Computer Algebra für Brüche --- angepasst an Ausbildungszwecke ISAC – Projekt Stefan Karnel Institut für Mathematik Institut für Softwaretechnologie an der TU-Graz

Fragestellung Wie rechnet man es per Hand bzw. wie erklärt man es im Lehrer Schüler Wie rechnet man es per Hand bzw. wie erklärt man es im Unterricht? Was macht die Mathematik-Software? Wie kann man beides vereinen? Software Computer

(im Weiteren wird nur das Kürzen betrachtet) Rechnen mit Brüchen Kürzen ggT von Zähler und Nenner Auf gleichen Nenner bringen kgV von den zwei Nennern kgV(a,b)=a*b / ggT(a,b) Ausmultiplizieren (im Weiteren wird nur das Kürzen betrachtet)

Übliche Methode (1) Wie von Hand Anwendung von bekannten Rechenregeln Umformen

Übliche Methode (2) Rechenschritt Regeln !

CAS (1) Euklidscher Algorithmus Modularer Algorithmus Faktorisierungsalgorithmus Vorteil: schnelle Berechnung „leicht“ zu implementieren Nachteil: keine Zwischenschritte keine Einschränkungen !!!

CAS (2) z.B. Mathematica keine Zwischenschritte keine Einschränkungen wie

Vereinigung Gegeben sei ein Bruch Berechne den ggT von Zähler und Nenner Bringe den Zähler mittels Rewriting in die die ursprüngliche Form (Rückwärtsrechnung) Zeige die einzelnen Schritte an  ISAC - Projekt

ISAC-Projekt (1) Kernstück ggT-Algorithmus Verwendet wird der modulare ggT-Algorithmus für multivariate Polynome EineVerallgemeinerung des euklidschen Algorithmus auf die Menge der multivariaten Polynome ist nicht möglich, da diese Menge kein euklidscher Ring ist

ISAC-Projekt (2) Man führt, durch Einsetzen von Werten für die Hauptvariable, die multivariaten Polynome auf Polynome mit einer geringeren Anzahl von Variablen Der univariate Fall wird durch einen eigenen Algorithmus (z.B. Euklid) berechnet Mit Hilfe des chinesischen Restsatzen werden die Zwischenergebnisse zum ggT zusammen gefügt.

ISAC-Projekt (3) Algorithmus stützt sich auf folgenden Lemma:

ISAC - Beispiel (4) Rechenschritt Rewriting - Regeln  a = a * 1  a b + a c = a ( b + c )  b a + c a = ( b + c ) a (2x)  a = a * 1 (2x)  0 = a – a  a = a + 0  a² = a * a  a * a = a²  a + 0 = a  a – a = 0  a * 1 = a (2x)  ( b + c ) a = b a + c a (2x)  a ( b + c ) = a b + a c  a * 1 = a falls 2 x – 2 == 0

Zusammenfassung Computer Algebra braucht ein sehr tiefgreifendes Wissen Die Algorithmen werden immer allgemeiner  komplexer       Besondere Herausforderung die algebraischen Umformungen so zu präsentieren, wie sie gelehrt werden ISAC ist der erste Schritt in diese Richtung

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