Die theoretischen Grundlagen der Bondgraphen-Methodik In dieser Vorlesung wollen wir uns die theoretische Untermauerung der Bondgraphen-Methodik etwas genauer ansehen. Insbesondere befassen wir uns mit den vier Basisvariabeln sowie mit den Eigenschaften kapazitiver und induktiver Speicherelemente, und schliesslich erörtern wir das Dualitätsprinzip der Bondgraphen. Ebenfalls werden wir die zwei Typen von Energieumformern, den Transformator und den Gyrator, einführen und die Bondgraphen-Methodik auf hydrauli-sche Anwendungen erweitern. 24. November, 2004

Table of Contents Die vier Basisvariabeln der Bondgraphen-Methodik Eigenschaften der Speicherelemente Hydraulische Bondgraphen Energieumwandlung Elektromechanische Systeme Das Dualitätsprinzip der Bondgraphen Die Diamantenregel 24. November, 2004

Die vier Basisvariablen der Bondgraphenmethodik Neben den beiden adjugierten Variablen e und f, gibt es zwei weitere physikalische Grössen, die bei Bondgraphen eine Rolle spielen: p =  e · dt Verallgemeinertes Moment: q =  f · dt Verallgemeinerte Position: 24. November, 2004

Relationen zwischen den Basisvariablen Widerstand: Kapazität: Induktivität: e = R( f ) q = C( e ) p = I( f ) e f q p  R C I  Beliebig nichtlineare Funktionen im 1. und 3. Quadranten  Es kann ausser C und I keine weiteren Speicher geben. 24. November, 2004

Nichtlineare Kapazität Hier muss die Kapazitätsgleichung eingesetzt werden. 24. November, 2004

Lineare Speicher q = C( e ) q = C · e de f = C · dt Allgemeine Kapazitätsgleichung: q = C( e ) q = C · e Lineare Kapazitätsgleichung: f = C · de dt Lineare Kapazitätsgleichung abgeleitet: „Normale“ Kapazitätsgleichung, wie bisher angetroffen. 24. November, 2004

e f p q Einsatz Fluss Elektrische Schaltungen Spannung u (V) Strom Verallgemeinertes Moment Verallgemeinerte Verschiebung e f p q Elektrische Schaltungen Spannung u (V) Strom i (A) Magn. Fluss  (V·sec) Ladung q (A·sec) Translations-systeme Kraft F (N) Geschwindigkeit v (m / sec) Kraftmoment M (N·sec) Verschiebung x (m) Rotations-systeme Drehmoment T (N·m) Winkelgeschw.  (rad / sec) Torsion T (N·m·sec) Winkel  (rad) Hydraulische Systeme Druck p (N / m2) Volumenfluss q (m3 / sec) Druckmoment Γ (N·sec / m2) Volumen V (m3) Chemische Systeme Chem. Potential  (J / mol) Molarer Fluss  (mol/sec) - Anzahl Mole n (mol) Thermodynamik- systeme Temperatur T (K) Entropiefluss S’ (W / K) Entropie S (J / K ) 24. November, 2004

Hydraulische Bondgraphen I In der Hydraulik sind die beiden adjugierten Variablen der Druck p und der Volumenfluss q. Dabei wird der Druck als Einsatzvariable (Potential) betrachtet, während der Volumenfluss die Rolle der Flussvariable übernimmt. Der kapazitive Speicher beschreibt die Kompression der Flüssigkeit als Funktion des Drucks, während der induktive Speicher die Trägheit der bewegten Flüssigkeit modelliert. [W] = [N/ m2] · [m3 / s] = kg · m -1 · s-2] · [m3 · s-1] = [kg · m2 · s-3] Phydr = p · q 24. November, 2004

Hydraulische Bondgraphen II qein qaus p dp dt = c · ( qein – qaus ) Dq C : 1/c Kompression: p1 Laminare Strömung: q p2 Dp R : 1/k q = k · Dp = k · ( p1 – p2 ) Turbulente Strömung: Dp q G : k p2 p1 q = k · sign(Dp) · |Dp| Hydro 24. November, 2004

Energieumwandlung Neben den bisher betrachteten Elementen zur Energiespei-cherung ( C und I ) sowie Dissipation (Umwandlung in Wärme) ( R ) werden noch zwei weitere Elemente benötigt, welche allgemeine Energiewandler beschreiben, den Transformator und den Gyrator. Während Widerstände die irreversible Umwandlung freier Energie in Wärme beschreiben, werden Transformatoren und Gyratoren verwendet, um reversible Energieumwand-lungsvorgänge zwischen gleichartigen oder verschieden-artigen Energieformen zu beschreiben. 24. November, 2004

Transformatoren   TF Übersetzung: e1 = m · e2 (1) Energieerhaltung: e1 · f1 = e2 · f2 (2)  (m ·e2 ) · f1 = e2 · f2 f2 = m · f1 (4) (3)  Der Transformator kann entweder durch Gleichungen (1) und (2) oder durch Gleichungen (1) und (4) beschrieben werden. 24. November, 2004

Die Kausalisierung des Transformators 1 e 2 TF m e1 = m · e2 f2 = m · f1 f 1 e 2 TF m e2 = e1 / m f1 = f2 / m  Da wir genau eine Gleichung für den Einsatz und eine für den Fluss haben, müssen beim Transformator ein Einsatz und ein Fluss berechnet werden. 24. November, 2004

Beispiele von Transformatoren Elektrischer Transformator (bei Wechselstrom im einge-schwungenen Zustand) Mechanisches Getriebe Hydraulischer Stossdämpfer m = 1/M m = r1 /r2 m = A 24. November, 2004

Gyratoren   GY Übersetzung: e1 = r · f2 (1) Energieerhaltung: e1 · f1 = e2 · f2 (2)  (r ·f2 ) · f1 = e2 · f2 e2 = r · f1 (4) (3)  Der Gyrator kann entweder durch Gleichungen (1) und (2) oder durch Gleichungen (1) und (4) beschrieben werden. 24. November, 2004

Die Kausalisierung des Gyrators f 1 e 2 GY r e1 = r · f2 e2 = r · f1 f 1 e 2 GY r f2 = e1 / r f1 = e2 / r  Da wir eine Gleichung links, die andere rechts vom Gyrator rechnen müssen, können wir die Gleichungen entweder nach den beiden Einsatzvariablen oder aber nach den beiden Flussgrössen auflösen. 24. November, 2004

Beispiel eines Gyrators Beim Gleichstrommotor ist das Drehmoment tm proportional zum Ankerstrom ia , während sich die induzierte Spannung ui proportional zur Winkelgeschwindigkeit m verhält. 24. November, 2004

Beispiel eines elektromechanischen Systems Kausalitätskonflikt (verur-sacht durch das Getriebe) 24. November, 2004

Das Dualitätsprinzip Es ist möglich, jeden Bondgraphen zu „dualisieren“, indem die Definitionen der Einsatz- und Flussgrössen vertauscht werden. Beim Dualisieren werden Einsatzquellen zu Flussquellen, Kapazitäten zu Induktivitäten, Widerstände zu Leitwerten, und umgekehrt. Bei den Transformatoren und Gyratoren wird der Wert der Übersetzung invertiert. Die beiden Verzweigungen vertauschen ihren Typus. Alle Kausalitätsstriche wandern ans jeweils andere Ende jedes Bonds. 24. November, 2004

1. Beispiel Die beiden Bondgraphen liefern iden-tische Simulationsresultate. 24. November, 2004

2. Beispiel 24. November, 2004

Partielle Dualisierung Es ist immer möglich, Bondgraphen partiell zu dualisieren. Bei den Transformatoren und Gyratoren ist die partielle Dualisie-rung besonders einfach zu bewerkstelligen. Die beiden Wandler tauschen dabei ihren Typ. So mag es z.B. sinnvoll sein, nur die mechanische Seite zu dualisieren, während die elektrische Seite in der Originalkausalität belassen wird. Es kann aber auch bei jedem einzelnen Bond partiell dualisiert werden. Dabei wird der „verdrehte“ Bond zu einem Gyrator mit der Übersetzung r=1. Ein solcher Gyrator wird in der Literatur als symplektischer Gyrator bezeichnet. 24. November, 2004

Umformung von Bondgraphen Jedes physikalische System mit konzentrierten Parametern kann durch einen Bondgraphen beschrieben werden. Die Bondgraphendarstellung ist aber nicht eindeutig, d.h. mehrere verschiedene Bondgraphen können identische Gleichungssysteme repräsentieren. Eine Mehrdeutigkeit haben wir bereits kennen gelernt: die Dualisierung. Es gibt aber auch Mehrdeutigkeiten, die nicht auf Dualisierung zurückzuführen sind. 24. November, 2004

Die Diamantenregel  m2 m1 k12 effizienter B1 B2 Diamant B12 1 1 SE:F F v2 I:m2 Fm2 1 R:B2 FB2 Fk12 +FB12 v1 v12 R:B12 FB12 R:B1 FB1 I:m1 Fm1 C:1/k12 SE:F F v2 I:m2 Fm2 1 R:B2 FB2 v12 R:B12 R:B1 v1 FB1 I:m1 Fm1 C:1/k12 FB12 Fk12 Unterschiedliche Variablen  24. November, 2004

Referenzen Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 7. 24. November, 2004