1 Slawa Belousow, Seminar über Algorithmen Load Balancing Slawa Belousow Freie Universität Berlin, Institut für Informatik

2 Slawa Belousow, 1. Übersicht was ist Load Balancing? Load Balancing im Server-Bereich diskrete (atomare) Load Balancing Spiele nicht diskrete (nicht atomare) Load Balancing Spiele die Minimierung der maximalen Antwortzeiten in nicht diskreten Spielen Algorithmus zum Finden einer besseren Antwortzeit Algorithmus zu Nash Gleichgewicht Lösung

3 Slawa Belousow, 1.1 was ist Load Balancing? Load Balancing (Lastverteilung) – Verfahren um bei der Speicherung, dem Transport und der Verarbeitung von Objekten vorgegebene Kapazitätsgrenzen einzuhalten.  Informationsverarbeitung – Entitäten auf unterschiedliche Speichercluster verteilen  Logistik – Beladung von Kraftfahrzeugen, Schiffen und anderen Transportmitteln zur Anwendung. Berechnung der Lagerhaltung  Computertechnik – Verteilung von Aufgaben auf vorhandene Ressourcen

4 Slawa Belousow, 1.2 Load Balancing von Netzwerkverkehr DNS-VarianteRound-Robin-Verfahren NAT mit Feedback

5 Slawa Belousow, 1.2 Load Balancing von Netzwerkverkehr (2) URL-basiertes Verfahren Dienst-basiertes Verfahren

6 Slawa Belousow, 2 Load Balancing in der Spieltheorie Verteilung von N Elementen auf M Elemente Optimierung der Verteilung Die Menge N enthält Spieler (die bestimmte Ressourcen haben) Die Menge M enthält die Spielmaschinen diskrete (atomare) Load Balancing Spiele  die Spieler oder ihre Ressourcen sind als ein unzertrennbares Element anzusehen Nicht diskrete (nicht atomare) Load Balancing Spiele  die Ressourcen der Spieler können beliebig aufgeteilt werden

7 Slawa Belousow, – Spieler – Maschinen – Lastgröße von User Eine Arbeit kann nur auf einer bestimmten Menge von Maschinen ausgeführt werden:  – Eine Menge mit Zuweisungen von Arbeit zu einer Maschine die eine mögliche Lösungen repräsentiert  2.1 Diskrete Load Balancing Spiele

8 Slawa Belousow, 2.1 Diskrete Load Balancing Spiele (2) Belastung einer Maschine  Antwortzeit einer Maschine für jede Arbeit  Nash Gleichgewicht im diskreten Load Balancing Spiel 

9 Slawa Belousow, Nash Gleichgewicht kein Nash Gleichgewicht

10 Slawa Belousow, 2.2 Nash Existenz Hat jedes Load Balancing Spiel ein Nash Gleichgewicht?  Spiel mit beliebigen Parametern starten  Spieler wechseln, einer zu einer Zeit, die Maschine, falls sie mit dem Ergebnis nicht zufrieden sind  Wenn es eine Funktion gibt, mit als Parameter, die mit jedem Wechsel abnimmt, dann wird der Prozess irgendwann enden und Kreise werden vermieden  Wenn kein Spieler mehr wechseln kann, ist das Nash Gleichgewicht erreicht

11 Slawa Belousow, 2.3 Nash Kosten in diskreten Load Balancing Nash Kosten  worst case  average/totale Antwortzeit

12 Slawa Belousow, 2.4 Nicht diskrete Load Balancing Spiele – Menge von Maschinen – Antwortzeitfunktion – Arbeitstypen – Gesamtlast für jeden Typ von Arbeit – Maschinenanforderung für jeden Typ von Wir suchen Paare (Arbeit, Maschine), so das die Belastung von Arbeit auf Maschine ausdrückt.

13 Slawa Belousow, 2.4 Nicht diskrete Load Balancing Spiele (2) Folgende Regeln gelten für  Die Summe aller eines Arbeitstyps ist gleich der Belastung durch den Arbeitstyp  ist immer positiv  wenn nicht zu der Menge der Maschinenanforderung des Typs gehört, dann ist = 0

14 Slawa Belousow, 2.4 Nicht diskrete Load Balancing Spiele (3) (j1, m1) = 0,7 (j1, m2) = 0,3 (j2, m1) = 1,0 (j3, m3) = 1,0 (j4, m1) = 0,4 (j4, m4) = 0,6 j1 j2 j3 j4 m1 m2 m3 m4 (j1, m3) = 0 (j1, m4) = 0 (j2, m2) = 0 (j2, m3) = 0 (j2, m4) = 0...

15 Slawa Belousow, 2.4 Nicht diskrete Load Balancing Spiele (4) Belastung einer Maschine

16 Slawa Belousow, 2.4 Nicht diskrete Load Balancing Spiele (5) Nash Gleichgewicht in einem diskretem Load Balancing Spiel Nash Gleichgewicht in einem nicht diskretem Load Balancing Spiel

17 Slawa Belousow, 3 Minimierung der maximalen Antwortzeit Existiert ein Nash Gleichgewicht? Wie gut ist es?  Theorem: Ein Nash Gleichgewicht im nicht atomaren Load Balancing Spiel minimiert die maximale Antwortzeit über alle Lösungen  Beweis (Teil 1): worst case: – ist eine konkrete Lösung – Die Menge aller Maschinen, die die maximale Antwortzeit haben – die Menge der Arbeiten, die Maschinen aus A verwenden

18 Slawa Belousow, 3 Minimierung der maximalen Antwortzeit (2)

19 Slawa Belousow, 3 Minimierung der maximalen Antwortzeit (3) Lemma: In einem Nash Gleichgewicht, laufen alle Arbeiten aus auf den Maschinen aus  folgt aus der Definition  Annahme, es gibt eine Arbeit die auch auf Maschine außerhalb von ausgeführt wird.  das wiederspricht dem Nash Gleichgewicht, den es gäbe:  Folgerung:

20 Slawa Belousow, 3 Minimierung der maximalen Antwortzeit (4) Wie gut ist es?  Theorem: Ein Nash Gleichgewicht im nicht atomaren Load Balancing Spiel minimiert die maximale Antwortzeit über alle Lösungen  Beweis (Teil 2):  Now let's compare a Nash to any other solution. Our Nash has assignments x ij and loads L i, whereas the other solution has assignments x ij * and loads L i *. But x * still has all of the load assigned within the group A(x). Since the sum of the loads in A in this solution must be at least as great as the sum of the loads in the Nash, there must be some machine i in A such that L i *  L i. In this case, we know that r i (L i * )  r i (L i ) and thus that this other solution is at least as bad as the Nash.

21 Slawa Belousow, 4 Nash Gleichgewicht finden das Spiel startet die Spieler verteilen ihre Aufgaben irgendwie auf die Maschinen oder das Spiel ist schon fortgeschritten Wir haben irgendeine maximale Antwortzeit r Aus dem Spiel wir ein Netzwerk-Fluss Graph konstruiert mit welchem beweisen wird, ob es eine bessere Zeit als r gibt

22 Slawa Belousow, 4 Das finden einer besseren Lösung Algorithmus: Das finden von:  – Maschinen  – Arbeiten  – die erhoffte maximale Antwortzeit  aus den Arbeiten und Maschinen wird ein Netzwerk-Fluss konstruiert mit zwei zusätzlichen Knoten, den Ausgang aller Arbeiten und den Empfang der Ergebnisse der Maschinen

23 Slawa Belousow, 4 Das finden einer besseren Lösung (2) 2 neue Knoten hinzufügen S* und T*. Der Fluss geht von S* zu T* Jeweils einen Knoten für eine Arbeit und eine Maschine Kanten von S* zu den Arbeiten haben die Kapazität von Kanten von Arbeiten zu Maschinen haben die Kapazität Kanten von den Maschinen zu T* haben die Kapazität von Den Flusswert den wir suchen, ist die Summe

24 Slawa Belousow, 4 Das finden einer besseren Lösung (3) Mit dem Max-Flow-Min-Cut Theorem können wir beweisen ob eine bessere Lösung existiert, als die vorher erhoffte maximale Antwortzeit r Nun wenden wir den Binärsuche-Algorithmus an und finden das kleinste mögliche r, dass immer noch die Lösung des Netzwerk-Fluss ergibt. Das Ergebnis muss kein Nash Gleichgewicht sein, Beispiel 1 1 r(L) = 2 r(L) = L

25 Slawa Belousow, 5 Eine Lösung in ein Nash Gleichgewicht bringen Algorithmus: Ein Load Balancing Ergebnis aus dem Netzwerk-Fluss in ein Nash Gleichgewicht umwandeln.   Gibt es eine Arbeit die auf einer Maschine aus ausgeführt wird, aber auch auf einer nicht in ? Wenn so ein Fall existiert, bewegen wir einen Teil der Last von i auf k, nur soweit, dass i aus dem A rausfällt und k nicht ins A kommt.  Wir wiederholen diesen Vorgang bis folgendes gilt

26 Slawa Belousow, 5 Eine Lösung in ein Nash Gleichgewicht bringen Jetzt sind und im Nash Gleichgewicht Der Rest wird als Untermenge Betrachtet und mit dem gleiche Algorithmus ins Gleichgewicht gebracht Mit Wiederholung des Prozesses, werden alle verbliebenen Arbeiten und Maschinen in das Nash Gleichgewicht gebracht.

27 Slawa Belousow, 6 Zusammenfassung Load Balancing kann mit der Spieltheorie betrachtet werden diskrete / nicht diskrete Spiele das Nash Gleichgewicht minimiert die maximale Antwortzeit in einem Load Balancing Spiel können wir überprüfen ob ein kleineres Maximum der Auslastung vorhanden ist eine konkrete Lösung des Spiels kann in ein Nash Gleichgewicht gebracht werden.

28 Slawa Belousow, 6 Quellen Script  Load Balancing   kompendium.de/sites/net/ htm kompendium.de/sites/net/ htm Algorithmen   Spieltheorie   „Optimal Load Balancing in Distributed Computer Systems“, 1997, Springer Verlag London

29 Slawa Belousow, Danke!