Streuung Bezeichnung Streuung=Dispersion=Variabilität Fragestellung: Wie heterogen sind die Daten? Wie weit weichen Merkmale von den Mittelwerten ab? Zweck der Berechnung Der Mittelwert/ Zentralwert ist zur Charakterisierung der Daten nicht ausreichend. Man will auch wissen, wie stark die Daten von der Mitte abweichen. Die Streuung ist ein Maß für die Abweichung. Beispiel: Altersangabe für 2 Arbeitsgruppen Gruppe1: 21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41 Gruppe2: 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35

Streuung(Beispiel) Alter, Gruppe1 21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41 Alter, Gruppe2 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35

Spannweite(Beispiel) Alter, Gruppe1 21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41 Alter, Gruppe2 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35

Streuungsmaß1 Spannweite (Variationsbreite) Definition: Spannweite = Abstand zwischen dem minimalen und dem maximalen Merkmalswert xmax –xmin Beispiel: Zensuren: 1,1,2,2,2,2,5 Spannweite = 5-1 = 4 Nachteil empfindlich gegen Ausreißer nicht anwendbar bei offenen Klassen

Spannweite bei Klassen = Abstand zwischen der Untergrenze der untersten Klasse der Obergrenze der obersten Klasse Problem Man muss alle Klassen vorher schließen

Mittlerer Quartilsabstand(Beispiel) Alter, Gruppe1 21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41 Q1=37 Q3=25 MQ =(37-25) /2 =6 Alter, Gruppe2 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35 Q1=29 Q3=33 MQ =(33-29) /2 =2

Streuungsmaß 2 Quartilsabstände Quartilsabstand = Abstand zwischen dem untersten und dem obersten Quartil Q3-Q1 Semiquartilsabstand (=mittlerer Quartilsabstand=MQA=MQ) = mittlere Abweichung vom Zentralwert

Quartilsabstand: Zeichnung Semiquartilsabstand (mittlerer Quartilsabstand=MQA,=MQ) = mittlere Abweichung vom Zentralwert (Q3-Q1)/2 Zeichnung: Whisker-Box-Plot (nicht klausurrelevant) Q1 Q3 Quartilsabstand halber Quartilsabstand Z

Quartilsabstand: Beispiel Mittlerer Quartilsabstand(MQM) ½(Q1-Q3) Beispiel: Merkmale 1 2 3 4 5 6 7 8 Häufigkeit Z=4 Q1=3 Q3=6 MQM=3

Quartilsabstand und die Gestalt der Verteilung linkssteil (Streuung vorwiegend nach rechts) rechtssteil (Streuung vorwiegend nach links) symmetrisch

Quartilsabstand und die Gestalt der Verteilung linkssteil (Streuung vorwiegend nach rechts) x n 10 40 11 20 12 14 13

Quartilsabstand:Problemfälle Behandlung von Ausreißern Werte, die von den Rändern der Box weit entfernt sind, werden nicht berücksichtigt. Weit heißt: 2/3 der Boxbreite Z=4 Q1=3 Q3=6 MQM=3/2 vernachlässigbare Werte

Mittlere absolute Abweichung(Beispiel) Alter, Gruppe1 21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41 Mittelwert=31 x Abstand vom Mittelwert 21 21-31 = --10 22 22-31= --9 .... 40 40-31 = 9 41 41-31= 10 m=x

Mittlere absolute Abweichung (Abstände zum Mittelwert ermitteln) Alter, Gruppe1 :vereinfachtes Beispiel 21, 24, 26, 31, 36, 38, 41 Mittelwert =31 x Abstand von x zum Mittelwert xi-m absoluter Abstand | xi-m | 21 -10 10 24 -7 7 26 -5 5 31 36 38 41

Mittlere absolute Abweichung (durchschnittlichen Abstand ausrechnen) Alter, Gruppe1 :vereinfachtes Beispiel: 21, 24, 26, 31, 36, 38, 41 Mittelwert =31 x Abstand von x zum Mittelwert xi-m absoluter Abstand | xi-m | 21 -10 10 24 -7 7 26 -5 5 31 36 38 41 Summe =44 Durchschnittlicher Abstand d=44/7=6,2857

quadratische Abweichung vom Mittelwert(Beispiel) Alter:21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41

quadratische Abweichung vom Mittelwert(Abstände) Alter:21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41 Mittelwert=31 x Abstand vom Mittelwert Quadrat 21 21-31 = --10 100 22 22-31= --9 81 .... ... 40 40-31 = 9 41 41-31= 10

Varianz(quadratischen Abstand zum Mittelwert ermitteln) Alter, Gruppe1 :vereinfachtes Beispiel 21, 24, 26, 31, 36, 38, 41 Mittelwert =31 xi Abstand von x zum Mittelwert =xi-m quadratischer Abstand (xi-m )² 21 -10 100 24 -7 49 26 -5 25 31 36 5 38 7 41 10

Varianz(Durchschnitt bilden) Alter, Gruppe1 :vereinfachtes Beispiel 21, 24, 26, 31, 36, 38, 41 Mittelwert =31 x Abstand von x zum Mittelwert xi-m quadratischer Abstand (xi-m )² 21 -10 100 24 -7 49 26 -5 25 31 36 5 38 7 41 10 Durchschnittlicher quadratischer Abstand s = 348/7 = 49,28 Summe =348