Methoden und Techniken zum mathematischen Problemlösen- lernen Prof.Dr. Regina Bruder TU Darmstadt Braunschweig 13.05.2003

Ausgangssituation Mathematisches Problemlösen gilt (nicht erst seit TIMSS und PISA) als defizitär, zählt aber nach WINTER zu den drei Grunderfahrungen, die den allgemeinbildenden Charakter des Mathematikunterrichts legitimieren. Worum geht es im MU? Was soll gelernt werden? Warum gerade das?

Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Bedeutung für den MU Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, behalten und angewendet werden können? Mathematische Gegenstände ... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art ... begreifen. Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) Erscheinungen der Welt um uns ... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Bedeutung für den MU Vertiefung: Problemlösen trägt zu einem adäquaten Mathematikbild bei (Mathematik als sich etwas Entwickelndes, Fehler und Irrtümer gehören dazu) ist ein wichtiges Element, um neues Wissen zu generieren; liefert Einsichten in Wege zur Erkenntnisgewinnung (POINCARE) hat wertvolle Alltagsbezüge: fördert geistige Beweglichkeit (Kreativität), logisches Strukturieren und Analysieren und vermittelt Metakompetenz (triadisches Denken) durch Strategiewissen

Problemlösen heißt Fragen stellen Grundverständnis Problemlösen heißt Fragen stellen Probleme, die nicht verstanden wurden, können auch nicht gelöst werden Worum geht es? Erfolgreiches Problemlösen setzt solides Basiswissen voraus Was weiß ich alles schon im Zusammenhang mit dem Problem? Problemlösen hat eine experimentelle Komponente - erfordert „Ausprobieren“ Problemlösen heißt Schwierigkeiten überwinden Welche Methoden und Techniken stehen mir zur Verfügung?

Grundverständnis Problem solving meint: Aufgabenlösen in einem umfassenden Sinne Aufgaben sind Aufforderungen zum (Lern-) Handeln Eine Aufgabe wird für ein Individuum dann zu einem Problem, wenn sie ungewohnt erscheint und nicht sofort eine erfolgversprechende Lösungsidee parat ist... Problemlösen lernen meint insbesondere: Methoden zum Lösen individuell schwieriger Aufgaben kennen und anwenden lernen...

Lernziel und Lernchance im MU: Lernziele im MU Lernziel und Lernchance im MU: Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) Weg zur Umsetzung: Zielkonkretisierung über Teilhandlungen des Problemlösens Theoretisches Konzept zum Problemlösenlernen entwickeln und erproben (DFG-Projekt) Unterrichtskonzept zum Problemlösenlernen in die Aus- und Fortbildung und in Lernmedien integrieren: Begründeter Methodeneinsatz

Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Lernziele im MU Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen auch in Alltagssituationen und können solche Fragestellungen formulieren Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- wo wird dabei Mathematik benötigt? Wo und wie benötigt man im Alltag Strukturieren, Kombinieren, Optimieren, Entscheidungen begründen, Verallgemeinern, Interpretieren...

Lernziele im MU Die Lernenden - können mathematische Fragen finden und formulieren - kennen mathematische Modelle bzw. geeignete Vorgehensweisen zur (kreativen) Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situationsgerecht anwenden Funktionen, Gleichungen, Visualisierungen ( geometrische Figuren und Beziehungen ), zentrale mathematische Ideen (Approximieren- Optimieren, Algorithmieren...) und heuristische Strategien...

Lernziele im MU Die Lernenden können mathematische Fragen finden und formulieren kennen mathematische Modelle und können Vorgehensweisen anwenden - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln - Strategien für selbstreguliertes Lernen (insbesondere Willensstrategien) vermitteln Erfolgserlebnisse ermöglichen Binnendifferenzierung Anlässe für eigenverantwortliches Lernen

Beispiel (Elementare) Beweisaufgaben... a,b,c,d pos. reell c a b d

Grundverständnis Nicht nur anspruchsvolle Lernanforderungen stellen sondern auch zu deren Bewältigung befähigen - u.a. durch heuristische Bildung und Entwicklung der Selbstregulation Verbindungen herstellen zwischen alltäglichem Problemlösen und fachspezifischen Problemlösestrategien sowie zwischen den mathematischen Inhalten Wahlmöglichkeiten im Schwierigkeitsgrad der Aufgaben

Theoretischer Hintergrund Wesentliche Bedingungen für das Entstehen von Lernhandlungen: Lernaufgaben (Handlungsaufforderungen - was ? warum das?) Orientierungsgrundlagen für die erforderlichen Handlungen (wie kann ich vorgehen?) Unterrichtsrealität: - zu wenig kreativitätsfördernde Lernanforderungen einerseits und - andererseits genügt es nicht, die Lernenden mit Problemen nur zu konfrontieren und dann zu hoffen, dass diese auch bewältigt werden !

Theoretischer Hintergrund Komponenten der Lerntätigkeit (Lompscher, Kossakowski) Motivation Produkte Interessen,Einstellungen Inhalt Verlauf Sach- Denk- Norm- operationen Wert- Verfahrens- Verlaufs- kenntnisse qualitäten Ziele Ergebnisse Zielqualität Inhaltsqualität Prozessqualität Ergebnisqualität

Theoretischer Hintergrund Motivation Produkte Inhalt Verlauf Verlaufs- qualitäten Ziele Ergebnisse    Reduktion: Vereinfachen, Veranschaulichen, Teilprobleme oder Beispiele betrachten    Reversibilität: Umkehren von Gedankengängen       Aspektbeachtung: gleichzeitiges Beachten mehrerer Aspekte, die Abhängigkeit von Dingen erkennen und gezielt variieren Aspektwechsel: Wechsel von Annahmen und Kriterien; loslassen; Sachverhalt umstrukturieren Beweglichkeit Bewusstheit Selbständigkeit Planmäßigkeit Aktivität Erscheinungsformen

Theoretischer Hintergrund Merkmale geistiger Beweglichkeit Reduktion - vereinfachen, veranschaulichen, Teilprobleme oder Beispiele betrachten Reversibilität - Umkehren von Gedankengängen Aspektbeachtung - eine Idee konsequent weiter verfolgen 19 17 25 33 41 49 Aspektwechsel - loslassen und einen neuen Blickwinkel wählen

Wirkprinzip von Heuristik Mangelnde geistige Beweglichkeit in bestimmten Kontexten wird teilweise kompensiert durch BEWUSSTES Erlernen solcher Vorgehensweisen und Techniken die zu vergleichbaren Ergebnissen führen wie unbewusste Denkverläufe bei ausgeprägter geistiger Beweglichkeit

Wirkprinzip von Heuristik Wie wirken heuristische Strategien? „Selbsterfahrung“ mit einem Kreativitätstraining: Was kann man alles mit einem Mauerstein anfangen? Finden Sie in 1 min möglichst viele verschiedene Verwendungsmöglichkeiten!

Wirkprinzip von Heuristik Strategie: Was weiß ich über einen Mauerstein? Welche Eigenschaften hat er? Was kann ich daraus ableiten?     Größe, Form, Gewicht (Masse), Materialeigenschaften Lerneffekt: Ein ähnliches Beispiel-Pappe, Tasse, Bleistift...

Eine heuristische Strategie Vorwärtsarbeiten   Was ist gegeben? Was weiß ich über das Gegebene? Was kann ich daraus ermitteln?

Fragen stellen lernen Aufgabe: Stellen Sie sich vor, Sie sind zur mathematischen Beratung bei FERRERO eingestellt und werden heute in der HANUTA-Abteilung erwartet. Welche Fragen könnte man an eine HANUTA-Waffel stellen, zu deren Beantwortung Mathematik erforderlich ist?

Fragen stellen lernen Wie findet man möglichst viele mathematisch interessante Fragen? „Vorwärtsarbeiten“: Eigenschaften des Objekts nutzen Was weiß ich über das Gegebene? Ziel: Lernen, die mathematische Brille aufzusetzen und Mathematik auch im Alltag zu „entdecken“

Grundidee - Konzept Trainingskonzept Jeder Beweglichkeitsaspekt kann durch bestimmte heuristische Elemente „gefördert“ werden (Kompensationsansatz!) Zuordnung von Heurismen zu den Beweglichkeitseigenschaften POLYA, SEWERIN

informative Figur, Tabelle, Gleichung Heuristische Bildung Reduktion: Heuristische Hilfsmittel: informative Figur, Tabelle, Gleichung Heuristische Prinzipien und Strategien: Fallunterscheidung, Zerlegung Claudia nimmt die Hälfte der Murmeln aus ihrem Sack und behält sie für sich. Dann gibt sie zwei Drittel der Murmeln, die noch im Sack waren, Peter. Sie hatte jetzt sechs Murmeln übrig. Wie viele Murmeln waren am Anfang im Sack gewesen? Claudias Murmeln Peters Murmeln 6 übrig

Heuristische Bildung Reversibilität: Rückwärtsarbeiten Heuristische Prinzipien und Strategien: Rückwärtsarbeiten Was müsste ich kennen, um die gesuchte Größe bestimmen zu können? Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um mit seiner Ernte in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An jedem Tor steht ein Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie viele hatte er am Anfang?

Heuristische Bildung kombiniertes VA-RA Zwei Metallwürfel mit gegebener Kantenlänge von 2cm und 4cm werden zu einem Quader zusammen geschmolzen. Welche ganzzahligen Maße könnte ein solcher Quader erhalten? + => a=2cm OberflächeGesamt Gesamtvolumen b= 4cm

Heuristische Bildung Aspektbeachtung Invarianzprinzip Extremalprinzip Suche in Unterschiedlichem das Gemeinsame! Was bleibt gleich? Bildungsvorschrift bei Zahlenfolgen Treffpunktaufgaben: Ort ist gleich Altersaufgaben: Altersdifferenz bleibt gleich Extremalprinzip In einem Käfig sind Fasanen und Kaninchen. Man zählt 24 Köpfe und 62 Beine. Wie viele Tiere von jeder Art sind im Käfig?

Systematisches Probieren Heuristische Bildung Aspektbeachtung Symmetrieprinzip Systematisches Probieren Für positive reelle a,b,c gilt: 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c) > 3/(a+b+c) Aus einem Halbkreis soll das flächengrößte Trapez herausgeschnitten werden.

Transformationsprinzip eine andere Modellierung finden Heuristische Bildung Aspektwechsel: Transformationsprinzip eine andere Modellierung finden - aus der vorgegebenen Struktur herausgehen Variiere die Bedingungen! Betrachte Gegebenes und Gesuchtes in verschiedenen Zusammenhängen! Zerlege, ergänze oder verknüpfe mit Neuem! α+β=45°

Unterrichtskonzept Methodik zur Ausbildung von Problemlösekompetenzen Gewöhnen an heuristische Methoden und Techniken (Reflektion) Bewusstmachen einer speziellen Heuristik anhand eines markanten Beispiels (Strategiebereitstellung) einübendes reflektiertes Übertragen (Kontexterweiterung der Strategieanwendung)

Unterrichtskonzept Trainingsaufbau- Unterrichtskonzeption den Sinn und Nutzen von heuristischen Strategien erfahren Vorstellen „neuer“ Strategien an einem Musterbeispiel (Eselsbrückeneffekt) bewusste Strategieanwendung auf Wahlaufgaben (drei Schwierigkeitsgrade) mit variierenden Kontexten Vorstellen alternativer Lösungswege (mit verschiedenen heuristischen Hilfsmitteln) Übungen mit Vorgehensreflexion und Erkennen individueller Präferenzen bei der Strategieanwendung Zuordnen passender Strategien zu Problemaufgaben, ohne sie zu lösen Erarbeiten individueller Problemlösemodelle mit der Fragetechnik

Teilhandlungen ausbilden Tipps zum Textverständnis: Lies die folgende Aufgabe zunächst durch. Stelle dir vor, dein Freund hat ab und zu Probleme mit Textaufgaben und versteht diese Aufgabe nicht. Du möchtest ihm helfen. Formuliere dazu Fragen, die man sich stellen sollte, wenn man eine Aufgabe verstehen möchte. Wie kann man sich klar machen, worum es in der Aufgabe geht?  Wohnwagen-Aufgabe   Familie Maier verbrachte dieses Jahr ihre Sommerferien in Österreich. Bei der Straße von Innsbruck nach Zehfeld ist auf 2,2km ein Höhenunterschied von 330m. Familie Maier macht Campingurlaub mit einem 6m langen Wohnwagen. Auf der Beschreibung des Anhängers stand, dass ein PKW mit Anhänger nur eine Steigung von 12% schafft. Durfte Herr Maier mit seinem 90 PS Auto die Straße von Innsbruck nach Zehfeld fahren?

Überlege, was man alles falsch machen kann ! Lernprotokoll Tipps zum Textverständnis  Erst lesen und verstehen – dann Lösungsversuche starten! Überlege, was man alles falsch machen kann !  Bei der Würfelknetaufgabe haben wir die Strategien „Vorwärtsarbeiten“ und „Rückwärtsarbeiten“ geübt. Wie geht man vor, wenn man die Strategie Vorwärtsarbeiten anwendet? Wie geht man vor, wenn man die Strategie Rückwärtsarbeiten anwendet? Wo kann man diese Strategien sinnvoll anwenden?      

Empirische Untersuchung Lassen sich Selbstregulations- und Problemlösekompetenzen durch eine Kombination beider Komponenten fördern?

Empirische Untersuchung 1. Hauptstudie 2000 mit 249 Schüler/innen an drei Gymnasien Kl.8 über 6 Trainingseinheiten zu je 90 min (mit Kontrollgruppe) Vierfaktorielles Design: - Selbstregulationstraining - Problemlösetraining - kombiniertes Training Selbstregulation und Problemlösen - Monitoring (operationalisiert in Lerntagebüchern) 2. Hauptstudie 2001mit 83 Schüler/innen Kl.8 - Kombi-Training mit verstärkter Selbstregulation - Kombi-Training mit verstärktem Problemlösen - Problemlösetraining alle Gruppen mit Monitoring

Erweitertes Konzept Beispiele: fünfte Einheit: am Beispiel von Textaufgaben bewusst machen, dass sich Gedanken und Einstellungen auf die Lernleistung auswirken. Strategien zum Umgang mit negativen Gedanken kennen lernen. sechste Einheit: die Bedeutung der Fehleranalyse innerhalb der Selbstregulation erkennen und lernen, Misserfolge auf falsche Zielsetzung, - falschen Strategieeinsatz oder - zu geringe Anstrengung zurückzuführen.

Effekte Effekte des Problemlösetrainings Signifikanter Leistungszuwachs im Test ! Bewusster Hilfsmitteleinsatz, Stabilität der Effekte bei Nach-Nachtest ! Weniger Angst vor mathematischen Anforderungen - signifikant höhere Bearbeitungsquote Veränderter Umgang mit Fehlern und gewachsene Selbstreflektion (mit Lerntagebuch)

Effekte Veranschaulichung der signifikanten Interaktion Zeit x PL für die Gesamtpunktzahl – 1. Hauptuntersuchung 249Probanden, nach 6 Trainingseinheiten leistungsschwächere Schüler profitieren besonders -der Schüleranteil, der schwierige Aufgaben nicht zu bearbeiten versucht, halbiert sich

Offene Fragen Schwierigkeitsgrad der Aufgaben muss individuell von der Notwendigkeit einer Strategieanwendung überzeugen (Differenzierungsproblem) Kaum Vorerfahrung der Lernenden bzgl. Selbstbeobachtung und Vorgehensreflektion (altersbedingte Begrenztheit ?) Erlebte Unterschiede zwischen Training und Unterricht behindern weitere Übertragung (manche Testanforderungen stehen dagegen)

Ausblick Lernen, Verstehen, Behalten und Anwenden können Unterrichtsmethoden für nachhaltiges Lernen modulare Arbeitsplanung geleitete Instruktion Aufgabenkonzept Anwendungslinien permanente Wiederholung Methodenreflexion (Heuristik) Teilhandlungen ausbilden Lernprotokolle

Theoriegewinn Theoretischer Erkenntnisgewinn entsteht insbesondere durch Erkenntnissynthese über die Disziplingrenzen hinweg und durch gegenstandsspezifische Interpretationen vorliegender Erkenntnisse. Die Interpretation fundamentaler mathematischer Ideen und von Heurismen (POLYA, SEWERIN) aus der Begabtenförderung für Mathematik für schulische Lerninhalte und das Herstellen von Verbindungen zum Problemlösen im Alltag begründet einen Katalog relevanter Heurismen für den MU (Ziele und Inhalte) Eine Synthese aus Erkenntnissen des Tätigkeitsmodells des Lernens mit Heurismen liefert einen (erfolgreichen) Trainingsansatz (Methodik- Rahmenorientierung)

Aktuelles Projekt Langfristiges Ziel: Implementation des Trainingskonzeptes in den „normalen“ MU Entwicklung eines Unterrichtskonzeptes mit 8 Versuchslehrern Gestaltung und Evaluation einer LV Problemlösen an der TUD im SS 2003 Evaluation eines Ausbildungskonzeptes für Referendare ab Herbst 2003 Entwicklung und Evaluation eines Fortbildungskonzeptes für Problemlösen und Selbstregulation im Kontext von Hausaufgaben ab 2004

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit