Grundlagen01Logik 02Mengen 03Relationen Arithmetik04Die natürlichen Zahlen 05Erweiterungen der Zahlenmenge Elementare Geometrie06Ebene Geometrie 07Trigonometrie 08Vektoren 09Geometrie des R 3 Lineare Algebra11Matrizen Algebra15Polynome Differentialrechnung23Der Differentialquotient 24Die Exponentialfunktion 25Die Winkelfunktionen 27Approximation von Funktionen 28Funktionen mehrerer Variablen Integralrechnung29Das Integral 30Integrationsmethoden Vektoranalysis34Differentiation von Feldern Differentialgleichungen36Gewöhnliche DGL Partielle DGL, Wärmeleitung---

I Grundlagen

1. Logik

Mathematische Aussagen 1 ist kleiner als 2. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. Für drei Punkte gibt es immer eine Ebene, zu der sie gehören. 2 ist kleiner als 1. Mathematischer Unterricht sollte stärker gefördert werden.

Aussageformen 3n ist eine gerade Zahl. m teilt n ohne Rest. Alle a sind b. a = b. Aristoteles ( ) gilt als Schöpfer der klassischen Logik

Quantoren Mindestens eine Lösung der Gleichgung x = 0 ist reell.  : ist reell. Alle Lösungen der Gleichung x = 0 sind reell.  : ist reell.

Symbol Anwendung Bedeutung  A  BA gilt genau dann wenn B gilt.  A  BWenn A gilt, dann gilt auch B.  A  BA und B gelten beide.  A  BA oder B oder beide gelten.  A A gilt nicht.

AB

ABA  BA  B

ABA  BA  BA  BA  B

ABA  BA  BA  BA  B

ABA  BA  BA  BA  B A  BA  B

ABA  BA  BA  BA  B A  BA  BA  BA  B

ABA  BA  BA  BA  B A  BA  BA  BA  B AA

AB AA BB

AB AA BB A  BA  B

AB AA BB A  BA  B B  AB  A

AB AA BB A  BA  B B  AB  A ¬A  B

1.1 Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen stets wahr sind, also zur Ableitung wahrer Aussagen die linke Teilaussage für die rechte und die rechte für die linke eingesetzt werden kann (Äquivalenzumformungen): (A  B)  (B  A)(Kommutativgesetz) (A  B)  (B  A)(Kommutativgesetz) (A  B)  C  A  (B  C)(Assoziativgesetz) (A  B)  C  A  (B  C)(Assoziativgesetz) A  (B  C)  (A  B)  (A  C)(Distributivgesetz) A  (B  C)  (A  B)  (A  C)(Distributivgesetz)  (A  B)   A   B (de Morgansches Gesetz)  (A  B)   A   B (de Morgansches Gesetz)

2. Mengen

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. (G. Cantor, 1895) x  Mx  M M = { a, e, i, o, u } = { u, e, i, a, o } b  M  = { 1, 2, 3,... } Georg Cantor

M = { x | x    x < 3 }. M = { x | x x = x  x } M = { x | x 2 - 3x + 2 = 0 } M = { 1, 2 } M = { x | P(x) } wo P(x) = "x 2 - 3x + 2 = 0"

 = { 1, 2, 3,... }  0 = { 0, 1, 2, 3,... }, Kardinalzahlen  = {..., -1, 0, 1, 2,... }  = { m/n | m    n   }  = { x | x besitzt Dezimaldarstellung. }  = { x + iy | x, y  , i 2 = -1 }                  A  B strikte Inklusion (  x: x  A  x  B)  (  x: x  B  x  A) A  A schwache Inklusion (A  B  B  A)  (A = B)

G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) }

G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }  = { }   M  M  = { x | x  x } , A, B,..., M,...,    A  B = { x | x  A  x  B }

G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }  = { }   M  = { x | x  x } , A, B,..., M,...,    A  B = { x | x  A  x  B } A  B = { x | x  A  x  B }

G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }  = { }   M  = { x | x  x } , A, B,..., M,...,    A  B = { x | x  A  x  B } A  B = { x | x  A  x  B } = - 1 { 1 } \ { 1, 2 } =  A \ B = { x | x  A  x  B }

 A, B, C: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)(2.1)  A, B, C: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)(2.2)

A  B = { (x, y) | x  A  y  B } { a, b, c }  { 1, 2 } = { (a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2) } A  B  C besteht aus geordneten Tripeln (a, b, c) wobei a  A, b  B, c  C. Anstelle von      schreibt man auch einfach  3.  3 dreidimensionaler euklidischen Raum, dessen Elemente die Tripel (x 1, x 2, x 3 ) sind:  3 = { (x 1, x 2, x 3 ) | x k  , 1  k  3 }

2.1 Seien A = { 1, a, b, c } und B = { 1, 2, 3, c }. Bilden Sie den Durchschnitt A  B, die Vereinigung A  B und die Differenz A \ B sowie B \ A. 2.2 Finden Sie ein Beispiel für (A  B)  C  A  (B  C).

3. Relationen

3.1 Abbildungen f: X  Y f Abbildungsvorschrift (Gleichung, Liste, Diagramm) X Definitionsbereich oder Urbildbereich Y Wertebereich oder Bildbereich Für x  X und y  Y schreibt man x  yx  y x heißt Urbild und y = f(x) heißt Bild (von x unter f), so dass x  f(x)x  f(x)

Eine Relation ist eine Abbildung oder Funktion, wenn für jedes x  X genau ein y  Y mit y = f(x) existiert. Sie ist also "links total und rechts eindeutig ".

f(x) = 3 f(x) = sinx f(x) = x 2 f(x) = x 3 f(x) = ±  |x| ist eine Relation, aber keine Funktion.