HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Christian Schindelhauer

2 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Zellulare Netze Ursprüngliche Problemstellung: –Starres Frequenzmultiplexing für gegebene Menge von Basisstationen Gegeben: –Positionen der Basisstationen Gesucht: –Frequenzzuteilung, welche die Interferenzen minimiert Wie modelliert man zulässige Frequenzzuteilungen?

3 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Frequenzzuweisung (I) Gegeben: –Punktemenge V  IR 2 von n Basisstationen B 1, …,B n –Jede Basisstation sendet mit einer festen Reichweite r i, i  {1..n} Gesucht: –Funktion f:V  IN, die einer Basisstation eine Übertragungs- frequenz zuordnet unter Berücksichtigung von Frequenz- und Abstandsbedingungen Beispiele für Bedingungen: –Minimiere die Anzahl der vergebenen Frequenzen –Minimiere die Breite des Frequenzspektrums –Minimiere die Anzahl der Wellenüberlagerungen (Interferenzen)

4 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Frequenzzuweisung (II) Modellierung Interferenz-Graph G Int : –Knoten sind die Basisstationen –Kanten kennzeichnen Interferenzen zwischen den Basisstationen Wann interferieren Basisstationen? –1. Variante: Sei U(B 1 ) der Umkreis um B 1 mit Radius r 1 Zwei Basisstationen B 1 und B 2 interferieren, falls U(B 1 )  U(B 2 )  B1B1 r1r1 G Int Graph-Färbungsproblem

5 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Allgemeine Graph-Färbung Sei G=(V,E) ein ungerichteter Graph. Eine Abbildung f:V  F heißt k-Knotenfärbung, falls f(u)  f(v) für {u,v}  E und F  IN, |F|=k. Chromatische Zahl  (G) ist die kleinste Zahl k, für die es in G eine k-Knotenfärbung gibt. Clique Zahl  (G) ist die größte Zahl von Knoten, die in G einen vollständigen Teilgraph bilden. Zusammenhang (  (G) Grad von G):  (G)   (G)   (G) + 1 Beweis: Übung

6 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Komplexität Beweis: COLOR  NP –rate eine k-Knotenfärbung und teste, ob sie zulässig ist. 3SAT  p COLOR: –Knoten: v 1, …, v n, v 1, …, v n, x 1, …, x n, C 1,..., C r –Kanten: {v i, v i } {x i, x j }, {v i, x j }, {v i, x j } für i  j {v i, C k }, {v i, C k } für Literale nicht in C k x1x1 x2x2 x3x3 v1v1 v1v1 v2v2 v3v3 v3v3 v2v2 t1t1 t2t2 t3t3 false

7 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI COLOR ist NP-vollständig 3SAT  p COLOR: „  “Ann.  Belegung, die die Klauseln C 1,..., C r wahr macht. Färbe jedes erfüllte Literal mit dem entsprechenden t i und das Komplement mit false. Betrachte C j : Ein Literal wurde mit einer true-Farbe (t i ) gefärbt, da die Klausel erfüllbar ist. D.h. C j kann mit t i gefärbt werden. „  “Ann.  keine Belegung, die die Klauseln C 1,..., C r wahr macht. Dann ex. C j : Alle Literale wurden mit false (n+1. Farbe) gefärbt. D.h. C j ist mit Knoten aller true-Farben verbunden und mit min. einem Knoten, dem die false-Farbe zugeordnet ist. Der Graph kann also nicht mit n+1 Farben gefärbt werden.

8 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Approximationsalgorithmen Sei P(I) die Lösung eines Optimierungsproblems für eine Instanz I –Hier: I = G [gegebener ungerichteter Graph] –P(I) =  (G) [Färbungszahl von G] Definition: –P ist mit absoluter Güte f(n) approximierbar, wenn es Polynomialzeitalgorithmus A gibt, so dass für alle Instanzen I der Größe n gilt: | P(I)  A(I) |  f(n) –P läßt sich mit relativer Güte g(n) approximieren, wenn es einen Polynomialzeitalgorithmus A gibt, so dass für alle I der Größe n gilt:

9 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Resultate zur Graph-Färbung Allgemeine Graph-Färbung ist nicht nur NP-vollständig, sondern auch nicht approximierbar mit Faktor besser als n  für  >0 unter der Ann. NP  P. „Besitzt der planare Graph eine 3-Knotenfärbung?“ ist auch NP-vollständig Aber: –Jeder planare Graph kann in Polynomzeit mit 4 Farben knotengefärbt werden (Vier-Farben-Satz, ca. 633 Fälle!) –Jeder Graph kann in Polynomzeit auf 2-Knotenfärbbarkeit überprüft werden –Es gibt einen Approximationsalgorithmen der Güte O(n/log n) für das allgemeine Färbungsproblem

10 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Approximationsalgorithmus für Knotenfärbung (I) Independent Set Problem (NP-vollständig): –Sei G=(V,E) ein Graph, U  V. U heißt unabhängig, falls: {u,v}  E für alle u,v  U –Independent Set: bestimme möglichst große unabhängige Menge (Beweis: Übung)

11 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Approximationsalgorithmus für Knotenfärbung (II) Algorithmus GreedyIS: U= , G=(V,E) while V nicht leer do Erzeuge zugehörigen Graph G zu V Wähle Knoten u mit minimalem Grad Lösche u und alle Nachbarn von u in G aus V Füge u zu U hinzu od Ausgabe U GreedyIS –berechnet eine nichterweiterbare unabhängige Knotenmenge –Laufzeit: O(|V|+|E|)

12 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Approximationsalgorithmus für Knotenfärbung (III)

13 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Approximationsalgorithmus für Knotenfärbung (IV) Algorithmus GreedyCol: G=(V,E), Farbe=1; while V nicht leer do Erzeuge G aus V und bestimme U mit GreedyIS(G) Färbe alle Knoten in U mit Farbe Entferne U aus V und erhöhe Farbe um 1 od Ausgabe Knotenfärbung Wie „gut“ ist der Algorithmus GreedyCol bei Eingabe eines Graphen, der eine k-Knotenfärbung zuläßt?

14 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Approximationsalgorithmus für Knotenfärbung (V)

15 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Modellierung von FAP (I) Färbungsmodell –Benachbarte Felder müssen verschiedene Frequenzen besitzen –Reduziert sich auf Knotenfärbung des Interferenzgraphen Vorteil –Einfach beschreibbares, anschauliches Modell Nachteile –Das Färbungsproblem ist algorithmisch nicht effizient lösbar/approximierbar, wenn nicht P=NP –Modelliert die Praxis schlecht, da Zusammenhang zwischen hoher Sendeenergie und Beeinflußung benachbarter Frequenzräume besteht