Didaktik der Algebra und Funktionenlehre 1 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Wintersemester 2004/05

Formeln im Unterricht von Realschule und Gymnasium

Piano Paul, ein Kabarettist mit mathematischer Promotion, meint, man solle (a+b) 2 = a 2 + b 2 festlegen, denn die eigentliche Formel (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 sei viel zu kompliziert. Können Sie zeigen, dass die Formel ganz einfach zu verstehen ist?

Lösung 1: Das Additionstheorem (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 lässt sich über das Distributiv- und das Kommutativgesetz gewinnen: (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = aa + ab + ba + bb = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab +b 2

a b b a2a2 a ab b2b2 Lösung 2: Das Additionstheorem (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 lässt sich graphisch veranschaulichen:

Zeigen Sie in ähnlicher Weise, dass (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 gilt.

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Betrachten Sie (a+b) 3, (a+b) 4, (a+b) 5,..., (a+b) n ! Welche Formel bekommt man? Warum?

K. Reiss & G. Schmieder (2005). Basiswissen Zahlentheorie. Heidelberg: Springer. Es ist..

K. Reiss & G. Schmieder (2005). Basiswissen Zahlentheorie. Heidelberg: Springer.

Der binomische Lehrsatz

Lehrplan Realschule Klasse 8

Wozu braucht man Formeln, also zum Beispiel die binomischen Formeln? Mit Formeln kann man innermathematische Prozesse und Gesetzmäßigkeiten allgemein beschreiben. Formeln können Modelle für Situationen außerhalb der Mathematik sein. Formeln können die Exploration von Situationen unterstützen. Formeln ermöglichen allgemeine Problemlösungen. Mit Formeln kann man allgemeingültig argumentieren. Durch Formeln kann man auf einer abstrakten Ebene kommunizieren. G. Malle (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Wiesbaden: Vieweg.

Formeln ermöglichen die Beschreibung innermathematischer Prozesse und Gesetzmäßigkeiten. Beispiel: Berechne möglichst geschickt: 372 – 91 – 9 = ! Beschreibe den Rechenweg mit Variablen.

Formeln geben Modelle für Situationen außerhalb der Mathematik. Beispiel: Für eine Taxifahrt gilt ein Grundgebühr von 2,80€ und ein Kilometerpreis von 1,20€. Eine Formel kann den Preis in Abhängigkeit von der Entfernung beschreiben.

KMK (2003). Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss. Berlin: KMK ( )

und...

Formeln können die Exploration von Situationen unterstützen. Beispiel: Ein Handwerker erhöht den Preis von netto 42,50€ auf netto 45,50€ für eine Arbeitsstunde. Welche Konsequenz hat die Erhöhung für den Kunden?

Formeln ermöglichen allgemeine Lösungen von Problemen. Beispiel 1: Man kann zum Preis a einer Ware zuerst p% Umsatzsteuer addieren und dann q% Skonto abziehen. Man kann aber auch von a zunächst q% Skonto abziehen und dann p% Umsatzsteuer hinzu rechnen. Was ist für den Händler, was für den Kunden und was für den Staat die günstigste Lösung?

Beispiel 2: Es gibt Paare von zweistelligen Zahlen, deren Produkt unverändert bleibt, wenn man bei beiden Zahlen die Ziffern vertauscht. So ist = Geben Sie weitere Zahlenpaare dieser Art an. Überlegen Sie sich, welche Zahlenpaare man als trivial bezeichnen könnte. Explorieren Sie Eigenschaften einzelner Paare.

Mit Formeln kann man allgemeingültig argumentieren. Beispiel: Zeigen Sie, dass das Quadrat jeder natürlichen Zahl n > 1 sich um 1 vom Produkt ihrer Nachbarzahlen unterscheidet. Kann man das auch ohne eine Formel einsehen?

Mit Formeln kann man auf einer abstrakten Ebene kommunizieren. Beispiel:

Die Formelsprache der Algebra „Die Buchstaben-Rechenkunst wird diejenige genennet, welche anstatt der Zifern allgemeine Zeichen der Größen brauchet, und damit die gewöhnlichen Rechnungsarten verrichtet.... Man benenne die gegebenen Größen jederzeit mit den ersten Buchstaben des Alphabets a, b, c, d usw. die unbekannten aber, welche man suchet, mit den letzten x, y, z.“ Christian von Wolff, 1797 (zitiert nach Vollrath, 2003)

Literatur Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig: Vieweg. Vollrath, H.J. ( ). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum.