Geschichten aus der 4.Dimension Eine Einführung in mehrdimensionales Denken von Erwin Rybin, Mai 2007

Was bedeutet 4.Dimension? Es handelt sich um eine 4. RAUMdimension, d.h. so wie wir vom Übergang von 2d auf 3d die z-Achse einführen, müssten wir eine neue Achse einführen. Diese ist nicht vorstellbar, aber theoretisch behandelbar Man kann Analogien suchen, z.B. unseren neuen Freund FLACHI

Übergang von 2d auf 3d Neue Achse normal auf x und y-Achse

Übergang von 2d auf 3d Aus einem Quadrat wird ein Würfel:

Übergang von 2d auf 3d Aus einem Kreis wird eine Kugel

Übergang von 2d auf 3d Aus einem gleichseitigen Dreieck wird ein Tetraeder

Übergang von 2d auf 3d Aus einem Flachlandwesen wird ein Mensch  Flachi Euer Lehrer

Flachis Land & Flachis Haus Flachi lebt in Flachland, in einem Haus mit 6 Zimmern:

Flachis Sicht der Welt So wie wir Menschen eigentlich nur Flächen sehen (darum haben wir im Kino und beim Fernsehen so einen lebensechten Eindruck) So sieht Flachi nur Linien:

Flachis Liniensicht Um das besser zu verstehen: Legt verschiedene Münzen auf einen Tisch und seht sie Euch dann von der Tischkante an  Ihr bemerkt sicher, dass ihr von den Münzen fast nur Linien seht, aber trotzdem könnt ihr sie durch Länge & Farbe unterscheiden!

Ein 3-dimensionaler Gegenstand in Flachis 2d-Welt Stellt Euch nun vor, ihr würdet einen Gegenstand, z.B. eine bunte Vase durch Flachis Welt stecken und auf- und ab bewegen:

Ein 3-dimensionaler Gegenstand in Flachis 2d-Welt Flachi würde nur bunte Linien sehen, die sich im Lauf der Zeit verändern:

Ein 3-dimensionaler Gegenstand in Flachis 2d-Welt Indem er sich um die Vase bewegt, merkt er dass die Linien immer gleich lang sind Er schließt daraus, dass es sich bei den Linien, die er sieht, um Kreise handelt WARUM? (Denke an die Münzen am Tisch)

Wir falten Flachis Welt: Stellt Euch vor, in Flachis Haus sind die Zimmer nummeriert: 5 4 3 2 6 1

Wir falten Flachis Welt: Flachi kann von Zimmer 1 nur in Zimmer 2 gehen; um von 2 in 5 oder 6 zu kommen, muss er zuerst in Zimmer 3 gehen 5 4 3 2 6 1

Wir falten Flachis Welt: Wir falten nun Flachis Haus in die 3. Dimension; wir erhalten dabei aus 6 Quadraten einen Würfel

Wir falten Flachis Welt:

Wir falten Flachis Welt: Probiert diese Faltung von Flachis Haus nun selbst an einem Papiermodell aus! Ihr seht: Flachi kann nun von Zimmer 1 auch in die Zimmer 4, 5 und 6 gehen! Er kann auch direkt von Zimmer 2 in 5 oder 6 gehen!

Flachis Faltung Dabei muss sich Flachi freilich selbst falten. Als 2d-Wesen nimmt er den Vorgang aber nicht als Faltung in der 3.Dimension war

Flachis Faltung Flachi sieht, dass sein halber Körper plötzlich verschwindet und später wieder auftaucht Er geht durch ein Fenster und ist statt im Freien in einem anderen Zimmer Flachi ist reichlich verwirrt – wer kann ihm erklären, was geschah?

Flachi in der 3d-Welt Wie wir zuvor schon gesehen haben, nimmt Flachi alle Elemente als Linien wahr So wie wir sieht er nur die äußere Begrenzung der Gegenstände, er kann nicht hineinsehen

Flachi in der 3d-Welt Wenn wir Flachi in unsere 3d-Welt bringen, würde er ganz neue Dinge in seiner Welt sehen, er sieht zwar nach wie vor nur Linien:

Flachi in der 3d-Welt Aber in den Linien kann er erkennen, wie die Dinge von INNEN aussehen Er sieht den QUERSCHNITT seiner 2d-Welt!

Flachi in der 3d-Welt Wichtig ist aber, dass wir Flachi in der 3.Dimension gut beschützen… sonst würden ihm sofort die Augen herausfallen, da sie keine Unterlage haben

Gedankensprung in die 4.Dimension Genauso wie sich Flachi keine 3.Dimension vorstellen kann, können wir uns keine 4. Dimension vorstellen Wir können aber mathematisch berechnen, welche Eigenschaften 4-dimensionale Körper wie Hyperkugel, Hyperwürfel o.ä. haben würden

Gedankensprung in die 4.Dimension So wie wir 3-dimensionale Objekte durch 2-dimensionale Flächen begrenzen können (z.B. 6 Quadrate für einen Würfel) So wären 4-dimensionale Hyperkörper durch 3-dimensionale Körper begrenzt (z.B. 8 Würfel für einen Hyperwürfel)

Gedankensprung in die 4.Dimension Wie würden wir 3-dimensionale Menschen es bemerken, wenn ein 4-dimensionales Wesen mit uns Kontakt aufnimmt? z.B. eine 4-dimensionale Vase in unsere Welt hält? z.B. unser Haus faltet?

Unser Haus Stellt Euch vor, wir leben in einem Haus mit 6 Zimmern, Keller(7) und Dachboden(8)

Unser Haus Unser Haus sieht damit Flachis Haus ähnlich, nur ist es 3-dimensional

Unsere Sicht der Welt Wir sehen aus unserer Welt immer nur einen 2-dimensionalen Ausschnitt (vergleiche dazu Foto oder Film) Um die Rückseite eines Objektes sehen zu können, müssen wir uns im Raum (der ist ja 3-dimensional) bewegen

Eine 4-dimensionale Vase So wie Flachi von einer 3d-Vase nur die Teile sieht, die sich gerade in seiner 2d-Welt befinden (d.h. er sieht Linien und bemerkt durch herumgehen, dass es sich im Kreise handelt) So sehen wir von einer 4d-Vase nur die Flächen (und durch herumgehen merken wir, dass es sich um Kugeln handelt)

Eine 4-dimensionale Vase Im Lauf der Zeit ändert die Kugel Größe und Farbe

Die 4d-Faltung unseres Hauses Unser Haus hat ja 6 Zimmer, Keller(7) und Dachboden(8) Um in den Keller (7) zu gelangen, müssen wir zuerst in die Zimmer 1, 2, und 3 gehen

Die 4d-Faltung unseres Hauses Wenn das 4d-Wesen unser Haus falten würde (zu einem Hyperwürfel), könnten wir vom Eingang direkt in den Keller gehen WARUM?

Unsere Welt aus der 4.Dimension So wie Flachi aus der 3. Dimension nach wie vor nur Linien (also 1-dimensional) sieht, könnten auch wir aus der 4. Dimension nur Flächen sehen – allerdings würden wir den QUERSCHNITT der Objekte sehen! Und wir hoffen dabei, dass das 4-Wesen gut auf uns aufpasst, damit unser Körper nicht in der 4.Dimension zerfällt (WARUM?)

Unsere Welt aus der 4.Dimension Wir würden aus der 4.Dimension den QUERSCHNITT der Objekte sehen! Warum? (Denke dabei, wie Flachi die 3d-Welt wahrnimmt)

Wiederholung: Im Haus

Wiederholung: Die Vase

Wiederholung: Die Faltung

Wiederholung: In der höheren Dimension

Lesetipps Edwin A. Abbott: Flächenland Ian Stewart, Thomas Filk: Flacherland, Die unglaubliche Reise der Vikki Line durch Raum und Zeit