Einführung in die Didaktik der Mathematik in der Sek.-stufe 1 Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Inhalt Ziele, Lehrpläne, Standards Zahlensysteme (insbesondere Bruchrechnung, negative Zahlen, rationale Zahlen) Geometrie Algebra Modellierung und Anwendungen Computer im MU Spiele im MU Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Ziele und Standards für die Sek I Lehrplan Thüringen 1999 (Gy/RS) Ziele und Aufgaben Entwicklung allgemeiner geistiger Fähigkeiten (des räumlichen Vorstellungsvermögens, logischen Denkens, rationalen Argumentierens, Abstraktionsvermögens, Problemlöseverhaltens) Anwendungen der Mathematik (mathematisches Modellieren) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Lehrplan Thüringen 1999 (Gy/RS) Folgende Gesichtspunkte sollen die Unterrichtsplanung entscheidend mitbestimmen: „Im Mittelpunkt eines Lernprozesses soll eine Problemstellung (z. B. ein Sachproblem oder eine innermathematische Fragestellung) stehen, die Schüler motiviert und bei deren Lösung neue mathematische Einsichten gewonnen werden. Die Schüler sollen Möglichkeiten erhalten, selbstständig Erfahrungen zu sammeln, Vorstellungen zu entwickeln und praktische Handlungen auszuführen. Durch den gezielten Einsatz unterschiedlicher Lern- und Sozialformen sollen die Schüler die Fähigkeit erwerben, miteinander zu lernen, zu arbeiten und zu leben, Verantwortung wahrzunehmen und solidarisch zu handeln. Die Schüler sollen Möglichkeiten erhalten, in täglichen, vielfältigen und komplexen Übungen ihr mathematisches Wissen und Können zu festigen und Wissen und Können aus verschiedenen Themenkreisen und Stoffgebieten sowie aus praktischen Arbeitsfeldern und Lebenssituationen miteinander zu verbinden.“ Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prozess-Standards 2003 für Sek. I (Kompetenzen) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Inhaltsstandards Sek I (L 1) Leitidee Zahl (L 2) Leitidee Messen (L 3) Leitidee Raum und Form (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L 5) Leitidee Daten und Zufall Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 NCTM-Standards 5-8 Problem Solving Communication Reasoning Connections Number and Number Relationships Number Systems and Number Theory Computation and Estimation Patterns and Functions Algebra Statistics Probability Geometry Measurement Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Lehrplan Finnland Klasse 6-9 Generelle Ziele Selbstvertrauen, Verantwortung für eigenes Lernen Wichtigkeit der Mathematik sowie Verbindung zu Anwendungen erkennen Rechnen und Problemlösen können Logisch und kreativ denken Methoden der Informationsgewinnung und –verarbeitung Argumentieren Fragen stellen und Schlüsse ziehen aufgrund von Beobachtungen Regeln wahrnehmen/erkennen Ausdauernd, zielgerichtet arbeiten, auch in Gruppen Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Lehrplan Finnland Klasse 6-9 Kerncurriculum: Denktechniken und -methoden Methoden die logisches Denken erfordern, wie Klassifizieren, Vergleichen, Organisieren, Messen, Konstruieren, Modellieren, Suchen nach Regeln und Zusammenhängen sowie deren Darstellung Interpretation und Gebrauch von Begriffen, die benötigt werden, um Vergleiche an- und Beziehungen herzustellen Interpretation und Produktion mathematischer Texte Erste Erfahrungen mit Beweisen: Vermutungen und Experimente rechtfertigen, systematisch Versuch und Irrtum durchführen, Inkorrektheiten nachweisen, direkte Beweise Lösen kombinatorischer Probleme mit verschiedenen Methoden Gebrauch von Werkzeugen (z. B. Computer) und Zeichnungen, die das Denken unterstützen Geschichte der Mathematik Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Lehrplan Finnland Klasse 6-9 Kerncurriculum: Zahlen und Berechnungen Festigung der Grundrechenfertigkeiten N, Z, Q, R Entgegengesetzte Zahlen, Betrag, reziproke Zahlen Zeitberechnungen, Zeitintervalle Primzahlen, Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren, Teilbarkeitsregeln Kürzen von Brüchen, Erweitern von Brüchen, Darstellung von Dezimalzahlen als gewöhnliche Brüche Multiplikation und Division von Brüchen (einschl. Dezimalbrüche) Kürzen von Bruchtermen Verhältnisse und Proportionalität Festigung des Prozentbegriffes, Prozentrechnung Runden und Schätzen: (sinnvolle!) Taschenrechnernutzung Potenzen mit ganzzahligem Exponenten Wurzelbegriff, Berechnung von Quadratwurzeln Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Lehrplan Finnland Klasse 6-9 Kriterien für die Note 8 (=gut) in der Abschlussprüfung (am Ende der Klasse 9) Denktechniken und Methoden Die Schüler sollen Parallelen und Regelmäßigkeiten zwischen verschiedenen Ereignissen bemerken, wissen, wie man logische Ausdrücke wie „und“, oder, wenn-dann, nicht, existiert, existiert nicht in ihrer Sprache gebraucht wissen, wie man die Wahrheit einfacher Behauptungen beurteilt, wissen, wie man einfache Textaufgaben mathematisch darstellt, einen Lösungsplan für das Problem macht, es löst, die Richtigkeit des Ergebnisses überprüft, wissen, wie man Klassifikationen beim mathematischen Problemlösen nutzt, wissen, wie man alternative Lösungen systematisch darstellt, eine Tabelle benutzt, ein Baumdiagramm, Pfaddiagramm oder andere Diagramme. Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Lehrplan Finnland Klasse 6-9 Kriterien für die Note 8 (=gut) in der Abschlussprüfung (am Ende der Klasse 9) Zahlen und Berechnungen Die Schüler sollen wissen, wie man ein mögliches Ergebnis abschätzt und einen Plan für die Lösung eines Problems macht; sie sollen zuverlässige Fertigkeiten in den Grundrechenarten haben, die Potenz einer Zahl mit einem Exponenten aus N bildet und die Primfaktorzerlegung einer Zahl vornimmt, Probleme löst, in denen eine Quadratwurzel benötigt wird, proportionale Zusammenhänge, Prozente und andere Rechentechniken beim Lösen von Probleme benutzt, die im Alltag auftauchen können. Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Beispiel Problemlösen: Bubblesort ? Bubble-Sort: Wie viele Züge benötige ich mindestens, um die Plättchenreihe in der angegebenen Weise zu ordnen? schon in der Grundschule einsetzbar; fundamentale Idee der Informatik: Algorithmen; hier Sortieralgorithmus Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Sortierspiel 2 + 1 Also bei n Plättchen von jeder Farbe n(n-1)/2 Moral: Anschauung und verschiedene Darstellungsweisen unterstützen. Nicht zu früh und zu viel Formalismus! 4 + 3 + 2 + 1 MN 7, S. 250, Projekt Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Ziele Aufstellen von Vermutungen (K2) Begründen (K1) Verallgemeinern (K2) Problem variieren (K2) Kombinatorik (L1) Algebra (Termumformungen) (K2, K5, L4) Induktion (K2, L1) Algorithmen (K2, L1, L4) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Zahlensysteme Bruchrechnung

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Mögliches Lernergebnis bei hiesigen Unterrichtsmethoden der Bruchrechnung „Der deutsche Osthandel erlebte in diesem Jahr einen kräftigen Schub. Nach Schätzung des Ost- und Mitteleuropa Vereins (OMV) wird der Osthandel erstmals ein Zehntel des gesamten deutschen Außenhandels ausmachen, nachdem er jahrelang nicht über ein Fünftel hinauskam.” (aus der Süddeutschen Zeitung) Ein mögliches Ergebnis derartiger Bemühungen wird etwa durch das folgende Beispiel verdeutlicht (vorlesen): Sollte uns das nicht zu denken geben? Manch Träger der neueren deutschen „Leid-Kultur“ aus der Blödelszene würde vielleicht sagen: ich denke nein. Das ist für uns natürlich nicht akzeptabel! Wie können mögliche Alternativen aussehen? Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Empirische Untersuchung vor und nach Unterricht im Bruchrechnen 1. Schraffiere in folgender Figur zunächst die Hälfte und sodann zusätzlich ein drittel von ihr. Welchen Anteil hast du insgesamt schraffiert? 2. 3. Sieben Äpfel sind unter vier Kindern aufzuteilen. Wieviel bekommt jedes? Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik! Empirische Untersuchung vor und nach Unterricht im Bruchrechnen Test-Ergebnisse Vorher zu 1 (geometrisch): überwiegend richtig Zu 2 (symbolisch): überwiegend falsch Zu 3 (handlungsorientiert): überwiegend richtig Nachher zu 1 (geometrisch): überwiegend falsch Zu 2 (symbolisch): überwiegend richtig Zu 3 (handlungsorientiert): überwiegend falsch Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik! Ergebnisse einer von Hasemann durchgeführten Studie zur Bruchrechnung: Vor deren Behandlung konnten noch die meisten Kinder Aufgaben des Types 1 und 3 bearbeiten, danach konnten sie (natürlich) zwar besser Aufgaben des Typs 2, aber kaum noch solche von Typ 1 und 3 korrekt lösen. Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik. Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Historisches: Bruchrechnung bei den Ägyptern Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

zu der ihr vierter Teil addiert wird, wird 15“ Falscher Ansatz „Eine Menge (Haufen), zu der ihr vierter Teil addiert wird, wird 15“ Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Bruchrechnung in Mesopotamien 23 oder 20 (=20+3·60ֿ¹) usw., nur kontextbezogener Stellenwert Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Ordnen von Brüchen Ordne folgende Brüche der Größe nach: Z. B. so: .......(Text vorlesen) Wie überlegen Sie? Wer hat mittels Hauptnennerbildung gearbeitet? Das ist dann wohl auch für die Schüler gut. Die machen das sowieso so, wenn sie nicht zuvor durch Schule „verbildet“ wurden „dichter bei 1“ als Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Division von Brüchen: „Zähler durch Zähler, Nenner durch Nenner“ Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Division von Brüchen :2 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Division von Brüchen 2 4 : = Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Division von Brüchen : = 1 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Erste Erfahrungen mit der Addition von Brüchen (A. Mörstedt) Peter bekommt für eine Woche einen bestimmten Betrag Taschengeld. Er gibt 3/10 hiervon für eine Kinokarte aus. Er kauft sich für ¼ des Betrages ein Stück Kuchen. Er kauft sich ein Eis für 1/5 seines TG. Schließlich kauft er sich noch für 1/10 Kaugummi. Am Ende der Woche behält er 1.50 € übrig. Wie viel Taschengeld hat Peter in dieser Woche erhalten? Some weeks ago my students had to make some practice in teaching. The subject was fractions in grade 5. In her first lesson one of our student teachers presented the following problem to fifth-graders: Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prerequisite knowledge about fractions: The pupils learned some basics about fractions and different representations. The pupils knew how to expand and how to cancel fractions. The pupils made first experience with the addition of fractions with the same denominator. Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Pupils‘ solution P: Let’s assume that Peter receives 20 € in this week. Now we use and check the given data. T: But you don’t know the solution yet! P: Well, I only assume it and let’s see what happens now! Two girls presented the following solution at the blackboard (P=pupil): Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Pupils’ solution (cont.) One pupil drew a long line at the blackboard and marked 0 at the beginning and 20 at the end of this line. Subsequently, she divided it into 20 parts of equal length: Then they started – beginning at 0 – marking the appropriate amount of money after changing all given fractions into fractions with denominator 20 (3/10 = 6/20, thus 6 € for the movie-ticket etc.) 0 € 20 € Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Pupils’ solution (cont.) P: First Peter spent 6 € for the movie (first red line), than he bought a cake for 5 €. Furthermore the ice-cream was 4 €. Finally he had to pay for the chewing-gum 2 €. So we come to 17 €. Then there should be a rest of 1.50 €. So we come to a total of 18.50 €. 20 € 0 € 6 € 5 € 4 € 2 € 1.5 € Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Pupils’ solution - outlook The student teacher suggested now to make another trial, because – quite obviously – the assumed solution of 20 € must be wrong. So this thought process of the pupils was brought to an end by the student teacher. Another possible continuation could have been as follows (T=teacher): T: So you have still some money left. Or: So you don’t have left 1.50 € but 3 € - twice as much you should have. What to do now? P: (Possible reaction) If the amount left is twice as much we should have, perhaps we assumed also twice as much pocket-money than Peter should have at the beginning of the week. So we have to divide 20 € by 2 and get 10 €. Possible interpretation: seed of „false position“ Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Was sind Brüche/Bruchzahlen? Padberg 2002: Teil vom/n Ganzen (2 Aspekte) Maßzahl Operator Verhältnis Quotient Lösung von n·x=m Skalenwert Quasikardinalität Happasalo 2002: Objekt + Repräsentation Operator Relation/Verhältnis Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Was sind Brüche/Bruchzahlen? Padberg 2002: Teil vom Ganzen Maßzahl Operator Verhältnis Quotient Lsg. von n·x=m Skalenwert Quasikardinalität Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Probleme mit der Bruchrechnung (nach Padberg 2002) Probleme mit Brüchen und Dezimalzahlen (siehe Erlwanger-Studie) Zu wenig inhaltliche Vorstellung Zu viel Syntax, zu wenig Semantik (siehe Hasemann-Untersuchung) Zu wenig begriffliches Verständnis von Brüchen Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Mögliche Konsequenzen (nach Padberg 2002) Brüche und Dezimalzahlen auf Kl. 5 und 6 verteilen Mehr inhaltliche Vorstellung In Klasse 5 nur Konzeptuelles Verfahren dann in Klasse 6 Brüche und Dezimalzahlen parallel Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prozedurales und begriffliches Wissen (Haapasalo 2002) Prozedurales Wissen (P): Wissen über dynamische und erfolgreiche Anwendung gewisser Regeln, Algorithmen oder Prozeduren mit Hilfe einer oder mehrerer Repräsentationen. Dafür ist Wissen nicht nur über die jeweiligen Objekte, sondern auch über die Syntax ihrer Repräsentationen erforderlich. Begriffliches Wissen (C): Wissen über Elemente eines Netzwerkes sowie dessen Zusammenhänge und ein entsprechendes Verständnis hierüber, sowie Wissen über dynamisches Wechseln zwischen verschiedenen Repräsentationen dieser Objekte. Diese Netzelemente können z. B. Begriffe, Regeln (Algorithmen, Prozeduren usw.), sogar Probleme sein (ein gelöstes Problem kann einen neuen Begriff oder eine neue Regel erzeugen). Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Repräsentationsarten für Brüche Reale Situationen Manipulierbare Gegenstände Bilder Geschriebene Symbole Gesprochene Symbole Drei Viertel Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Weitergehende Konsequenzen (in Finnland; nach Haapasalo 2002) Schon in der Grundschule (spätestens Klasse 3) Mehr inhaltliche Vorstellungen von Konzepten Simultane Aktivierung u. häufiger Repräsentationswechsel (siehe „Domino“!) Identifikationsaufgaben entscheidend Dadurch bessere Problemlösefähigkeit Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Beispiel: Vielfältige und von SuS konstruierte Repräsentationswechsel durch Bruchdomino Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Mögliche Aktivitäten/Fragestellungen Schneide Dominos aus (immer dicker Strich in der Mitte) Lege passend zusammen. Wer kann eine „Schlange“ legen und dabei alle „Steine“ verbrauchen? Wer findet eine andere „Schlange“? Wie viele Schlangen findet ihr? Spielt nun zu zweit „Domino“ Konstruiert eigene Dominos (siehe nächste Folie) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Dominos – ausgeschnitten Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Ein Dominoring Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Beispiel: Bruchdomino eines Schülers (6 CGJ) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Komplexere Übungen (SPÜ, Anelina Schach) Inge und Peter haben jeweils eine Tüte mit Schokoladenplätzchen geschenkt bekommen. Peter gibt Inge ein Sechstel davon ab und bekommt dafür ein Viertel von Inges etwas kleinern Plätzchen. Wie viele Plätzchen hat Peter jetzt, wenn er anfangs gleichviel hatte wie Inge und wenn er nach dem Tausch 6 Plätzchen mehr hat als Inge? Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Schülerlösung ein Mädchen aus der Gruppe mit dieser Aufgabe stellt sie an der Tafel vor sie liest die Aufgabe erst einmal vor und zeichnet dann zwei Kreise mit je zwölf Teilstücken an die Tafel (zwölf ist der gemeinsame Nenner, nachdem Inge und Peter die Plätzchen ausgetauscht hatten – Inge hat 11/12 von den Plätzchen und Peter hat 13/12) man sieht, dass Inge jetzt 1/12 weniger und Peter 1/12 mehr von den Plätzchen hat als vorher Peter hat sechs Plätzchen mehr als Inge, d.h. er hat 2/12 mehr von den Plätzchen als Inge und dann sind 1/12 gleich drei Plätzchen Ergebnis: In jedem Teilstück sind drei Plätzchen und Peter hat dreizehn von Teilstücken, d.h. 13*3=39 und 11*3=33 (Inge) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Beispiele aus der Schulpraxis Suchen Sie nach verschiedenen Möglichkeiten, folgende Aufgabe zu rechnen: Ein Ticket kostet 3,50 €. Es sollen 24 Stück gekauft werden. Wie viele Tickets kann man für diesen Gesamtbetrag bei einem Stückpreis von 4,20 € kaufen? Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Wozu Brüche ? Nachteile Vorteile Irrelevant, nur wenige Brüche im Alltag Mit TR Dezimalzahl-rechnung einfacher Zwei Bezeichnungen für Bruchzahlen Selektionsinstrument Handeln einbezogen Erleichtern Verständnis von Dezimalzahlen (Objekte und Rechenregeln) W.-Rechnung Gleichungslehre Zahlbereichs-erweiterungen Schulische Algebra Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Vorteilhaftes Rechnen 14·16; 16·18; 21·19; 22·18; …. Kettentextaufgaben: Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Zahlenrätsel Man denke sich eine zweistellige Zahl Man bilde ihre Quersumme Man multipliziere die Quersumme mit 11 Man subtrahiere vom Produkt die Ausgangszahl Welche Zahl erhält man? Man konstruiere einen analogen/“symmetrischen“ Zahlentrick Wie sieht es in anderen Stellenwertsystemen aus? Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Algebra Terme Gleichungen/Ungleichungen Funktionen Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Wozu Terme? Beachtenswert: Von 5000 Jahren Mathematikgeschichte ca. 4600 Jahre „inhaltliches Problemlösen“; Terme etwa seit Viète (16. Jh.) Ermöglichen Abkürzungen (Ökonomie) (Formeln, Funktionen) Ermöglichen Entlastung des Kurzzeitgedächtnisses (Superzeichenbildung) Ermöglichen Standardverfahren (analytische Geometrie; Gleichungslösen; …) Ermöglichen Einsatz von CAS Voraussetzung für sinnvollen Einsatz: Inhaltlichen Überlegungen allein zu umständlich bzw. aufwändig Flexibles Codieren und Decodieren muss jederzeit möglich sein Vor allem als Bestandteil von flexiblem Repräsentationswechsel (Algebra ↔ Geometrie) beim Problemlösen sehr wichtig (vgl. „Streichholzgelege“) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Terme: Kepler über seine Schwierigkeiten mit Termumformungen¹ „...die Cossa²/welche uns den weg weiset/wie einem blinden sein Führer/oder zwo enge wände in der finstere/­wann ich den Kopff zur lincken anstosse/­so weiss ich/das ich mich zur rechten wenden soll/den weg aber sehe ich nicht/­kan auch das rechte mittel von mir selber nicht treffen.“ ¹) Kepler, J.: Gesammelte Werke, Bd. 9. Hrsg. F. Hammer. Beck, München 1960. ²) Cossa: alte Bezeichnung für Algebra Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Gl/Ugl: Kuchenproblem (TIMSS Japan) Für die Gäste einer Geburtstagspartie sollen 10 Stück Kuchen eingekauft werden. Dafür stehen 21 Euro zur Verfügung. Man kann zwei verschiedene Kuchensorten kaufen; ein Stück Bienenstich kostet 2 Euro, ein Stück Torte 2,3 Euro. Es sollen möglichst viele Stücke Torte eingekauft werden. Wie viele sind das? Problem aus Japan von der TIMSS-Video-Studie, in der Unterricht aus Japan/USA/Deutschland verglichen wurde Hierzu etliche Lösungen zunächst eine „originale“: Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Aki (8te Klasse): Torte Bienenstich Summe Stück Kosten Stück Kosten 10 23 0 0 23 9 20,70 1 2 22,70 ...... ....... ..... .... .......... 4 9,20 6 12 21,20 3 6,90 7 14 20,90 Aki nähert sich vorsichtig der Lösung, indem sie zunächst zu viel Stück Torte nimmt und dann schrittweise deren Zahl verringert und jeweils durch einen Bienenstich ersetzt, bis das Geld schließlich für insgesamt 10 Stück reicht. Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Dieter (8te Klasse): x  2,30 + (10 – x)  2  21 x  0,30  1 x = 3 Dieter (in der „Wirklichkeit“ auch ein Japaner) ist ein Formelfreak und bedient das Lernziel „Aufstellen und Lösen einer Ungleichung“, allgemeiner: „Mathematik ist, wenn mit möglichst viel Formeln operiert wird“, am besten. Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Clara (4. Klasse): „Zunächst 10 Bienenstich ‚kaufen‘. Dann habe ich noch einen Euro über. Tausche Torte gegen Bienenstich, kostet 30 Cent mehr. Die passen in den einen Euro 3 mal rein, 4 mal liegt schon drüber. Also: von den 10 Bienenstich 3 Stück gegen 3 Tortenstücke eintauschen und fertig!” Clara ging in eine Jenenser Grundschule und hat diese Lösung aufgeschrieben. Sehr elegant! Vom japanischen Lehrer wird die zuvor vorgestellte algebraische Lösung als die beste bezeichnet, was mir ein bißchen problematisch erscheint: sie ist zwar von größter Reichweite, aber nicht die eleganteste und einfachste für diese Aufgabe. Da gefällt mir Claras Lösung am besten. Vgl. MN9, S. 246 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 LGS I) x+2y=1 2x+2y=1 II) x+2y+3z=1 2x+2y+3z=1 3x+3y+3z=1 III)x+2y+3z+4u=1 2x+2y+3z+4u=1 3x+3y+3z+4u=1 4x+4y+4z+4u=1 IV) x+2y+3z+4u+5v=1 2x+2y+3z+4u+5v=1 3x+3y+3z+4u+5v=1 4x+4y+4z+4u+5v=1 5x+5y+5z+5u+5v=1 MN9, S. 48, Ü16 Was ist die Lösung eines entsprechend „gebauten” LGS mit n Variablen und n Gleichungen? Du kannst dir bei der Suche nach einer Vermutung ggf. von einem Computeralgebrasystem (CAS) helfen lassen. Begründe deine Vermutung. Setze oben in der letzten Spalte (rechts vom Gleichheitszeichen) die Zahlen 1; 2; 3; ...n (bzw. n; (n-1); (n-2); ...3; 2; 1; n Mal n bzw. n Mal a) ein. Welche Lösung erhältst du in diesen Fällen? Begründung? Erfinde selber „gemusterte Gleichungssysteme” (du kannst dich z. B. durch figurierte Zahlen anregen lassen!) mit einfachen Lösungen! Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Funktionen in der Sek. I Zur Geschichte des Funktionsbegriffs: Implizit schon in der griechischen Proportionenlehre vorhanden Beispiel: Problem der Würfelverdopplung (neben Kreisquadratur und Winkeldreiteilung das wichtigste Problem des Altertums) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Problem der Würfelverdopplung Quadratverdopplung Würfelverdopplung („Deli‘sches Problem) Geometrisch: Algebraisch: Heute: ges. x mit x²=2 Früher: x ges. mit 1:x=x:2 (x= mittlere Proportionale) Platon ca. 400 v. Chr.; Menon Heute: ges. x mit x³=2 Früher: x, y ges. mit 1:x=x:y=y:2 wobei y=x² (und 2x=y²) (x; y zwei mittlere Proportiona.) (x;y) kann als Schnittpunkt zweier Parabeläste konstruiert werden Menaichmos ca. 350 v. Chr. 1 x ? 2 2 ? 1 x Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Zur Geschichte des Funktionsbegriffs (Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems) Punktweise Konstruktion eines Parabelastes bei einer (antiken) Flächenumwandlung. Der Höhensatz p·q=h² als Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems √x1 √x 1 x x1 1·x Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Einige Unterrichtshinweise Funktionales Denken; Denken in Abhängigkeit schon im Vorschulalter stimulierbar (siehe z. B. „Aquariumssimulaton“ von Siekkinen 2003 http://cris.joensuu.fi/projects/cris3/cris3.nsf/va_PrimaryKey/DOMI-5RGA4A200391795314?OpenDocument ) Problemorientierter Zugang von Dreisatzaufgaben über proportionale/antiproport. Zuordnung bis zum allgemeinen Funktionsbegriff (aF) möglich. aF erst sinnvoll, wenn er sich für Schüler „aufdrängt“ (also mehr als lineare Funktionen notwendig!); z. B. zu DDR-Zeiten Funktionsbegriff (daher?) erst relativ spät. Bei Übergängen zwischen den Repräsentationen Funktionsgleichung; Wertetabelle; Graph Mehrdeutigkeiten bzw. Zusatzinformationen beachten. Es sollte deutlich werden, inwiefern Funktionen beim Lösen umfangreicherer Problemklassen nützlich sind (Modellierungsaspekt) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Geometrie Kongruenzgeometrie Ähnlichkeitsgeometrie Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Kongruenz in der Schule die historisch gewachsene Situation Dreieckskonstruktionen und damit verbundene Kongruenzsätze werden seit über 2000 Jahren angewendet. Dieses hat im Bewusstsein der diesbezüglich Tätigen nichts mit Kongruenzabbildungen zu tun. Der geometrische Abbildungsbegriff (insbes. Kongruenzabb.) wurde erst vor etwa 150 Jahren eingeführt (F. Klein) Dreieckskonstruktionen in der Schule von Anfang an mit Kongruenzabbildungen in Verbindung zu bringen, kann auch daher oft auf Schüler aufgesetzt und unnatürlich wirken. Insbesondere Kongruenzbeweise wirken für junge Schüler oft aufgesetzt und werden kaum verstanden. Beweise sollten an der Schule erst durchgeführt werden, wenn für die Schüler ein Beweisbedürfnis vorliegt. Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Beispiel für einen Kongruenzbeweis Gesucht: Kongruenzabbildung(en), die Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Beispiel für einen Kongruenzbeweis Gesucht: Kongruenzabbildung(en), die beide Dreiecke aufeinander abbildet(n) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Parkettierung mit Dreiecken Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Mit welchen regelmäßigen n-Ecken kann man die Ebene parkettieren? Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Mit welchen regelmäßigen n-Ecken kann man die Ebene parkettieren?   Zahl der platonischen Körper? Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Kongruenz in der Schule mögliche Konsequenzen Erste Erfahrungen mit Kongruenz (insbesondere Symmetrie) werden in der Schule unabhängig von Dreieckskonstruktionen gemacht. Durch das Thema „Parkettierung“ kann man Schüler fast alle lehrplanüblichen (z. B. Th. Kl. 6) Geometrieteile entdecken lassen (Winkel an geschnittenen Parallelen; Punktspiegelung; Verschiebungen; Winkelsummensatz im Dreieck), ehe man sie danach systematisch aufarbeitet. Das oft gepflegte umgekehrte Vorgehen (ein Begriff nach dem anderen) kann die Problemlösefähigkeit und die Flexibilität der Schüler behindern. Methoden der Dreieckskonstruktionen sollten von Schülern durch geeignete Problemumgebungen entwickelt werden (nichts anderes sind zunächst die bekannten Kongruenzsätze) Die eigentliche Bedeutung und Funktion der Kongruenzsätze besteht darin, Hilfsmittel bei Beweisen sein zu können. Auch das Bewusstsein hierfür erwächst selten nur durch bloße Mitteilung, sondern durch die beim selbständigen Tun gemachte Erfahrung. Dazu kann das Beispiel der beiden Quadrate dienen. Hier können Schüler durch den Vergleich von zwei Dreiecken auf die Vermutung WSW stoßen (im Falle der Gültigkeit wäre der eingeschlossene Flächeninhalt immer der vierte Teil des Quadratflächeninhaltes). Diese Situation kann behilflich sein, einzusehen, dass WSW zu beweisen ist. Trotzdem ist sehr genau zu überlegen, inwieweit derartige Beweise für Schüler der 6ten oder 7ten Klasse einsichtig sein können. Viele Beweise in Schulbüchern sind fehlerhaft oder unvollständig. Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Ähnlichkeit Hier kann man im Unterricht „ähnlich“ (analog) wie bei der Kongruenz vorgehen: Zunächst muss man die beiden Konzepte unterscheiden. Eine erste einfache Vorstellung: Zwei Figuren sind kongruent, wenn man sie aufeinander legen kann. Sie haben gleiche Form/Gestalt und gleiche Größe. Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie gleiche Form, aber nicht unbedingt gleiche Größe haben. Man kann die eine Figur so vergrößern oder verkleinern, dass sie danach mit der anderen zur Deckung gebracht werden kann. Am Anfang ist es oft günstiger, von Phänomenen auszugehen. Maßstabgerechte Landkarten, Photokopierer und Größenbestimmungen sind z. B. sinnvolle Ausgangspunkte (siehe z.B. auch die Einstiege aus Kapitel 3 von MatheNetz 9, nächsten beiden Seiten) Am Anfang stehen Erkenntnisse wie gleiche Seitenverhältnisse und gleich große Winkel. Nur bei krummlinigen Figuren macht das keinen Sinn. Die intuitive Einsicht der Ähnlichkeit – z. B. aller Kreise – erfordert einen weiteren Ähnlichkeitsbegriff – z. B. über zentrische Streckungen. Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Aus MatheNetz 9 Westermann Schulbuchverlag 2001 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Aus MatheNetz 9 Westermann Schulbuchverlag 2001 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Modellieruungen/Anwendungen im MU der SI Möglichkeiten und Grenzen

Beispiel: Schneeräumproblem D B 24 28 26 12 E 13 C 23 M A 14 29 20 G F L I 30 25 31 21 36 H 33 K J Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Didaktische Anmerkungen Problem muss passend eingeführt werden! Diskussion und Schülerfragen sehr wichtig! Problem sehr voraussetzungsarm Lässt verschiedene Lösungen zu Lässt sinnvolle Begriffsbildung zu Schult Problemlösefähigkeit Lässt verschiedene Niveaus der Bearbeitung zu (Algorithmen finden; in Computerprogramm umsetzbar; Beweis, dass versch. Lösungswege gleiches Ergebnis haben) Lässt damit vielfältige Differenzierung zu Modellierungsproblematik kann (und muss) intensiv diskutiert werden Vielfältig ausbaufähig (mit Einbahnstrassen, Autobahnen; oder ganz anders: Glasfasernetzoptimierung!) Problem der Graphentheorie (in der einführenden Version: Suche nach einem minimalem Gerüst; engl. minimal spanning tree) Graphentheorie ist ein ausgesprochen vielseitiges Gebiet der Mathematik (gibt bei wenig Voraussetzungen sofort Gelegenheit zu Vermutungen und Beweisen, vielfältige Anwendungen in Optimierungstheorie/Netzplantheorie ) Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Eher bedenklich: Wie ist PISA auf den (See-) Hund gekommen? Eine Robbe muss atmen, auch wenn sie schläft. Martin hat eine Robbe eine Stunde lang beobachtet. Zu Beginn seiner Beobachtung befand sich die Robbe an der Wasseroberfläche und holte Atem. Anschließend tauchte sie zum Meeresboden und begann zu schlafen. Innerhalb von 8 Minuten trieb sie langsam zurück an die Oberfläche und holte Atem. Drei Minuten später war sie wieder auf dem Meeresboden, und der ganze Prozess fing von vorne an. Nach einer Stunde war die Robbe: a) auf dem Meeresboden b) auf dem Weg nach oben c) beim Atemholen d) auf dem Weg nach unten Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Mögliche Fragen Wie viel Zeit benötigt die Robbe zum atmen? Wie lange liegt die Robbe am Boden? Wie konnte der Junge eigentlich nachts bis zum Boden des Meeres sehen? Wie könnte man die Aufgaben „geeignet“ variieren? Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 Spiele im MU Zum Üben (siehe Bruchdomino) Tangramm Nim Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 NIM I Zwei Spieler (A und B) nehmen abwechselnd je einen oder zwei Steine von einem Haufen weg. Wer kann den letzten Stein wegnehmen? Erster Repräsentationswechsel: lineare Darstellung B A verliert! A A START ZIEL Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005 NIM II Two players (A and B), take away one or two checkers from two piles in alternating order. - Who can take the last one (winner)? Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Nim II: Repräsentation 2 Ziel L L L L L L L L L L L L L L L L 1 L L L L L Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005

Nim II: Repräsentation 3 Verlust Positionen: X+Y = n·3↔ X+Y Ξ 0 mod 3 Gewinn Positionen: X+Y ≠ n·3 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena 2005