als Angestellte kann sie mit einem sicheren Einkommen in Höhe von 40.000 Euro pro Jahr rechnen. Ihr Einkommen als Kinderärztin hingegen hängt davon ab, ob es einen Babyboom gibt oder nicht. Im Falle eines Babybooms könnte sie ein Einkommen von jährlich 100.000 Euro erzielen, andernfalls nur eines von 20.000 Euro. Die Wahrschein- lichkeit eines Babybooms liegt bei 1/2, und Sarahs vNM-Nutzen- funktion ist durch u(x) = x gegeben. a) Wie sollte sich Sarah entscheiden? b) Das Institut für angewandte Demographie (IAD) kann das Eintreten oder Nichteintreten eines Babybooms präzise vorhersagen. Wieviel ist Sarah jährlich maximal für diese Information zu zahlen bereit? c) Veranschaulichen Sie die Sachverhalte aus (a) und (b) graphisch!

Lösung: Wert der Information #1 (b)

Wert der Information #2 (c) Lösung: Wert der Information #2 (c) Einkommen bei Babyboom (in 1000 Euro) Einkommen ohne Babyboom (in 1000 Euro)

Selbständigkeit (1) Daraus lesen wir: Zwei Handwerker (Andreas und Bernd) konkurrieren täglich um einen Auftrag. Der „Sieger“ macht einen Gewinn von 64, der Verlierer geht leer aus. Es herrscht Chancengleichheit. Die vNM-Nutzenfunktionen sind ebenfalls bekannt: Daraus lesen wir:

Selbständigkeit (2) Lösung: Berechnen Sie den Erwartungswert der Lotterie, den erwarteten Nutzen von Andreas und Bernd! Lösung:

Selbständigkeit (3) Lösung: Lösung: Welches Gehalt müßte man Andreas und/oder Bernd geben, damit sie sich anstellen ließen? Würde es sich für Andreas lohnen, Bernd einzustellen? (Hinweis: als einziger Anbieter bekäme er den Auftrag mit Sicherheit) Lösung: Lösung: Ja, denn

Öffentliche Gärten? (1) Die Familien Apfel, Birne und Clementine wohnen jeweils auf einem eigenen Grundstück. Sie leben von der Luft und der Liebe. Erstere „konsumieren“ sie in ihren Gärten (für deren Pflege sie arbeiten müssen), letztere in ihrer Freizeit. Ihre Nutzenfunktionen lauten: Gartenpflege ist sehr aufwendig: um 1m² Garten zu pflegen, benötigt eine Familie täglich eine Stunde. (Jeder Tag hat 24 Stunden.) Wie viele Stunden verwendet jede Familie für ihren Garten? Wie hoch sind die Nutzen. Daraus lesen wir: w=pF=pG

Öffentliche Gärten? (1a) Wie viele Stunden verwendet jede Familie für ihren Garten? Berechnen Sie auch die Nutzenwerte! Lösung:

Öffentliche Gärten? (1b) Alternativ hätten wir auch den Standard-Ansatz verwenden können: Durch Einsetzen in die Budget-Restriktionen erhalten wir:

Öffentliche Gärten? (2) Apfel und Birne überlegen, zusammenzuziehen. Sie würden ihren (größeren?) Garten gemeinsam nutzen. Lohnt sich das? Würde die Äpfel lieber mit den Clementinen zusammenziehen? Lösung: Pareto-Optimalität verlangt: Wir gelangen zu unten stehender Bedingung für die Pareto-Optima. Bei jedem Pareto-Optimum kann sich jedoch eine Familie durch einseitiges Abweichen besser stellen (auf Kosten der anderen Familie). Deshalb wollen wir das Ganze spieltheoretisch betrachten.

Öffentliche Gärten? (2a) (mittels Spieltheorie) Apfel und Birne überlegen, zusammenzuziehen. Sie würden ihren (größeren?) Garten gemeinsam nutzen. Wir suchen also nach einer (od. mehreren) Lösung(en), bei der keine Familie sich anders verhalten möchte. (Nash-Gleichgewicht, Def. siehe Buch). Wir werden also verlangen, daß jede Familie sich in ihrem privaten Optimum befindet (MRS=Preisverhältnis) - wohlwissend, daß dann die Summe der individuellen Zahlungsbereitschaften für das öffentliche Gut größer ist als im Pareto-Optimum. Wir wissen: Bei Gärten als öffentliches Gut lautet die Budgetrestriktion: Folglich: weil FB gegen die Budgetrestriktion verstößt, kommt es zu einer Randlösung:

Öffentliche Gärten? (2b) (mittels Spieltheorie) Lohnt sich das? Wir erhalten folgende Nutzenwerte: Das Ganze lohnt sich also nur für Familie Birne, die sich daran erfreut, daß die Äpfel den Garten so schön pflegen.

Öffentliche Gärten? (2c) (mittels Spieltheorie) Würde die Äpfel lieber mit den Clementinen zusammenziehen? Wir berechnen zunächst die Lösung für die Wohngemeinschaft Apfel-Clementine und vergleichen den Nutzen der Äpfel mit der vorigen Lösung. Wir wissen: Bei Gärten als öffentliches Gut lautet die Budgetrestriktion: Folglich: Die Äpfel würden also viel lieber mit den Clementinen zusammenziehen (weil diese sich an der Gartenpflege beteiligen).

Öffentliche Gärten? (3) (mittels Spieltheorie) Und was ist, wenn alle in einem Haus wohnen? Wir berechnen zunächst die Lösung für die Wohngemeinschaft Apfel-Clementine und vergleichen den Nutzen der Äpfel mit der vorigen Lösung. Wir wissen: Auch hier sind die Birnen wieder viel zu „faul“, beteiligen sich also nicht an der Gartenpflege (warum auch?!). Die Randlösung lautet: