MCMC genome rearrangement SE Aktuelle Themen der BioInformatik André Brück ( )

André Brück - MCMC genome rearrangement 2/80 Gliederung Einführung Grundlagen Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Ausblick Fragen / Diskussion

André Brück - MCMC genome rearrangement 3/80 Einführung Worum geht es? Abschätzung evolutionärer Abstände mittels Zählen der benötigten Mutationen „reversals“ „signed permutations“

André Brück - MCMC genome rearrangement 4/80 Einführung Wie viele Mutationen benötigt man, um aus einem Grünkohl eine Mohrrübe zu machen ???...und wie viele um von der Mitochondrien – DNA eines Wurmes zu der humanen zu kommen ???

André Brück - MCMC genome rearrangement 5/80 Gliederung Einführung Grundlagen Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Ausblick Fragen / Diskussion

André Brück - MCMC genome rearrangement 6/80 Grundlagen Permutation 1,5,3,4,2 vorzeichen-behaftete Permutation +1,-5,+3,+4,-2 Jede Zahl steht für eine bei beiden Individuen gleiche Abfolge der DNA- Moleküle

André Brück - MCMC genome rearrangement 7/80 Grundlagen Was ist ein „reversal“? „Eine Inversion der Abfolge der Nukleotide einer DNA-Sequenz“ ACGATA -> ATAGCA +1 -> -1

André Brück - MCMC genome rearrangement 8/80 Grundlagen reversals

André Brück - MCMC genome rearrangement 9/80 Grundlagen 7

André Brück - MCMC genome rearrangement 10/80 Grundlagen 26

André Brück - MCMC genome rearrangement 11/80 Grundlagen „Reality – Desire – Diagram“ (+3,-2,-1,+4,-5) Definieren wir als:

André Brück - MCMC genome rearrangement 12/80 Grundlagen „Reality-Diagram“ = tatsächliches Vorkommen „Desire-Diagram“ = „so soll´s sein“ bzw. „so war es einmal“

André Brück - MCMC genome rearrangement 13/80 Grundlagen Koventionen: –„Reality“ wird auf den Kreis gezeichnet (Lit.: „black edges“) –„Desire“ als Kanten im Kreis (Lit.: „gray edges“) –Pfeilrichtung immer - +

André Brück - MCMC genome rearrangement 14/80 Grundlagen „Reality – Desire – Diagram“ für Beispiel R=(+3,-2,-1,+4,-5) und D=(+1,+2,+3,+4,+5)

André Brück - MCMC genome rearrangement 15/80 Grundlagen „Reality – Desire - Diagram“

André Brück - MCMC genome rearrangement 16/80 Grundlagen „breakpoint – graph“  eine Abschätzung, wie viele „reversals“ mindestens benötigt werden  Grobe untere Schranke

André Brück - MCMC genome rearrangement 17/80 Grundlagen Was ist ein „breakpoint“ ? Definition: Wenn (x,y) in einem Graphen α vorliegt, in einem Graphen β aber weder (x,y) noch (-y,-x) vorkommen, so bezeichnet man (x,y) als „breakpoint“ von α in Bezug auf β. Beispiel: (+3,-2,-1,+4,-5) (+1,+2,+3,+4,+5) (+3,-2) (-1,+4) sind „breakpoints“, (-2,-1) ist KEIN „breakpoint“

André Brück - MCMC genome rearrangement 18/80 Grundlagen Warum sind „breakpoints“ wichtig, bzw. als Abschätzung geeignet? Intuitiv: Wenn (x,y) ein „breakpoint“ ist, dann muss es eine Veränderung von α gegeben haben, um zu β zu kommen. Anzahl der „breakpoints“ ≈ Anzahl der „reversals“ b β (α) := # “breakpoints” von α in Bezug auf β

André Brück - MCMC genome rearrangement 19/80 Grundlagen Beispiel: (3, 5, 8, 6, 4, 7, 9, 2, 1, 10, 11)

André Brück - MCMC genome rearrangement 20/80 Grundlagen Genauere untere Schranke: (0,2,3,1,4,6,5,7,8) (0,1,2,3,4,5,6,7,8) Ein „reversal“ kann maximal 2 „breakpoints“ löschen (0,2,3,1,4,6,5,7,8)(0,2,3,1,4,5,6,7,8) b β (α) = 5b β (α) = 3 d β (α) ≥ b β (α)/ 2

André Brück - MCMC genome rearrangement 21/80 Grundlagen Kurze Zwischenzusammenfassung: „signed permutations“ „Reality-Desire-Diagrams“ „breakpoint-graph“

André Brück - MCMC genome rearrangement 22/80 Grundlagen Was passiert, wenn ein „reversal“ im RD- Diagramm vorkommt?

André Brück - MCMC genome rearrangement 23/80 Grundlagen „Hürden“ und „Festungen“ (Hannenhalli & Pevzner 95)

André Brück - MCMC genome rearrangement 24/80 Grundlagen

André Brück - MCMC genome rearrangement 25/80 Grundlagen „Interleaving graph“„RD-diagram“

André Brück - MCMC genome rearrangement 26/80 Grundlagen Komponenten Interleaving-Graph gibt Komponenten zurück F ist „good“ A/E ist „bad“ B/C/D ist „good“

André Brück - MCMC genome rearrangement 27/80 Grundlagen Definitionen nach Hannenhalli & Pevzner Hurdle –Simple Hurdle: »Wenn durch diese Hürde nicht zwei „schlechte“ Komponenten getrennt werden –Super Hurdle: »Wenn bei einem reversal aus einer „guten“ Komponente eine Hürde wird –Non-Hurdle: »Wenn bei einem reversal nur „gute“ Kreise entstehen

André Brück - MCMC genome rearrangement 28/80 Grundlagen Definitionen(2) Fortress Wenn das Diagramm aus einer ungeraden Anzahl von Super- Hürden besteht. (hier 3 SH)

André Brück - MCMC genome rearrangement 29/80 Grundlagen A,C,D,F sind Hürden A,C,D „simple H.“ F „super H.“ Methode: Man nimmt „formal“ einen Nachbarn raus. Definitionen ergeben Klassifizierung

André Brück - MCMC genome rearrangement 30/80 Grundlagen L R L R (-3,-4,+1,+2,-6,-5)

André Brück - MCMC genome rearrangement 31/80 Grundlagen L R Ziel

André Brück - MCMC genome rearrangement 32/80 Grundlagen L R

André Brück - MCMC genome rearrangement 33/80 Grundlagen LR

André Brück - MCMC genome rearrangement 34/80 Grundlagen RL Reversals

André Brück - MCMC genome rearrangement 35/80 Grundlagen Reversal-Typen Kind I: („safe reversal“) Divergente „reality edges“ werden invertiert. Kind II: („Hurdle Merging“) gerade Zwei gegenüberliegende Hürden, falls die Anzahl der Hürden gerade ist.

André Brück - MCMC genome rearrangement 36/80 Grundlagen Kind III: („Hurdle Cutting“) ungerade Zwei gegenüberliegende Hürden, falls die Anzahl der Hürden ungerade ist. Diese 3 Möglichkeiten decken alles ab: -Gute Komponente -Schlechte Komponente -Gerade Anzahl -Ungerade Anzahl

André Brück - MCMC genome rearrangement 37/80 Grundlagen Algorithmus-Skizze repeat if es gibt eine gute Komponente in RD β (α) führe Kind I reversal durch else if gerade Anzahl Hürden führe Kind II reversal durch else if ungerade Anzahl Hürden und min 1 Simple H. führe Kind III reversal durch else [fortress] Kind II reversal mit beliebigen Hürden until α = β.

André Brück - MCMC genome rearrangement 38/80 Grundlagen Laufzeit-Verhalten Erstellen von RDO(n) Interleaving graphO(n 2 ) KomponentenO(n) RD β (α)(dynamisch)O(n 2 )

André Brück - MCMC genome rearrangement 39/80 Grundlagen Laufzeit-Verhalten Für einen reversal (2 edges) O(n 2 ) Prüfen ob schlechte Komp.(RD)O(n 2 ) Maximal n-malO(n) GesamtlaufzeitO(n 5 )

André Brück - MCMC genome rearrangement 40/80 Grundlagen Kurze Zwischenzusammenfassung: Interleaving Graph Hürden & Festungen Algorithmus mit O(n 5 )

André Brück - MCMC genome rearrangement 41/80 Gliederung Einführung Grundlagen Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Ausblick Fragen / Diskussion

André Brück - MCMC genome rearrangement 42/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ University of Oxford, Greift mehrere Essays auf, die er einfließen lässt: –Hannenhalli & Pevzner, –Blanchette et al., –Eriksen et al., –Geman & Geman, 1984.

André Brück - MCMC genome rearrangement 43/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Miklós teilt Mutationen in 3 Kategorien ein: –Inversions: Ein Teilabschnitt wird nur umgedreht –Transposition Ein Teilabschnitt wird an einer anderen Stelle lokalisiert –Inverted Transposition Inversion+Transposition

André Brück - MCMC genome rearrangement 44/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“

André Brück - MCMC genome rearrangement 45/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Zur Erinnerung: –1 (inverted) Transposition kann mehrere inversions ersetzen –Beispiel vom Anfang Inverted transposition

André Brück - MCMC genome rearrangement 46/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Wie werden die Mutationen gewichtet? –In den meisten existierenden Algorithmen werden alle Mutationen gleichgewichtet. (Gu et al, Kececioglu & Sankoff, etc) –(fast) alle bisherigen Veröffentlichungen / Untersuchungen beruhen nur auf einem Typ. (inversions: Larget et al, Sankoff & Blanchette) –Miklós führt stochastische Methode zur Gewichtung ein

André Brück - MCMC genome rearrangement 47/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Stochastisches Modell Miklós nimmt eine Gleichverteilung der Mutationstypen an (Poisson-Verteilung) Hierbei wird λ als Rate α·t für inversions und β·t für inv. Transpos. dargestellt.

André Brück - MCMC genome rearrangement 48/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Es gibt maximal... verschiedene Inversionen und verschiedene Transpositionen. Inv. Transpositionen werden definiert als: n : Länge der Permutation

André Brück - MCMC genome rearrangement 49/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ l ist die Summe aller Positionen an denen i Inversionen stattgefunden haben. m ist die Summe aller Positionen an denen j Transpositionen oder invertierte Transpositionen stattgefunden haben. l i und m j sind die Summen aller Positionen, an denen Inversionen oder Transpositionen stattgefunden haben.

André Brück - MCMC genome rearrangement 50/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Da die Ereignisse als unabhängig angenommen werden, kann die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse für einen Datensatz so dargestellt werden. (multiplizieren der Einzelwahrscheinl.) t t

André Brück - MCMC genome rearrangement 51/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Permutationen sind nicht kommutativ  Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad  [(8) durch (9) geteilt]

André Brück - MCMC genome rearrangement 52/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ MCs likelihood wird mit dem Satz von Bayes bestimmt, wobei G 1 und G 2 zwei Genome sind, α und β die Parameter. Das t kann weggelassen werden, da Zeit und Rate nicht getrennt werden können.

André Brück - MCMC genome rearrangement 53/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ ist die Wahrscheinlichkeit, dass G 2 aus G 1 entstanden ist, mit den Parametern α und β, wobei Traj(G 1, G 2 ) die Menge aller möglichen Pfade von G1 zu G2 angibt. Dies kann so nicht berechnet werden!!!

André Brück - MCMC genome rearrangement 54/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Aber: interessiert uns auch nicht ;-) Was wir wollen: Abschätzung α und β Wir wollen nur die Rate der Mutationen, bzw. die Anzahlen der verschiedenen Mutationen in Bezug auf einen Datensatz.

André Brück - MCMC genome rearrangement 55/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Zurück zu MCMC: Per Definition ist die „posterior distribution“ eines MCMC Netzwerkes:

André Brück - MCMC genome rearrangement 56/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Dies wird mit den Formeln (10)-(12) eingesetzt zu:

André Brück - MCMC genome rearrangement 57/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ wobei.... P(α) und P(β) sind die Eingangs- wahrscheinlichkeiten der Parameter α und β. (Dichtefunktion über zwei Parameter)

André Brück - MCMC genome rearrangement 58/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Nun kann P(α, β |G1,G2) aus P( t, α, β) gesampelt werden. Mittels einer niedrigen Eingangs- wahrscheinlichkeit für α und β und einem sehr hohem cut-off wird der Einfluss der a priori Verteilung minimiert.

André Brück - MCMC genome rearrangement 59/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Wir betrachten nur die folgende Näherung:

André Brück - MCMC genome rearrangement 60/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Wie bei Markoff-Ketten üblich wird eine Funktion erstellt, die uns angibt, ob wir den Pfad annehmen oder verwerfen: Diese Berechnung heißt „Metropolis-Hastings ratio“

André Brück - MCMC genome rearrangement 61/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Grundidee für die „proposal distribution“: 1. Eine Mutation, die die Anzahl der Kreise erhöht, bekommt eine hohe Wahrscheinlichkeit => „Der Weg zum Ziel“

André Brück - MCMC genome rearrangement 62/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ 2. Eine Mutation, die die Anzahl der Kreise nicht verändert, bekommt eine niedrigere Wahrscheinlichkeit => „Die Natur nimmt „normalerweise“ den kürzesten Weg“

André Brück - MCMC genome rearrangement 63/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Folge daraus Eine Mutation, die die Anzahl der Kreise vermindert, bekommt die niedrigste Wahrscheinlichkeit.

André Brück - MCMC genome rearrangement 64/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Versuchen wir den Bogen zu den Grundlagen zu schlagen : Inversions / Transpositions verändern die „black edges“ => Reality-Linien (RD) (und ziehen die D-Edges mit) „Gut ist, was Kreise schafft...“ Hannenhalli & Pevzner: –Ein reversal kann maximal 2 breakpoints löschen –Ein reversal kann maximal 1 Kreis neu erzeugen

André Brück - MCMC genome rearrangement 65/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Wie wird mit diesen Vorgaben ein neuer Pfad vorhergesagt? 1. Fange am Start an (Komponentenweise) 2. Laufe den Weg auf den Desire-Edges durch den Graphen und markiere die Kanten entsprechend ihrer Orientierung mit +1 oder Wenn man mindestens 3 R-Edges überspannt, prüfe ob eine Transposition vorkommen kann und notiere alle Möglichkeiten. 4. Berechne Anzahl der Inversionen

André Brück - MCMC genome rearrangement 66/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Was wissen wir jetzt? Maximale Anzahl der Inversionen Alle möglichen Transpositionen Anzahl der Kreise / Komponenten

André Brück - MCMC genome rearrangement 67/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Jetzt kommt die „proposal distribution“ ins Spiel: Gibt es einen safe-Reversal: hohe Wahrscheinlichkeit Gibt es nicht: Gibt es eine Möglichkeit, safe- Reversals zu erzeugen? (Ist es schon die Ziel-Permutation?) Alles andere: niedrige Wahrscheinlichkeiten

André Brück - MCMC genome rearrangement 68/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Die „proposal-distribution“ wurde von Miklós empirisch bestimmt.

André Brück - MCMC genome rearrangement 69/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Kurze Wiederholung: Miklós nutzt die MCMC Methode um die Raten α und β zu berechnen Dazu hat er eine Verteilung empirisch bestimmt (proposal distribution) Sein Algorithmus läuft über alle Reality-Kanten des RD-Diagrammes und berechnet in jedem Zyklus alle möglichen Mutationen und gewichtet sie mittels seiner Wahrscheinlichkeitswerte.

André Brück - MCMC genome rearrangement 70/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Ergebnis auf simulierten Daten: 5 inversions / 5 Transpositions / n = 50 Ein run (Sample / MIS) benötigte ca. 3 Stunden auf 1.5 GHz Rechner. In allen Fällen wurden mehr Mutationen vorhergesagt, wie simuliert.

André Brück - MCMC genome rearrangement 71/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Auffällig ist, dass wenn keine Inversionen / Transpositionen vorhanden waren, trotzdem welche gefunden wurden („Problem mit Wahrscheinlichkeiten“)

André Brück - MCMC genome rearrangement 72/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Test auf reelen Daten gegen DERANGE2 Humane / Drosophila mitochondrialer DNA DERANGE2 –unterteilt nur in gute / schlechte Mutation -> manche Pfade können nie begangen werden –Blanchette et al. (1996)

André Brück - MCMC genome rearrangement 73/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Miklós 6.76 ± 3.32 Inversionen 6.80 ± 1.12 Transpositionen Mit angepassten Gewichten: 2 Inversions + 9 Transpositions = 11 Mutationen DERANGE2 Findet minimal 12 Mutationen, davon 3 Transpositionen Bei leichter Veränderung der Gewichte 16 / 3

André Brück - MCMC genome rearrangement 74/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Bewertung von Miklós MCMC Ansatz: Sein Algorithmus kann bessere Werte erzielen, wenn die proposal distribution sinnvoll gewählt ist. Er findet mehr Transpositionen und weniger Inversionen als vorhanden sind.

André Brück - MCMC genome rearrangement 75/80 Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Zwei Zitate: –„a better implementation of the approach might improve both the theoretical time complexity and the running time in practice“ –„The proposed auxiliary distribution in the MIS step is far from the optimal“

André Brück - MCMC genome rearrangement 76/80 Gliederung Einführung Grundlagen Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Ausblick Fragen / Diskussion

André Brück - MCMC genome rearrangement 77/80 Ausblick Weiterentwicklung von Algorithmus mit besserer Laufzeit Bessere „proposal distribution“, die nicht empirisch bestimmt ist, sondern die den Daten (allen Daten) mehr entspricht => Bessere & schnellere Ergebnisse

André Brück - MCMC genome rearrangement 78/80 Gliederung Einführung Grundlagen Miklós – „MCMC genome rearrangement“ Ausblick Fragen / Diskussion

André Brück - MCMC genome rearrangement 79/80 Fragen / Diskussion

Danke für Eure Aufmerksamkeit !!!