Das Konzept unscharfer Mengen Basisdefinitionen und Darstellungsformen 16/04/2017
Das Konzept der unscharfen Mengen Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) Charakterisierung unscharfer Mengen Grundlegende Mengenrelationen Typen unscharfer Mengen 16/04/2017
Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) Definition : (Menge) „Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten Wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“ [Cantor 1966] bestimmt – es ist eindeutig entscheidbar ob ein Objekt zu einer Menge gehört oder nicht. Wohlunterschieden – es ist eindeutig entscheidbar, ob zwei beliebige Elemente gleich oder ungleich sind. 16/04/2017
Beschreibung von Mengen aufzählende Form A = { x1, ... , xn } beschreibende Form in ihr werden die Elemente über gemeinsame Eigenschaften charakterisiert. A = { x | x Ω und B(x) } Ω – Grundmenge (z.B. die Menge aller Computer) x - Variable B(x) – Bedingungen Funktionen (Indikatorfunktion) fA: Ω { 0, 1 } a Ω gilt: f(a) := 1 , falls a A f(a) := 0, falls a A 16/04/2017
A = { x | x Ω , 16 <= RAM(x) <= 64 } Beispiel: A = { x | x Ω , 16 <= RAM(x) <= 64 } Ω - Ist die Menge aller Computer 16/04/2017
Definition : (Kardinalität) Die Kardinalität einer Menge A ist die Anzahl ihrer Elemente. (geschrieben card(A) oder |A|) Definition : (A = B) A = B (x A : x B) und (x B : x A ) Definition : (A ≠ B) A ≠ B (x A : x B) oder (x B : x A ) Definition: (Potenz Mengen) P(A) = { x | x A } 16/04/2017
Definition: (unechte Teilmenge) Definition: (unechte Teilmenge) A B (x A : x B) Definition: (echte Teilmenge) A B A B und A ≠ B Definition: (Vereinigungsmenge) A B = { x | x A oder x B } Definition: (Schnittmenge) A B = {x | x A und x B } Definition: (Disjunkte Mengen) dis(A, B) A B = Definition: (Differenzmenge) A \ B = { x | x A und x B } 16/04/2017
Definition: (Komplementmenge) Definition: (Komplementmenge) A = { x | x Ω und x A} Definition: (Kartesisches Produkt) A1 x A2 x ... x An = { (x1, x2, ... , xn) | x1 A1 , ... , xn An} Definition: (Konvexe Mengen) Eine Menge A n heißt konvex, wenn für je zwei Punkte P1, P2 A auch alle Punkte der Verbindungssträcke zwischen P1 und P2 zu A gehöhren. 16/04/2017
Gesetzte der klassischen Mengenalgebra 16/04/2017
Das Konzept der unscharfen Mengen Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) Charakterisierung unscharfer Mengen Grundlegende Mengenrelationen Typen unscharfer Mengen 16/04/2017
Charakterisierung unscharfer Mengen Der Mengenbegriff setzt voraus das eindeutig bestimmt werden kann ob ein Objekt zu einer Menge gehört oder nicht. [Cantor] In der Realität existiert nicht eine derart präzise Zugehörigkeit. z.B. „die Schönheit eines Baumes “ oder „kleine und große Menschen“ [Zadeh] die scharfe Unterscheidung an den Randbereichen „aufzuweichen“ und „abzustufen“ Die Bildmenge von f wird erweitert: von { 0, 1 } auf [ 0, 1 ] 16/04/2017
Beispiel: (Stufenfunktion vs. stetige Funktion ) „starkes Fieber“ soll in einer Zahlen Menge beschrieben werden. Problem: was soll der Grenzwert sein? (z.B. 39.5 °C) 16/04/2017
Definition: (fuzzy set) Eine unscharfe Menge (Fuzzy-Menge) wird charakterisiert durch eine Funktion μ. (die Bildmenge ist das reelles Einheitsintervall) μ : Ω [ 0, 1 ] μ – Zugehörigkeitsfunktion / membership function μ(x) – Zugehörigkeitsgrade / grades of membership (Ω)- die Menge aller bildbaren Fuzzy-Mengen über Ω Fuzzy-Einermenge / fuzzy singleton – eine Fuzzy-Menge die genau ein Element mit einem zugehörigkeitsgrad (>0) enthält. gewöhnliche Mengen sind spezielle Fuzzy-Mengen 16/04/2017
Parametrische Standartfunktionen Fuzzy-Mengen werden über ihre Zugehörigkeitsfunktion beschrieben. Keine Einschränkung über die Grundmenge Keine Einschränkung über den Funktionsverlauf Beschreibung einer Funktion : Angabe einer Funktionsgleichung Explizite Auflistung von Argument-Werte-Paaren parametrische Funktionen 16/04/2017
- steht für den höchsten Wert mit μ() = 0 s-Funktion s(x, , ) - steht für den höchsten Wert mit μ() = 0 - steht für den niedrigsten Wert mit μ() = 1 z-Funktion z(x, , ) = 1 – s(x, , ) Spiegelung an der Gerden μ(x) = 0.5 s/z-Funktion s/z(x, , , , ) Aneinanderreihung von Teilabschnitten einer s- und einer z-Funktion So erzielt man einen „sanften“ Übergang in die kritischen Zonen 16/04/2017
Beispiel: 16/04/2017
Derartige Genauigkeit ist für Fuzzy-Mengen nicht nötig In der Praxis werden trapezförmige Funktionsgrafen verwendet (oder dreiecksförmige Funktionsgraphen) fTrapez(x, m1, m2, , ) (m1, m2) - gibt den Bereich an in dem μ(x) = 1 ist - ist die linke Schwankungsbreite (monoton steigend) - ist die rechte Schwankungsbreite (monoton fallend) 16/04/2017
Der Wert der Zugehörigkeitsfunktion μ(x) ist vom Kontext abhängig Beispiel: (Unscharfer Alteresangaben) Drei Kategorien von Alteresangaben „Jung“ , „Alt“ , „mittleren Alteres“ Der Wert der Zugehörigkeitsfunktion μ(x) ist vom Kontext abhängig „Geologischen Formationen“ oder „Lebewesen“ 16/04/2017
Parametrische Standartfunktionen haben zwei Vorzüge: Angabe weniger Parameter Es gibt Effiziente Verrechnungsvorschriften für sie Eine größere Flexibilität erreicht man mit stückweise linearen Zugehörigkeitsfunktionen. Alle Punkte des Funktionsgraphen werden angegeben. 16/04/2017
Das Konzept der unscharfen Mengen Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) Charakterisierung unscharfer Mengen Grundlegende Mengenrelationen Typen unscharfer Mengen 16/04/2017
Grundlegende Mengenrelationen Anforderung an die Grundlegende Mengenrelationen von Fuzzy-Mengen ist, daß sie äquivalent zu den Definitionen der Klassischen Mengenlehre sein soll. Fuzzy-Menge werden spezifiziert durch ihre Elemente und deren Zugehörigkeitsgraden 16/04/2017
Mengenrelationen Seien A, B Unscharfe Mengen über Ω Definition : (Gleichheit unscharfer Mengen) A = B x Ω : μA(x) = μB(x) Für viele Praktische zwecke ist diese Definition zu streng, deshalb werden „weichere“ Vergleichsmaße erlaubt. Definition : (ungleichheit unscharfer Mengen) A ≠ B x Ω : μA(x) ≠ μB(x) 16/04/2017
Definition: (unechte Teilmenge) A B x Ω : μA(x) < = μB(x) Definition: (echte Teilmenge) [Bothe] A B x Ω : μA(x) < μB(x) Dies ist keine Verallgemeinerung der klassischen Definition Definition: (echte Teilmenge) A B A B und A ≠ B Beispiel: 16/04/2017
Kenngrößen Definition : (Kardinalität) |A| = ∑ μA(x) x Ω Bei gewöhnliche Mengen erhält man die Anzahl der Elemente Bei unscharfen Mengen werden die Elemente mit deren Gewicht berücksichtigt Definition : (Relative Kardinalität) |A B| ||A/B|| = --------- : |B| ≠ 0 |B| 16/04/2017
Definition : (Höhe / height) hgt(A) = sup μA(x) x Ω In jeder normalen Fuzzy-Menge gibt es ein Element x mit μA(x) = 1 Dies gilt jedoch nicht für alle Fuzzy-Mengen Maß für den höchsten Zugehörigkeitsgrad Definition : (Normalität) A ist normalisiert hgt(A) = 1 A heißt subnormal hgt(A) ≠ 1 Jede subnormale unscharfe Menge As lässt sich in eine normalisierte unscharfe Menge An umwandeln. (durch Maßstabstransformationen ihrer Zugehörigkeitsgrade) μAs (x) μAn (x) = ----------- : hgt(As) ≠ 0 hgt(As) 16/04/2017
Definition: (Konvexität) Eine unscharfe Menge A ist konvex x1, x2 und [ 0, 1 ] gilt: μA( x1 + (1- ) x2 ) <= min{ μA(x1), μA(x2) } Sei A eine konvexe unscharfe Menge, dann gilt daß zwischen zwei Elementen x1 und x2 gibt es kein Element x3 mit μA(x3) <= min{ μA(x1), μA(x1) } Beispiel: 16/04/2017
Definition: (Träger / support) supp(A) - der Träger einer unscharfen Menge A über Ω. supp(A) = { x Ω | μA(x) > 0 } Definition: (Kern / core) core(A) - der Kern einer unscharfen Menge A über Ω. core(A) = { x Ω | μA(x) = 1 } Definition: (-Schnitt / -cut) A - der -Schnitt einer unscharfen Menge A über Ω. -Schnitt Niveaumenge A = { x Ω | μA(x) } : [ 0, 1 ] 16/04/2017
A> = {x Ω | μA(x) > } : [ 0, 1 ] Definition: (Scharfe -Schnitt / strenge -cut) A> - der Scharfen -Schnitt einer unscharfen Menge A über Ω. A> = {x Ω | μA(x) > } : [ 0, 1 ] Beispiel: 16/04/2017
Resolutionsidentität Der -Schnitt ist eine horizontale Sichtweise unscharfer Mengen. Die Beziehung zwischen einer unscharfen Menge und der Gesamtheit ihrer Niveaumengen wird mit dem Begriff Resolutionsidentität beschrieben 16/04/2017
Jede unscharfe Menge bestimmt eindeutig die Gesamtheit ihrer Niveaumengen. und Die Gesamtheit der Niveaumengen bestimmt eindeutig eine unscharfe Mange. 1 A = ∫ A ∫ - Vereinigungsbindung A – bezeichnetet eine unscharfe Menge , so das gilt: μA(x) = μA(x) : x Ω Die Resolutionsidentität kann sowohl: über die -Schnitte über die strengen -Schnitte Beschrieben werden 16/04/2017
Durch die Resolutionsidentität lässt sich jede unscharfe Menge als ein System von klassischen Mengen beschreiben mathematische Verfahren für unscharfe Mengen kann man zurückführen auf schon Definierte mathematische Verfahren für klassische Mengen Beispiel: 16/04/2017
Das Konzept der unscharfen Mengen Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) Charakterisierung unscharfer Mengen Grundlegende Mengenrelationen Typen unscharfer Mengen 16/04/2017
Typen unscharfer Mengen Definition: (fuzzy set) Eine unscharfe Menge (Fuzzy-Menge) wird charakterisiert durch eine Funktion μ. (unscharfe Mengen vom Typ 1l) μ : Ω [ 0, 1 ] Es wird keine Aussage die Grundmenge gemacht. Elemente der Grundmenge Ωx können selbst wieder unscharfe Mengen über eine andere Grundmenge Ωy sein. Fuzzy-Mengen dieses Typs heißen: „unscharfe Mengen zweiter Stufe“ Entsprechend werden „Fuzzy-Mengen höher Stufe“ gebildet. 16/04/2017
μ : Ω L : L - ist ein Verband Die Bildmenge jedoch wird bei Zadehs festgelegt. (das Einheitsintervall) Definition: (L-Fuzzy-Menge) Eine L-Fuzzy-Menge wird charakterisiert durch eine Funktion μ. μ : Ω L : L - ist ein Verband z.B. L = [ 0, 1 ] x [ 0, 1 ] oder L = [ 0, 1 ]n Fuzzy-Mengen Typ 1 sind spezielle L-Fuzzy-Mengen Definition: (unscharfe Mengen vom Typ 2) Eine unscharfe Mengen vom Typ 2 wird charakterisiert durch eine Funktion μ. μ : Ω F1 : F1 – ist eine Menge, deren Elemente vom Typ 1 sind Fuzzy-Mengen Typ 2 sind spezielle L-Fuzzy-Mengen 16/04/2017
Definition: (unscharfe Mengen vom Typ n) Eine unscharfe Mengen vom Typ n wird charakterisiert durch eine Funktion μ. μ : Ω Fn-1 : Fn-1 – ist eine Menge, deren Elemente vom Typ n-1 sind. In der weiteren Theorieentwicklung haben Typ n : n>2 keine signifikante Bedeutung erlangt. 16/04/2017
The End 16/04/2017