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Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena

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Präsentation zum Thema: "Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena"—  Präsentation transkript:

1 Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena
Zur Entwicklung mathematischen Denkens zwischen „Wellenreiten“ und Traditionen Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena Karlsruhe Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

2 Anwendungsorientierung (vgl. PISA)? Computerorientierung?
Wellenreiten ? Mengenleh(e?)re? „Back to basics“? Anwendungsorientierung (vgl. PISA)? Computerorientierung? Entwicklung und Förderung mathematischen Denkens?! Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

3 Anlässe zum Nachdenken über mathematisches Denken
Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

4 Anlass 1: Bruchrechnung
„Der deutsche Osthandel erlebte in diesem Jahr einen kräftigen Schub. Nach Schätzung des Ost- und Mitteleuropa Vereins (OMV) wird der Osthandel erstmals ein Zehntel des gesamten deutschen Außenhandels ausmachen, nachdem er jahrelang nicht über ein Fünftel hinauskam.” (aus der Süddeutschen Zeitung) Ein mögliches Ergebnis derartiger Bemühungen wird etwa durch das folgende Beispiel verdeutlicht (vorlesen): Sollte uns das nicht zu denken geben? Manch Träger der neueren deutschen „Leid-Kultur“ aus der Blödelszene würde vielleicht sagen: ich denke nein. Das ist für uns natürlich nicht akzeptabel! Wie können mögliche Alternativen aussehen? Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

5 Anlass 2: Empirische Untersuchung vor und nach Unterricht im Bruchrechnen (Hasemann)
1. Schraffiere in folgender Figur zunächst die Hälfte und sodann zusätzlich ein drittel von ihr. Welchen Anteil hast du insgesamt schraffiert? 2. Ergebnisse einer von Hasemann durchgeführten Studie zur Bruchrechnung: Vor deren Behandlung konnten noch die meisten Kinder Aufgaben des Types 1 und 3 bearbeiten, danach konnten sie (natürlich) zwar besser Aufgaben des Typs 2, aber kaum noch solche von Typ 1 und 3 korrekt lösen. Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik. 3. Sieben Äpfel sind unter vier Kindern aufzuteilen. Wieviel bekommt jedes? Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

6 Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik!
Anlass 2: Empirische Untersuchung vor und nach Unterricht im Bruchrechnen Ergebnisse Vorher zu 1 (geometrisch): überwiegend richtig Zu 2 (symbolisch): überwiegend falsch Zu 3 (handlungsorientiert): überwiegend richtig Nachher zu 1 (geometrisch): überwiegend falsch Zu 2 (symbolisch): überwiegend richtig Zu 3 (handlungsorientiert): überwiegend falsch Ergebnisse einer von Hasemann durchgeführten Studie zur Bruchrechnung: Vor deren Behandlung konnten noch die meisten Kinder Aufgaben des Types 1 und 3 bearbeiten, danach konnten sie (natürlich) zwar besser Aufgaben des Typs 2, aber kaum noch solche von Typ 1 und 3 korrekt lösen. Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik. Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik! Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

7 Anlass 3: Mentale „Trampelpfade“
Heinrich der Achte hatte sechs Frauen. Wie viele Frauen hatte Heinrich der Vierte?? (nach Jan de Lange) Ergebnisse einer von Hasemann durchgeführten Studie zur Bruchrechnung: Vor deren Behandlung konnten noch die meisten Kinder Aufgaben des Types 1 und 3 bearbeiten, danach konnten sie (natürlich) zwar besser Aufgaben des Typs 2, aber kaum noch solche von Typ 1 und 3 korrekt lösen. Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik. Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

8 Karlsruhe 2003 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

9 PISA ! Neu(est)er Anlass (4):
Zunächst die Ergebnisse der TIMS-Studie und vor kurzem die der PISA-Studie haben in der deutschen Bildungslandschaft wie eine Bombe eingeschlagen. Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

10 Eine PISA-Aufgabe Eine Robbe muss atmen, auch wenn sie schläft. Martin hat eine Robbe eine Stunde lang beobachtet. Zu Beginn seiner Beobachtung befand sich die Robbe an der Wasseroberfläche und holte Atem. Anschließend tauchte sie zum Meeresboden und begann zu schlafen. Innerhalb von 8 Minuten trieb sie langsam zurück an die Oberfläche und holte Atem. Drei Minuten später war sie wieder auf dem Meeresboden, und der ganze Prozess fing von vorne an. Nach einer Stunde war die Robbe: a) auf dem Meeresboden b) auf dem Weg nach oben c) beim Atemholen d) auf dem Weg nach unten? Ist das eine „realistische Aufgabe“? Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

11 Einige Fragen Wie viel Zeit benötigt die Robbe zum atmen?
Wie lange liegt die Robbe am Boden? Wieso konnte der Junge (nachts?) bis zum Grund des Meeres sehen? Wie könnte man die Aufgaben „geeignet“ variieren? Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

12 Einige Erfahrungen aus SF (Annahme: die meisten PISA-Aufgaben sinnvoll
SF ist Aufsteigernation (700 Jahre Kolonie, industrielle Revolution erst nach 1945) Schulsystem und Bildung aus Deutschland lange Vorbild! In SF haben Bildung, Lehren und Lernen einen extrem hohen Stellenwert! Lehrerberuf in SF mit am höchsten angesehen (bei durchschnittlich ca. 1/3 geringerem Einkommen als in D !) Gesamtschule Klasse 1-9 für alle, danach über 50% aufs Gymnasium; Studierquote 70% (30% in D) Zentralabitur und rigorose Auswahlverfahren an allen Unis und für alle Fächer (nur 10-30% der Erstbewerber zugelassen für Lehramt!) Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

13 Oft in D: Der Lehrer… Faule Säcke!!
Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

14 Der Lehrer… Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

15 Der Lehrer… Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

16 Anlass 5: Weitere Erfahrung aus Finnland
In einer TIMSS-Nachfolgeuntersuchung schnitten finnische Achtklässler gegenüber denen aus anderen Ländern am besten bei Aufgaben aus der Wahr-scheinlichkeitsrechnung ab. Die finnischen Schüler hatten dieses Gebiet als einzige noch nicht im Unterricht behandelt! Dr. Pekka Kupari (Mathe-PISA-Zentrale SF) Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

17 Karlsruhe 2003 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

18 Welche Möglichkeiten gibt es zur Initiierung („Nichtverhinderung“) von Denkprozessen?
Problemorientierung!? Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

19 Was ist Problemorientierung?
Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

20 Was ist ein Problem? Eher eine Aufgabe:
"In a discus-throwing competition, the winning throw was m. The second-place throw was m. How much longer was the winning throw than the second-place throw? A m B m C m D m." (Aus TIMSS 1994; "Performance Expectation: Solving Problems"!). Eher ein Problem: „Wie viele rechte Winkel kann ein Vieleck haben?“ (Szambien 1992, 1996; vgl. MN 8, S. 163 A2 ). Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

21 „gute“ Probleme – einige Kriterien
Nicht sofort Lösung parat (hängt von der jeweiligen Person ab) Erfordert selbständiges Denken Lässt mehrere Lösungswege zu Beinhaltet Differenzierungsmöglichkeiten nach Denkstil und Leistung Ist ausbaufähig (variier- und verallgemeinerbar) Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

22 Wie lässt sich das unterrichten?
Klassische Methode: Mögliche Effekte: s. „Anlässe“ Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

23 Mögliches Ergebnis von „Eintrichterbemühungen“
Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

24 Mögliche methodische Alternativen
Bsp. 1: Ordnen von Brüchen Hauptnennermethode Wie überlegen Sie? Wer hat mittels Hauptnennerbildung gearbeitet? Ohne? Das ist dann wohl auch für die Schüler gut. „dichter bei 1“ als Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

25 Bsp. 2: Division von Brüchen:
„Zähler durch Zähler, Nenner durch Nenner“ Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

26 Bsp. 3: Kuchenproblem (TIMSS Japan)
Für die Gäste einer Geburtstagspartie sollen 10 Stück Kuchen eingekauft werden. Dafür stehen 21 Euro zur Verfügung. Man kann zwei verschiedene Kuchensorten kaufen; ein Stück Bienenstich kostet 2 Euro, ein Stück Torte 2,3 Euro. Es sollen möglichst viele Stücke Torte eingekauft werden. Wie viele sind das? Problem aus Japan von der TIMSS-Video-Studie, in der Unterricht aus Japan/USA/Deutschland verglichen wurde Hierzu etliche Lösungen zunächst eine „originale“: Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

27 Aki (8te Klasse): Torte Bienenstich Summe Stück Kosten Stück Kosten
, ,70 , ,20 , ,90 Aki nähert sich vorsichtig der Lösung, indem sie zunächst zu viel Stück Torte nimmt und dann schrittweise deren Zahl verringert und jeweils durch einen Bienenstich ersetzt, bis das Geld schließlich für insgesamt 10 Stück reicht. Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

28 Dieter (8te Klasse): x  2,30 + (10 – x)  2  21 x  0,30  1 x = 3
Dieter (in der „Wirklichkeit“ auch ein Japaner) ist ein Formelfreak und bedient das Lernziel „Aufstellen und Lösen einer Ungleichung“, allgemeiner: „Mathematik ist, wenn mit möglichst viel Formeln operiert wird“, am besten. Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

29 Clara (4. Klasse): „Zunächst 10 Bienenstich ‚kaufen‘.
Dann habe ich noch einen Euro über. Tausche Torte gegen Bienenstich, kostet 30 Cent mehr. Die passen in den einen Euro 3 mal rein, 4 mal liegt schon drüber. Also: von den 10 Bienenstich 3 Stück gegen 3 Tortenstücke eintauschen und fertig!” Clara ging in eine Jenenser Grundschule und hat diese Lösung aufgeschrieben. Sehr elegant! Vom japanischen Lehrer wird die zuvor vorgestellte algebraische Lösung als die beste bezeichnet, was mir ein bißchen problematisch erscheint: sie ist zwar von größter Reichweite, aber nicht die eleganteste und einfachste für diese Aufgabe. Da gefällt mir Claras Lösung am besten. Vgl. MN9, S. 246 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

30 Bsp. 4: Wanderungen im Zahlenhaus
Vgl. MN5, S. 93, Ü. 18 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

31 Mögliche Fragen Wie viele verschiedene Wege findet ihr?
Durch wie viele verschiedene Räume kommt ihr dabei? Auf jedem Weg sollen die Zahlen addiert werden. Welches ist die größte, welches die kleinste Zahl? Kommen dazwischen alle Zahlen als Wegsummen vor? Gibt es verschiedene Wege mit gleicher Summe? Welche Variationen der Aufgabe findet ihr? Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

32 Bsp. 5: Sortierspiel ? Bubble-Sort:
Wie viele Züge benötige ich mindestens, um die Plättchenreihe in der angegebenen Weise zu ordnen? schon in der Grundschule einsetzbar; fundamentale Idee der Informatik: Algorithmen; hier Sortieralgorithmus Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

33 Sortierspiel 2 + 1 Also bei n Plättchen von jeder Farbe n(n-1)/2
2 + 1 Also bei n Plättchen von jeder Farbe n(n-1)/2 Moral: Anschauung und verschiedene Darstellungsweisen unterstützen. Nicht zu früh und zu viel Formalismus! 4 + 3 + 2 + 1 MN 7, S. 250, Projekt Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

34 Bsp. 6: LGS I) x+2y=1 2x+2y=1 II) x+2y+3z=1 2x+2y+3z=1 3x+3y+3z=1
III)x+2y+3z+4u=1 2x+2y+3z+4u=1 3x+3y+3z+4u=1 4x+4y+4z+4u=1 IV) x+2y+3z+4u+5v=1 2x+2y+3z+4u+5v=1 3x+3y+3z+4u+5v=1 4x+4y+4z+4u+5v=1 5x+5y+5z+5u+5v=1 MN9, S. 48, Ü16 Was ist die Lösung eines entsprechend „gebauten” LGS mit n Variablen und n Gleichungen? Du kannst dir bei der Suche nach einer Vermutung ggf. von einem Computeralgebrasystem (CAS) helfen lassen. Begründe deine Vermutung. Setze oben in der letzten Spalte (rechts vom Gleichheitszeichen) die Zahlen 1; 2; 3; ...n (bzw. n; (n-1); (n-2); ...3; 2; 1; n Mal n bzw. n Mal a) ein. Welche Lösung erhältst du in diesen Fällen? Begründung? Erfinde selber „gemusterte Gleichungssysteme” (du kannst dich z. B. durch figurierte Zahlen anregen lassen!) mit einfachen Lösungen! Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

35 Bsp. 7: Ulam Spirale Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

36 Bsp. 8: Pythagoras und al Sijzi
Al Sijzi hat durch Variationen klassischer Probleme und Aufgaben schon vor über 1000 Jahren ganze Problemfelder bestellt Vgl. MN 9, S. 129 A2 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

37 Bsp. 8: Pythagoras und al Sijzi
Wer war al-Sijzi? Abu Sa’id Ahmad ibn Muhammad ibn ’Abd al-Jalil al-Sijzi, lebte im 10. Jahrhundert aus Sijistan im heutigen Südostiran bzw. südwestlichen Afghanistan Übersetzung des Aufgabentextes: PD Dr. Sonja Brentjes Al Sijzi hat durch Variationen klassischer Probleme und Aufgaben schon vor über 1000 Jahren ganze Problemfelder bestellt Vgl. MN 9, S. 129 A2 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

38 Warum Problemorientierung?
Können vor Wissen Lernpsychologie, Ergebnisse moderner Hirnforschung (Konstruktivismus und Konnektionismus) Gesellschaftliche Erfordernisse (z. Z. reichlich „Probleme“!) Geschichte der Mathematik Fortschritt in der Mathematik primär durch Lösen von herausfordernden Problemen als Quelle für eine (nicht nur) kognitionspsychologische Langzeitstudie Spitzer, M.: Lernen; Spektrum 2002 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

39 Mögliche Invarianten: wesentliche mathematische (Denk-) Tätigkeiten
Axiomatik Mögliche Invarianten: wesentliche mathematische (Denk-) Tätigkeiten Beweise Heuristik Ordnen Riten, ReligionÄsthetik Begründen Finden Würfelspiel; U.-Mathem. Bewerten Spielen Der Gang in die Geschichte zeigt den ungeheuren Reichtum und die Vielfalt mathematischen Tuns. Schaut man nach, welche Tätigkeiten innerhalb der letzten 5000 Jahren immer wieder neue Ergebnisse hervorgebracht haben, so kann man z. B. zu folgenden Tätigkeiten kommen: Da diese Tätigkeiten nachweislich besonders erfolgreich waren, ist es sicher auch angebracht, diese bei der Zielsetzung für den MU mit zu berücksichtigen. Berechnen Konstruieren Kalküle, Algorithmen Architektur Geometrie Anwenden Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

40 Wichtige heuristische Methoden
Inhaltliches Lösen Darstellungswechsel Rückwärtsarbeiten (analytische Methode) Analogisieren atomistische Methoden Variieren und Verallgemeinern Abstrahieren Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

41 Entwicklung einer Schulbuchreihe
Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

42 Probleme mit der Problemorientierungen: Implementierungsschwierigkeiten
„Zeitmangel“? „Richtige Probleme sind nur etwas für besonders begabte Schüler“? „Eigentlich machen wir das doch schon längst!“? „Vermittlung von Grundwissen und Routinetechniken ist am wichtigsten“? Stellenwert von Bildung und Lernen in der Gesellschaft? Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena

43 Karlsruhe 2003 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

44 Karlsruhe 2003 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

45 Aus der Geschichte der Philosophie
Ich höre, und ich vergesse, ich sehe, und ich erinnere mich, ich tue, und ich verstehe! Auch früher wurde schon die Tätigkeit als ein wesentlicher Weg zum Verständnis erkannt. Konfuzius, ( v. Chr.) Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen B. Zimmermann FSU Jena


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